1. 在空域中，如何利用δ函数进行物光场分解。
答：δ函数常用来描述脉冲状态这样一类物理现象。空间变量的δ函可以
描写诸如单位光通量的点光源的面发光度等。其定义：
x =x y =y δ(x -x 0, y -y 0) ={∞ 0其他
∞⎰⎰-∞δ(x -x 0, y -y 0) dxdy =1
考察平行光束通过透镜后会聚于焦点时的照度分布，后焦面上的照度
分布可用δ（x,y) 描述。任何输入函数都可以表达为
∞
f (x 1, y 1)=⎰⎰f (ξ, η)δ(x 1-ξ, y 1-η)d ξd η该式表明，函数f (x 1, y 1) 可以分解
∞成为在x 1, y 1- 平面上不同位置处无穷多个δ函数的线性组合。
2. 卷积与相关各表示什么意义？在运算上有什么差异？
答：①卷积既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。
由于光学图像大多是二维平面图像，故定义函数g (x , y )和h (x , y )的二维∞卷积为 g (x )*h (x , y )=⎰⎰g (ξ, η)h (x -ξ, y -η)d ξd η。假设线光源置于会聚透
-∞镜L 1的前焦平面上，其方向与x 0轴方向一致，其强度分布为I 0(x0),
求透镜L 2后焦平面上的强度分布：
∞ Ii (xi )=⎰-∞I 0(ε) P (x i -ε) d ε
其中，I i (xi ) 是像平面上某点x i 处的总光强I i (xi ) ，P(xi ) 是单位强度
的点光源对应的像强度分布。由上式可知，光学系统像平面上的光强
分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。这
就是卷积在光学成像中的物理意义。
②互相关的定义为： ∞
e fg (x , y ) =⎰⎰f *(ε, η) g (x +ε, y +η) d εd η=f (x , y ) ψg (x , y )
-∞ 式中，*表示函数的复共轭。互相关是两个信号间存在多少相似性或者
关联性的量度。两个完全不同的，毫无关联的信号，对所有位置，它
们互相关的值应为零。如果两个信号由于某种物理上的联系在一些部
位存在相似性，则在相应位置上就存在非零的互相关值。
③比较卷积和相关的定义式可以看出，相关和卷积的区别仅在于相关
的运算中，函数f(x,y)应取复共轭，但图形不需要翻转，而位移，相
乘和积分三个过程是两者共通的。
3. 空间傅里叶变换的物理意义，具有哪些基本性质？哪些函数的傅里叶换本身还是该类型函数？他们具有哪些特点？
答：①空间傅里叶变换得物理意义是：在处理线性系统时，常用的方法是
把一个复杂的输入分解成许多较简单的基元的输入，计算该系统对每
一个这样的基元函数的响应，再把所有的单个响应叠加起来得到总响应。傅里叶分析提供了一个进行这种分解的基本手段。由傅里叶逆变0, 0
换公式f (x , y ) =⎰⎰F (f x , f y ) e i 2π(f x +f y ) df x df y 看到，可以把二维傅里叶变换看
-∞作是函数f(x,y)分解为exp[i2π(fx x+fy y)]的基元函数的线性组合。
物函数f(x,y)可看成无数振幅不同（|F（f x, f y ）df x df y |),方向不同
（cos cos α=λf x , cos β=λf y ) 的平面波形线性叠加的结果。傅里叶分解对
于讨论线性系统的性质和作用尤为重要。
②傅里叶变换的基本性质有：设函数g (x , y )和h (x , y )的傅里叶变换分别
为G (f x ,f y )和H (f x ,f y )，
（1）线性定理
F {ag (x , y )+bh (x , y )}=aG (f x , f y )+bH (f x , f y ) 式中a 和b 是任意复常数，即
两个函数线性组合的变换等于两个函数变换的线性组合。
（2）相似性定理
f x f y ⎫ F {g (ax , by )}=1G ⎛ ⎪ ⎪ab ⎝a b ⎭ (x , y )的扩展，导致频域中坐标(f x ,f y )的压缩以及频谱
幅度的变化。
（3）位移定理
F {g (x -a , y -b )}=G (f x , f y )exp [-j2π(f x a +f y b )]
即函数在空域中平移，带来频域中的线性相移。另一方面
F {g (x , y )exp [j2π(f a x +f b y )]}=G (f x -f a , f y -f b )
即函数在空域中的相移，会导致频谱的位移。
（4）帕色伐（Parsaval ）定理 ∞∞2 ⎰⎰g (x , y )2dxdy =⎰⎰G (f x ,f y dxdy
2-∞-∞g (x , y )表示一个实际的物理信号，G (f x ,f y 通常称为信号的功率若
谱（有时是能量谱）。定理表明信号在空域的能量与其在频域的能
量守恒。
（5）卷积定理
(x , y )的卷积定义为 函数g (x , y )和h ∞
g (x , y )*h (x , y )=⎰⎰g (ξ, η)h (x -ξ, y -η)d ξd η
y )}=G (f x , f y )⋅H (f x , f y ) 则F {g (x , y )*h (x -, ∞
即空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变
换的乘积。另一方面有F {g (x , y )⋅h (x , y )}=G (f x , f y )*H (f x , f y )
即空间域中两个函数的乘积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变
换的卷积。卷积定理可以用来通过傅里叶变换方法求卷积或者通
过卷积方法求傅里叶变换。
（6）相关定理（维纳——辛钦定理）
两复函数g (x , y )和h (x , y )的互相关定义为： x y ∞
g(x,y)☆h(y)=⎰⎰g *(ξ-x , η-y )h (ξ, η)d ξd η
-∞ 显然两函数的互相关可以表达为卷积的形式，再利用卷积定理，
可以得到
F {g (x , y ) ☆ h (x , y )}=G *(f x , f y )⋅H (f x , f y )
式中G *(f x , f y )⋅H (f x , f y )通常称为函数g (x , y )和h (x , y )的互谱密度，因
此式说明两函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对。这就
是傅里叶变换的互相关定理。
函数与其自身的互相关称为自相关。用g (x , y )替换h (x , y )可得自相
2 g (x , y )}=G (f x , f y ，关定理为F {g (x , y ) ☆自相关定理表明一个函数的
自相关与其功率谱构成傅里叶变换对。
(7) 傅里叶积分定理
在函数g (x , y )的各个连续点上F -1F {g (x , y )}=FF -1{g (x , y )}=g (x , y ) FF {g (x , y )}=F -1F -1{g (x , y )}=g (-x , -y )
即对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而对函数
相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的“倒立像”。
(8) 导数定理
m n (m , n ) F {g (x , y )}=(j 2πf x )(j 2πf y )G (f x , f y )
j ⎫m ⎛j ⎫n
(m , n )m n ⎛ F {x y g (x , y )}= ⎪ ⎪G (f x , f y ) ⎝2π⎭⎝2π⎭
∂m +n g (x , y )(m , n )式中g =, G ()(f , f )=∂G (f , f )。定理表明函数的微分m n ∂x ∂y ∂f ∂f 的傅立叶变换，可以转化为乘积运算。
③ 傅里叶变换还是该类型函数的有：
(1）梳状函数comb(x)，comb(xx ) 。一维梳状函数定∞义为：comb (x /x 0) =x 0∑δ(x -nx 0) ，其特点是无穷多个等间隔排列
n =-∞的δ函数之和，可以用来表示在一个平面上纵横排列着无穷多个
各自等距离的点光源。可以利用梳状函数对普通函数作等间隔采
样。
(2) 高斯函数的傅里叶变换仍是一个高斯函数即
F {Gaus (x )}=e -πf =Gaus (f ) 。高斯函数一维表达式
Gsuss(x/a)=e -π(x /a ) 其中 a>0。其特点函数在原点具有最大值1，
曲线下面积等于a 。高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束。
4. 如何理解线性空间不变系统的本征函数?
答：对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入
与一个复比例常数的乘积，这个输入函数就称为系统的本征函数。即m +n m , n x y x y m x n y 22∞
若函数f (x , y )满足以下条件：L {f (x , y )}=af (x , y ) 式中a 为一复常数，为本征函数的本征值，则称f (x , y )为算符L 所表
征的系统的本征函数。无论脉冲响应函数是什么形式，与它卷积的本
征函数得到的结果的函数形式一定还是本征函数，一个线性空间不变
系统的本征函数，其变化量决定与相应的本征值，δ函数，复指数函
数和余弦函数这些基元函数都可以形式不变的通过线性空间不变系
统，输出函数只是输入函数与一个复比例常数的乘积。
5. 超过临界采样间隔采集数据会有哪些后果？
答：根据二维采样定理，用二维梳状函数作为采样函数，分析采样值函数
的频谱，它是由频率平面上无限重复的原函数的频谱构成，形成排列
∞∞有序的频谱岛。采样值函数的频谱F S (f x , f y ) =∑∑F (f x -m /X , f y -n /Y )
m =-∞n =-∞当下标m=0,n=0时，即可从采样值函数的周期性重复频谱中绝对准确
的恢复出原函数的频谱。为了达到这个目的，则必须使各重复频谱分
F (f f ), |f |≤B |f |≤B 开，因此原函数应是一个带限函数，定义为{0 为保证相, 其他
邻区域不会重叠，各抽样点之间最大容许间隔为X=1/2Bx ，Y=1/2By 。
若超过临界采样间隔即X>1/2Bx ,Y>1/2By 时为欠采样的，这时频谱岛间
将有部分重叠，则不能采集正确的数据来准确的复现原函数。
6. 如何理解孔径对频谱的展宽效应?
答：光学问题中所关心的常常是某个选定平面上的光场分布。例如衍射场
中的孔径平面、观察平面，成象系统中的物平面和像平面等。如下图
示，在z =0平面处有一无穷大不透明屏，其上开一孔∑，则该孔的透射
函数为： {}x , y x x , y y
t
(⎧⎪1x , y ) =⎨0⎪⎩(x , y ) 在∑内其他
图 6.1 衍射孔径对角谱的影响
沿z 方向传播的光波入射到该孔径上的复振幅为U i (x , y , 0) ，则紧靠孔径
后的平面上的出射光场的复振幅U t (x , y , 0) 为：
U t (x , y , 0) =U i (x , y , 0) t (x , y )
对上式两边做傅立叶变换，用角谱表示为 A t (λλλλ
cos αcos β, ) 为孔径函数的傅里叶变换。 其中*为卷积，T (λλcos αcos βcos αcos βcos αcos β, ) =A i (, ) *T (, ) λλ
以矩形孔径为例，有t (x 0, y 0) =rect (x 0/a , ) rect (y 0/b ) ，采用单位振幅平面
波垂直照明孔径，入射光场为U i (x0,y 0)=1,入射光场的角谱则是
A i (cosα/λ, cos β/λ) =F {U i (x 0, y 0)}=δ(cosα/λ, cos β/λ) ，则透射光场的角谱
为
A t (cosα/λ, cos β/λ) =δ(cosα/λ, cos β/λ) *T (cosα/λ, cos β/λ) =ab sin c (a cos α/λ) sin c (b cos β/λ)
显然A t (cosα/λ,cos β/λ) 较之入射光场角谱所实际包含的角谱分
量增加了。因此，从空间域来看，孔径的作用是限制了入射波面的大
小范围，从频域来看，是展宽了入射光场的角谱。
7. 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射有何区别与联系？
答：在讨论了基尔霍夫衍射公式后，用它计算在数学上是很困难的，因此
需要讨论普遍理论的某些近似，以便可以用比较简单的数学运算来计
算衍射图样，并且这些近似又是实际问题所允许的。按照近似条件的
不同，可把近似分为菲涅耳近似和夫琅和费近似，与之对应的衍射现
象分为夫琅和费衍射和菲涅耳衍射。
①菲涅耳衍射公式：
假定孔径和观察平面之间的距离z 远远大于孔径∑的线度，并且只z 轴
附近的一个小区域内进行观察，则有
2222z 〉〉x 0及z 〉〉x max +y max max +y 0max
exp(jkz ) k U (x , y ) =exp[j (x 2+y 2) ⎰⎰U 0(x 0, y 0) j λz 2z -∞
⋅exp[j k 2π22(x 0+y 0)]exp[-j (xx 0+yy 0)]dx 0dy 02z λz ∞
式中光场的复振幅已改用通常的二维面分布的形式，为区别衍射孔径
面与观察面，前者增加下标“0”。菲涅耳衍射成立的条件是要求观察
距离z 满足 z 3〉〉2ππ222[(x -x 0) 2+(y -y 0) 2]max ≈(L 0+L 1) 4λ4λ
其中，L 0=(x 02+y 02) max 为孔径的最大尺寸，L 1=(x 2+y 2) max 为观察区
的最大区域。这种近似称为菲涅耳近似。
②夫琅和费衍射公式：
在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限制条件，即取：
z 〉〉k (x 02+y 02)
则平方位相因子在整个孔径上近似为1，于是
U (x , y , z ) =exp(jkz ) k exp[j (x 2+y 2)]j λz 2z 2πU (x , y , 0) exp[-j (xx 0+yy 0)]dx 0dy 000⎰⎰λz 12
所以根据以上的讨论，这两种衍射的区别从公式推导来说夫琅和费衍
射采用了比菲涅耳近似更严格的限制条件。按照传播距离划分衍射区，
如下图所示，考虑一列平面波通过一个孔径，在孔径后不同的平面上
观察其辐射的图样。夫琅和费衍射范围包含在菲涅耳衍射范围内，所
以凡能用来计算菲涅耳衍射的公式都能用来计算夫琅和费衍射。但是，
根据菲涅耳衍射的卷积积分表达式： ∞
U 0(x 0, y 0) =⎰⎰U 1(x 1, y 1) h (x 0-x 1, y 0-y 1) dx 1dy 1=U 1(x 0, y 0) *h (x 0, y 0) ，夫琅和费近似
-∞从形式上破坏了卷积关系，即破坏了衍射过程中系统的空间不变特性。
由于仅对于空间不变系统，其在频域中的作用才可以用系统的传递函
数表示，因而对夫琅和费衍射而言，不存在专门的传递函数，但由于
菲涅耳衍射区包含了夫琅和费衍射区，所以，菲涅耳衍射过程的传递
函数也适用于夫琅和费衍射。
8. 什么是振幅全息图，什么是位相全息图？
答：振幅全息图和位相全息图是根据全息图的复振幅透过率而分类的。平
面全息图的复振幅透过率一般是复函数，它描述照明光波通过全息图
传播时振幅和位相所受到的调制，可以表示为
其中t 0(x , y ) 为振幅透射因子，φ(x , y ) 表示位相t (x , y ) =t 0(x , y ) exp[j φ(x , y )]，
延迟。①当全息图仅引入常量位相延迟，即t (x , y ) =t 0(x , y ) exp(j φ0) ，照
明光波通过全息图时，仅仅振幅被调制，称之为振幅全息图。振幅全
息图是乳胶介质经感光处理后，其吸收率被干涉光场所调制，干涉条
纹以浓淡相间的黑白条纹被记录在全息干板上；重现时，黑色部分吸
收光而造成损失，未被吸收的部分衍射成像，故这种全息图又被称为
吸收型全息图。②如果t 0(x , y ) 为一常数，则t (x , y ) =t 0exp[j φ(x , y )]，照明
光波通过全息图时，受到均匀吸收，仅仅是位相被调制，称之为位相
全息图。位相全息图又分为折射率型和表面浮雕型两种：前者是以乳
胶折射率被调制的形式记录下干涉图形的，重现时，光经过折射率变
化的乳胶层而产生位相差；后者则是使记录介质的厚度随曝光量改变，
形成浮雕型全息图，折射率不变。照明光波通过位全息图时，仅仅其
位相被调制，无显著吸收，故一般得到的重现像较为明亮。
9. 透镜的标准傅里叶变换是如何实现的？
答: 透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的基本
功能。回顾在衍射屏后面的自由空间观察夫琅和费衍射，其条件是相
当苛刻的。近距离观察夫琅和费衍射，则要借助会聚透镜来实现。在
单色平面波垂直照射衍射屏的情况下，夫琅和费衍射分布函数就是屏
函数的傅里叶变换。即透镜可以用来实现透过物体的光场分布的傅里
叶变换。而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原因是它能够改变光波
的空间位相分布，具有位相变换的作用。单位振幅平面波垂直照明衍
射屏的夫琅和费衍射，恰好是衍射屏透过率函数t (x , y ) 的傅里叶变换
（除一相位因子外）。另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚
中心的观察屏上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数t (x , y ) 的
傅里叶变换（除一相位因子外）。这两种途径的傅里叶变换都能用透镜
比较方便地实现。第一种情况可在透镜的后焦面（无穷远照明光源的
共轭面）上观察夫琅和费衍射；第二种情况可在照明光源的共轭面上
观察屏函数的夫琅和费衍射图样。下面分别就透明片（物）放在透镜
之前和之后两种情况进行讨论。
物在透镜之前的变换：
下式是输入平面位于透镜前，计算光源共轭面上场分布一般公式。
⎧(f -d 0)(x 2+y 2) ⎫∞f (x 0x +y 0y ) U (x , y ) =c 'exp ⎨jk ]dx 0dy 0(9.1) ⎬⎰⎰t (x 0, y 0) exp[-jk q (f -d 0) +fd 0⎩2[q (f -d 0) +fd 0]⎭-∞
由于照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此上式中的q
由照明光源位置决定。当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直
照明时，q =f ，这时观察平面位于透镜后焦面上。另外，输入平面的
位置决定了d 0的大小，下面讨论一下输入平面的两个特殊位置。
（1）输入平面位于透镜前焦面 ：
这时d 0=f ，由(9.1)式得到 ∞
U (x , y ) =c '⎰⎰t (x 0, y 0) exp(-jk
-∞x 0x +y 0y ) dx 0dy 0 f
在这种情况下，衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存 在
准确的傅里叶变换关系，并且只要照明光源和观察平面满足共轭关系，
与照明光源的具体位置无关。
（2）输入面紧贴透镜 ：
这时d 0=0，由公式（9.1）得 ∞x 0x +y 0y x 2+y 2 U (x , y ) =c 'exp(jk （9.2） ) ⎰⎰t (x 0, y 0) exp(-jk ) dx 0dy 0 2q -∞q
在这种情况下，衍射物体的复振幅透过率与观察面上的场分布，不是
准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。观察面上的空间坐标与空间频率的关系为f x =x λq ，f y =y λq ，随q 的值而不同。
（3）物在透镜后方的变换：
x '2+y '2 这时入射到透镜前表面的场为：A 0exp(jk ) 2p
x '2+y '2x '2+y '2 从透镜出射的场为：A 0exp(jk ) exp(-jk ) 2p 2f
从透镜的后表面出射的场到达物的前表面造成的场分布为：
A U 0(x 0, y 0) =0
j λd 0∑p ⎰⎰(x 0-x ') 2+(y 0-y ') 2x '2+y '2x '2+y '2exp[jk ]exp(-jk ) exp[jk ]d x 'd y ' 2p 2f 2d 0
（9.3）
'(x 0, y 0) =t (x 0, y 0) U 0(x 0, y 0) 通过物体后的出射光场为：U 0
这个光场传输到观察平面(x, y )上造成的场分布为： 1 U (x , y ) =j λ(q -d 0) ⎰∑0⎰(x -x 0) 2+(y -y 0) 2t (x 0, y 0) U 0(x 0, y 0) exp[jk ]dx 0dy 0 2(q -d 0)
（9.4）
将式（9.3）代入式（9.4），得 U (x , y ) =-A 0k t (x , y ) exp[j (∆x +∆y )]d x 'd y 'dx 0dy 0 00⎰⎰⎰⎰22λd 0(q -d 0) ∑∑p 0
（9.5）
用推导式（9.1）的方法可得出：
⎡x 2+y 2⎤∞⎛x 0x +y 0y ⎫ ⎪dx dy ' U (x , y )=c exp ⎢jk ⎥⎰⎰t (x 0, y 0)exp -jk ⎪002q -d q -d ⎢⎥-∞0⎦0⎣⎝⎭
由公式（9.1）和（9.5）可以看出，不管衍射物体位于何种位置，要观
察面是照明光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间
的关系都是傅里叶变换关系。用透镜实现傅里叶变换，可以采用两种途
径：一种是采用平行光照明，在透镜的后焦面（无穷远照明光源的共轭
面）上观察到物的频谱(除一个位相因子外）；另一种是点光源照明衍射
屏时，点光源的像平面上将得到衍射屏函数的傅里叶变换谱（无论衍射
屏在透镜前还是后）且频谱的零频位置.
10. 相干光照明与非相干光照明的两种成像系统有何差异？
答：①在相干照明下，物面上各点是完全相干的。频域中描述系统的成像
特性的频谱函数H c (f x , f y )称为衍射受限系统的相干传递函数，记作
CTF 。②在非相干照明下，物面上各点的振幅和相位随时间变化的方式
是彼此独立、统计无关的。
A (f x , f y )=A I (f x , f y )H (f x , f y )H (f x , f y ) 称为非相干成像系统的光学传递函i 数（OTF ），它描述非相干成像系统在频域的效应。由对相关系统CTF
和非相关系统的OTF 的讨论，可通过以下几个方面来说明这两种成像系统的差别。
(1)截止频率：
OTF的截止频率是CTF 截止频率的两倍。但这并不意味着非相干 照明一定比相干照明好一些。这是因为不同系统的截止频率是对不同物理量传递而言的。对于非相干系统，它是指能够传递的强度呈余弦变化的最高频率。对于相干系统是指能够传递的复振幅呈周期变化的最高频率。显然，从数值上对二者做简单比较是不合适的。但对于二者的最后可观察量都是强度，因此直接对像强度进行比较是恰当的。下面将会看到，即使比较的物理量一致，而要判断绝对好坏也很困难。
(2)像强度的频谱：
对相干和非相干照明情况下像强度进行比较，最简单的方法是考察其频谱特性。在相干和非相干照明下，像强度可分别表示为 2~ I c (x i , y i ) =g (x i , y i ) *h (x i , y i )
I i (x i , y i ) =I g (x i , y i ) *h I (x i , y i )
式中，I c 和I i 分别是相干和非相干照明下像面上的强度分布，U g 和I g 分别为物（或理想像）的复振幅分布和强度分布。为了求像的频谱，分别对上两式进行傅里叶变换，并利用卷积定理和自相关定理得到相干和非相干像强度频谱为
G c (f x , f y )=[G gc (f x , f y )H c (f x , f y )] ☆[G gc (f x , f y )H c (f x , f y )]
G i (f x , f y )=[G gc (f x , f y ) ☆ G gc (f x , f y ) ][H c (f x , f y ) ☆H c (f x , f y ) ] 式中，G c 和G i 分别是相干和非相干像强度的频谱，G gc 是物的复振幅分
布的频谱，H c 是相干传递函数。就频谱内容而言，不能简单的得出哪
种照明方式好，当上两式表明，两种照明方式下的频谱内容可以很不同。因为成像结果不仅与照明方式有关，也于系统的结构和物的空间结构有关。
（3）两点分辨：
分辨率是评判系统成像质量的一个重要指标。非相干成像系统所使用的是瑞利分辨判据，用它来表示理想光学系统的分辨限。对于衍射受限的圆形光瞳情况，点光源在像面上产生的衍射斑的强度分布称为艾里斑。根据瑞利判据，对两个强度相等的非相干点源，若一个点源产生的艾里斑中心恰与第二个点源产生的艾里斑的第一个零点重合，则认为这两个点源刚好能够分辨。若把两个点源像中心取在x=±1.92处，则这一条件刚好满足，其强度分布为
2J 1(πx -1. 92) ⎤⎡2J 1(πx +1. 92) ⎤ I (x ) =⎡+⎢πx -1. 92⎥⎢πx +1. 92⎥⎣⎦⎣⎦22
在图10.1中给出了刚能分辨的两个点源所产生的强度分布曲线，中心凹陷大小为峰值的19%，这时在像面上得到的最小分辨限σ等于艾里斑图样的核半径，即 σ=1. 22λd i
D 式中D 为出瞳直径。
图10.1 刚能分辨的两个非相干点源的像强度分布
图10.2 相距为瑞利间隔的两上相干点源的像强度分布
相干照明时，两点源产生的艾里斑按复振幅叠加，叠加的结果强烈依赖于两点源之间的相位关系。为了说明问题，我们仍取两个像点的距离为瑞利间隔，看相干照明时是否也能分辨。因为是相干成像，两点源的像强度分布应为其复振幅相加模的平方，即 I (x ) =2J 1(πx -1. 92) +2J 1(πx +1. 92) e j φ
πx -1. 92πx +1. 922
0，2式中，φ为两个点源的相对相位差。图10.2对于φ分别为和π
三种情况画出了像强度分布。当φ=0时，两个点源的相位相同，I （x ）不出现中心凹陷，因此两个点完全不能分辨。当φ=2时，I （x ）与非相干照明完全相同，刚好能够分辨。当φ=π时，两个点源的相位相反，I （x ）的中心凹陷为零，这两点比非相干照明时分辨得更为清楚。
因此，到底哪种照明方式对提高两点源间的分辨率更为有利，不可能得到一个普遍的结论。故瑞利分辨判据仅适用于非相干成像系统，对于相干成像系统能否分辨两个点源，要看它们的相位关系。
11. 相干传递函数Hc(fx,fy)与光瞳函数P(λdifx, λdify) 是如何联系起
来的？光学传递函数具有哪些性质？
答：①任意成像系统都可以分成三个部分：从物平面到入瞳平面为第
一部分；从入瞳平面到出瞳平面为第二部分；从出瞳平面到像平面为第三部分。光波在一、三两部分空间的传播可按菲涅耳衍射处理。对于第二部分的透镜系统，在等晕条件下，可把它当做一个“黑箱”来处理，这个黑箱的两个边端分别是入瞳和出瞳，只要能够确定这黑箱的两个边端的性质，整个透镜组的性质便可确定下来，而不必深究其内部结构。假定在入瞳和出瞳之间的光的传播可用几何光学来描述，
图3.6 成像系统的普遍模型
物面上(x o , y o )点的单位脉冲通过衍射受限系统后在与物面共轭的像面
上的复振幅分布，即点扩散函数为 ∞
h (x 0, y 0; x i , y i ) =K ⎰⎰P (x , y ) exp ⎨-j
-∞⎧⎩⎫2π[(x i -Mx 0) x +(y i -My 0) y ]⎬dxdy λd i ⎭
式中，K 是与x o , y o 和x i , y i 无关的复常数；P (x , y )是出瞳函数（常称光瞳函数），在光瞳内其值为1，在光瞳外其值为零；d i 是光瞳面到像面的
距离，在相干照明条件下，对于衍射受限成像系统，表征成像系统特
~征的点扩散函数h (x i , y i )与光瞳函数的关系式为：
~h (x i , y i )=⎰⎰P (λd i ~x , λd i ~y )exp [-j2π(x i ~x +y i ~y )]d ~x d ~y
=F {P (λd i ~x , λd i ~y ) }-∞∞ （11.1）
从频域来分析成像过程，把复指数函数作为系统的本征函数，考察系
统对各种频率成分的传递特性。定义系统的输入频谱G gc (f x , f y ) 和输出频谱G ic (f x , f y ) 分别为
~~U g (x 0, y 0)} G gc (f x , f y )=F {
G ic (f x , f y )=F {U i (x i , y i )}
相干传递函数CTF 为
H c (f x , f y ) =F h (x i , y i )
将（11.1）式代入相关传递函数表达式中得
H c (f x , f y ) =F {F {P (λd i ~} x , λd i ~y )}
=P (-λd i f x , -λd i f y )
这说明，相干传递函数H c (f x , f y ) 等于光瞳函数，仅在空域坐标xy 和频 域坐标f x f y 之间存在着一定的坐标缩放关系。
②光学传递函数具有的性质有：
(1) H (f x , f y )是实的非负函数。因此衍射受限的非相干成像系统只改
变各频率余弦分量的对比，而不改变它们的相位。即只需考虑MTF 而不必考虑PTF 。
(2)H (0, 0)=1。当f x =f y =0时，两个光瞳完全重叠，归一化重叠面积为1，这正是OTF 归一化的结果，这并不意味着物和像的平均(背景) 光强相同。由于吸收、反射、散射及光阑挡光等原因，像面平均(背景) 光强总要弱于物面光强。但从对比度考虑，物像方零频分量的对比度都是单位值，无所谓衰减，所以H (0, 0)=1。它表明光学系统对零频信息的传递总是百分之百的传递。
(3) H (f x , f y )≤H (0, 0)。物理意义是：任意空间频率的MTF 必低于零频下得
值1. 故非相干光学系统可看成一个低通空间频率滤波器。
(4) H (f x , f y )有一截止频率。当f x , f y 足够大，两光瞳完全分离时，重叠面
积为零。此时H (f x , f y )=0，即在截止频率所规定的范围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些频率成分。
12. 全息照相记录与普通照相记录有什么差异？
答：普通照相是把物体通过几何光学成像方法记录在胶片上，每个物点转
换成相应的一个像点，得到的仅仅是物的亮度或强度分布。而全息照相不仅在记录物体的强度分布，而且还记录了传播到记录平面上的完整的物光波场。即既要记录振幅也要记录位相。与普通照相不同，全息照相有两个突出的特点，一是三维立体性，二是可分割性。所谓三维立体性，是指全息照片再现出来的像是三维立体的，具有如同观看{~}
真实物体一样的立体感，这一性质与现有的立体电影有着本质的区别。所谓可分割性，是指全息照片的碎片照样能反映出整个物体的像来，并不会因为照片的破碎而失去像的完整性。另外全息照相可进行多重记录，对于一张全息照片，记录时的物光和参照光以及重现时的重现光，三者是一一对应的。全息图可同时得到虚像和实像。
13. 为甚么全息照相对光源的相干性有很高的要求? 在布置全息记录光路时,
为甚么要求物光与参考光的光程大致相等？同时还要考虑物、参光束间的夹角？
答：①全息照相在记录振幅信息的同时，还记录了物光的位相信息。D ·盖
伯应用物理光学中干涉原理，将物光波的位相分布转换成记录在照相底片上的光强分布，解决了照相底片对位相差不敏感的问题。全息术所采用的波前记录与再现原理分别为--干涉法记录波前：在物光波到达感光板的同时，用另一束已知振幅及位相，并能与物光相干的光波（称为参考光）同时照射感光板曝光后，感光板上记录到的是两者相干涉的条纹。物光波的振幅和位相信息以干涉条纹的形状、疏密和强度的形式“冻结”在感光的全息干板上。使记录时被“冻结”在全息干板上的物波前在特定条件下“复活”，构成与原物波前完全相同的新的波前继续传播，形成三维立体像就需要波前再现技术。波前再现需借助于照明光波而该照明光波必须满足一定的条件才有可能再现原物的波前。若照射角度偏离：如再现光与参考光波面形状相同，只是相对全息图的入射角有偏离。偏离角小时仍出现再现像；随着角度的增大，再现像由畸变直至消失。若波长改变：如再现光与参考光只是波长存在差异，则再现像会出现尺寸上的放大或缩小，同时改变与全息图的相对距离。若波面的改变：再现光波面的改变都会使原始像发生畸变。所以用于记录全息图的干涉光源相干性的好坏显得十分关键。②全息图的条纹对比度V =2I 0I R 12(τ0) /I 0+I R ，它与物. 参光束比有
关，当I 0=I R 时V 最大，这时V max =γ12(τ0) ,若物光和参考光的光程又相等，则γ12=1，从而有最大的条纹对比度。但在进行全息照相时，由于各种因素的限制，不可能做到这一点。但可以在布置光路时尽量是它们相等。由全息图所形成的条纹光栅满足关系式导出 2d sin θ/2=λ，θ为参和物光束间的夹角，所以记录全息图时对底片分辨率的要求与物、参光束间的夹角有关。所以物光和参考光的夹角应选择适当，使全息图的条纹密度不得大于所选用记录介质的分辨率。
14. 为什么像面全息图和彩虹全息图可以用白光重现?
答：①将物体靠近记录介质，或利用成像透镜使物体成像在记录介质
附近，或使一个全息图重现的实像靠近记录介质，都可以得到像全息图。当物体的像正好成与记录介质面上时，得到像面全息图，它是像全息图的一个特例。由于像全息图是把成像光束作为物光波束记录，相当于物与全息干板重合，物距为零，因此当用复合光波重现时，重现像的像距也相应为零，各波长所对应的重现像都位于全息图上，将不出现像模糊与色模糊，因此，像全息图可以用扩展的白光光源照明重现，观察到清晰的像。②彩虹全息是像全息与狭缝技术相结合的产物。它是利用记录时在光路的适当位置加狭缝像，观察再现像时将受到狭缝再现像的限制。当用白光照明再现时，对不同颜色的光，狭缝和物体的再现像位置都不同，在不同位置将看到不同颜色的像，颜色的排列顺序与波长顺序相同，犹如彩虹一样，因此将这种全息术称为彩虹全息。
1. 在空域中，如何利用δ函数进行物光场分解。
答：δ函数常用来描述脉冲状态这样一类物理现象。空间变量的δ函可以
描写诸如单位光通量的点光源的面发光度等。其定义：
x =x y =y δ(x -x 0, y -y 0) ={∞ 0其他
∞⎰⎰-∞δ(x -x 0, y -y 0) dxdy =1
考察平行光束通过透镜后会聚于焦点时的照度分布，后焦面上的照度
分布可用δ（x,y) 描述。任何输入函数都可以表达为
∞
f (x 1, y 1)=⎰⎰f (ξ, η)δ(x 1-ξ, y 1-η)d ξd η该式表明，函数f (x 1, y 1) 可以分解
∞成为在x 1, y 1- 平面上不同位置处无穷多个δ函数的线性组合。
2. 卷积与相关各表示什么意义？在运算上有什么差异？
答：①卷积既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。
由于光学图像大多是二维平面图像，故定义函数g (x , y )和h (x , y )的二维∞卷积为 g (x )*h (x , y )=⎰⎰g (ξ, η)h (x -ξ, y -η)d ξd η。假设线光源置于会聚透
-∞镜L 1的前焦平面上，其方向与x 0轴方向一致，其强度分布为I 0(x0),
求透镜L 2后焦平面上的强度分布：
∞ Ii (xi )=⎰-∞I 0(ε) P (x i -ε) d ε
其中，I i (xi ) 是像平面上某点x i 处的总光强I i (xi ) ，P(xi ) 是单位强度
的点光源对应的像强度分布。由上式可知，光学系统像平面上的光强
分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。这
就是卷积在光学成像中的物理意义。
②互相关的定义为： ∞
e fg (x , y ) =⎰⎰f *(ε, η) g (x +ε, y +η) d εd η=f (x , y ) ψg (x , y )
-∞ 式中，*表示函数的复共轭。互相关是两个信号间存在多少相似性或者
关联性的量度。两个完全不同的，毫无关联的信号，对所有位置，它
们互相关的值应为零。如果两个信号由于某种物理上的联系在一些部
位存在相似性，则在相应位置上就存在非零的互相关值。
③比较卷积和相关的定义式可以看出，相关和卷积的区别仅在于相关
的运算中，函数f(x,y)应取复共轭，但图形不需要翻转，而位移，相
乘和积分三个过程是两者共通的。
3. 空间傅里叶变换的物理意义，具有哪些基本性质？哪些函数的傅里叶换本身还是该类型函数？他们具有哪些特点？
答：①空间傅里叶变换得物理意义是：在处理线性系统时，常用的方法是
把一个复杂的输入分解成许多较简单的基元的输入，计算该系统对每
一个这样的基元函数的响应，再把所有的单个响应叠加起来得到总响应。傅里叶分析提供了一个进行这种分解的基本手段。由傅里叶逆变0, 0
换公式f (x , y ) =⎰⎰F (f x , f y ) e i 2π(f x +f y ) df x df y 看到，可以把二维傅里叶变换看
-∞作是函数f(x,y)分解为exp[i2π(fx x+fy y)]的基元函数的线性组合。
物函数f(x,y)可看成无数振幅不同（|F（f x, f y ）df x df y |),方向不同
（cos cos α=λf x , cos β=λf y ) 的平面波形线性叠加的结果。傅里叶分解对
于讨论线性系统的性质和作用尤为重要。
②傅里叶变换的基本性质有：设函数g (x , y )和h (x , y )的傅里叶变换分别
为G (f x ,f y )和H (f x ,f y )，
（1）线性定理
F {ag (x , y )+bh (x , y )}=aG (f x , f y )+bH (f x , f y ) 式中a 和b 是任意复常数，即
两个函数线性组合的变换等于两个函数变换的线性组合。
（2）相似性定理
f x f y ⎫ F {g (ax , by )}=1G ⎛ ⎪ ⎪ab ⎝a b ⎭ (x , y )的扩展，导致频域中坐标(f x ,f y )的压缩以及频谱
幅度的变化。
（3）位移定理
F {g (x -a , y -b )}=G (f x , f y )exp [-j2π(f x a +f y b )]
即函数在空域中平移，带来频域中的线性相移。另一方面
F {g (x , y )exp [j2π(f a x +f b y )]}=G (f x -f a , f y -f b )
即函数在空域中的相移，会导致频谱的位移。
（4）帕色伐（Parsaval ）定理 ∞∞2 ⎰⎰g (x , y )2dxdy =⎰⎰G (f x ,f y dxdy
2-∞-∞g (x , y )表示一个实际的物理信号，G (f x ,f y 通常称为信号的功率若
谱（有时是能量谱）。定理表明信号在空域的能量与其在频域的能
量守恒。
（5）卷积定理
(x , y )的卷积定义为 函数g (x , y )和h ∞
g (x , y )*h (x , y )=⎰⎰g (ξ, η)h (x -ξ, y -η)d ξd η
y )}=G (f x , f y )⋅H (f x , f y ) 则F {g (x , y )*h (x -, ∞
即空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变
换的乘积。另一方面有F {g (x , y )⋅h (x , y )}=G (f x , f y )*H (f x , f y )
即空间域中两个函数的乘积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变
换的卷积。卷积定理可以用来通过傅里叶变换方法求卷积或者通
过卷积方法求傅里叶变换。
（6）相关定理（维纳——辛钦定理）
两复函数g (x , y )和h (x , y )的互相关定义为： x y ∞
g(x,y)☆h(y)=⎰⎰g *(ξ-x , η-y )h (ξ, η)d ξd η
-∞ 显然两函数的互相关可以表达为卷积的形式，再利用卷积定理，
可以得到
F {g (x , y ) ☆ h (x , y )}=G *(f x , f y )⋅H (f x , f y )
式中G *(f x , f y )⋅H (f x , f y )通常称为函数g (x , y )和h (x , y )的互谱密度，因
此式说明两函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对。这就
是傅里叶变换的互相关定理。
函数与其自身的互相关称为自相关。用g (x , y )替换h (x , y )可得自相
2 g (x , y )}=G (f x , f y ，关定理为F {g (x , y ) ☆自相关定理表明一个函数的
自相关与其功率谱构成傅里叶变换对。
(7) 傅里叶积分定理
在函数g (x , y )的各个连续点上F -1F {g (x , y )}=FF -1{g (x , y )}=g (x , y ) FF {g (x , y )}=F -1F -1{g (x , y )}=g (-x , -y )
即对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而对函数
相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的“倒立像”。
(8) 导数定理
m n (m , n ) F {g (x , y )}=(j 2πf x )(j 2πf y )G (f x , f y )
j ⎫m ⎛j ⎫n
(m , n )m n ⎛ F {x y g (x , y )}= ⎪ ⎪G (f x , f y ) ⎝2π⎭⎝2π⎭
∂m +n g (x , y )(m , n )式中g =, G ()(f , f )=∂G (f , f )。定理表明函数的微分m n ∂x ∂y ∂f ∂f 的傅立叶变换，可以转化为乘积运算。
③ 傅里叶变换还是该类型函数的有：
(1）梳状函数comb(x)，comb(xx ) 。一维梳状函数定∞义为：comb (x /x 0) =x 0∑δ(x -nx 0) ，其特点是无穷多个等间隔排列
n =-∞的δ函数之和，可以用来表示在一个平面上纵横排列着无穷多个
各自等距离的点光源。可以利用梳状函数对普通函数作等间隔采
样。
(2) 高斯函数的傅里叶变换仍是一个高斯函数即
F {Gaus (x )}=e -πf =Gaus (f ) 。高斯函数一维表达式
Gsuss(x/a)=e -π(x /a ) 其中 a>0。其特点函数在原点具有最大值1，
曲线下面积等于a 。高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束。
4. 如何理解线性空间不变系统的本征函数?
答：对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入
与一个复比例常数的乘积，这个输入函数就称为系统的本征函数。即m +n m , n x y x y m x n y 22∞
若函数f (x , y )满足以下条件：L {f (x , y )}=af (x , y ) 式中a 为一复常数，为本征函数的本征值，则称f (x , y )为算符L 所表
征的系统的本征函数。无论脉冲响应函数是什么形式，与它卷积的本
征函数得到的结果的函数形式一定还是本征函数，一个线性空间不变
系统的本征函数，其变化量决定与相应的本征值，δ函数，复指数函
数和余弦函数这些基元函数都可以形式不变的通过线性空间不变系
统，输出函数只是输入函数与一个复比例常数的乘积。
5. 超过临界采样间隔采集数据会有哪些后果？
答：根据二维采样定理，用二维梳状函数作为采样函数，分析采样值函数
的频谱，它是由频率平面上无限重复的原函数的频谱构成，形成排列
∞∞有序的频谱岛。采样值函数的频谱F S (f x , f y ) =∑∑F (f x -m /X , f y -n /Y )
m =-∞n =-∞当下标m=0,n=0时，即可从采样值函数的周期性重复频谱中绝对准确
的恢复出原函数的频谱。为了达到这个目的，则必须使各重复频谱分
F (f f ), |f |≤B |f |≤B 开，因此原函数应是一个带限函数，定义为{0 为保证相, 其他
邻区域不会重叠，各抽样点之间最大容许间隔为X=1/2Bx ，Y=1/2By 。
若超过临界采样间隔即X>1/2Bx ,Y>1/2By 时为欠采样的，这时频谱岛间
将有部分重叠，则不能采集正确的数据来准确的复现原函数。
6. 如何理解孔径对频谱的展宽效应?
答：光学问题中所关心的常常是某个选定平面上的光场分布。例如衍射场
中的孔径平面、观察平面，成象系统中的物平面和像平面等。如下图
示，在z =0平面处有一无穷大不透明屏，其上开一孔∑，则该孔的透射
函数为： {}x , y x x , y y
t
(⎧⎪1x , y ) =⎨0⎪⎩(x , y ) 在∑内其他
图 6.1 衍射孔径对角谱的影响
沿z 方向传播的光波入射到该孔径上的复振幅为U i (x , y , 0) ，则紧靠孔径
后的平面上的出射光场的复振幅U t (x , y , 0) 为：
U t (x , y , 0) =U i (x , y , 0) t (x , y )
对上式两边做傅立叶变换，用角谱表示为 A t (λλλλ
cos αcos β, ) 为孔径函数的傅里叶变换。 其中*为卷积，T (λλcos αcos βcos αcos βcos αcos β, ) =A i (, ) *T (, ) λλ
以矩形孔径为例，有t (x 0, y 0) =rect (x 0/a , ) rect (y 0/b ) ，采用单位振幅平面
波垂直照明孔径，入射光场为U i (x0,y 0)=1,入射光场的角谱则是
A i (cosα/λ, cos β/λ) =F {U i (x 0, y 0)}=δ(cosα/λ, cos β/λ) ，则透射光场的角谱
为
A t (cosα/λ, cos β/λ) =δ(cosα/λ, cos β/λ) *T (cosα/λ, cos β/λ) =ab sin c (a cos α/λ) sin c (b cos β/λ)
显然A t (cosα/λ,cos β/λ) 较之入射光场角谱所实际包含的角谱分
量增加了。因此，从空间域来看，孔径的作用是限制了入射波面的大
小范围，从频域来看，是展宽了入射光场的角谱。
7. 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射有何区别与联系？
答：在讨论了基尔霍夫衍射公式后，用它计算在数学上是很困难的，因此
需要讨论普遍理论的某些近似，以便可以用比较简单的数学运算来计
算衍射图样，并且这些近似又是实际问题所允许的。按照近似条件的
不同，可把近似分为菲涅耳近似和夫琅和费近似，与之对应的衍射现
象分为夫琅和费衍射和菲涅耳衍射。
①菲涅耳衍射公式：
假定孔径和观察平面之间的距离z 远远大于孔径∑的线度，并且只z 轴
附近的一个小区域内进行观察，则有
2222z 〉〉x 0及z 〉〉x max +y max max +y 0max
exp(jkz ) k U (x , y ) =exp[j (x 2+y 2) ⎰⎰U 0(x 0, y 0) j λz 2z -∞
⋅exp[j k 2π22(x 0+y 0)]exp[-j (xx 0+yy 0)]dx 0dy 02z λz ∞
式中光场的复振幅已改用通常的二维面分布的形式，为区别衍射孔径
面与观察面，前者增加下标“0”。菲涅耳衍射成立的条件是要求观察
距离z 满足 z 3〉〉2ππ222[(x -x 0) 2+(y -y 0) 2]max ≈(L 0+L 1) 4λ4λ
其中，L 0=(x 02+y 02) max 为孔径的最大尺寸，L 1=(x 2+y 2) max 为观察区
的最大区域。这种近似称为菲涅耳近似。
②夫琅和费衍射公式：
在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限制条件，即取：
z 〉〉k (x 02+y 02)
则平方位相因子在整个孔径上近似为1，于是
U (x , y , z ) =exp(jkz ) k exp[j (x 2+y 2)]j λz 2z 2πU (x , y , 0) exp[-j (xx 0+yy 0)]dx 0dy 000⎰⎰λz 12
所以根据以上的讨论，这两种衍射的区别从公式推导来说夫琅和费衍
射采用了比菲涅耳近似更严格的限制条件。按照传播距离划分衍射区，
如下图所示，考虑一列平面波通过一个孔径，在孔径后不同的平面上
观察其辐射的图样。夫琅和费衍射范围包含在菲涅耳衍射范围内，所
以凡能用来计算菲涅耳衍射的公式都能用来计算夫琅和费衍射。但是，
根据菲涅耳衍射的卷积积分表达式： ∞
U 0(x 0, y 0) =⎰⎰U 1(x 1, y 1) h (x 0-x 1, y 0-y 1) dx 1dy 1=U 1(x 0, y 0) *h (x 0, y 0) ，夫琅和费近似
-∞从形式上破坏了卷积关系，即破坏了衍射过程中系统的空间不变特性。
由于仅对于空间不变系统，其在频域中的作用才可以用系统的传递函
数表示，因而对夫琅和费衍射而言，不存在专门的传递函数，但由于
菲涅耳衍射区包含了夫琅和费衍射区，所以，菲涅耳衍射过程的传递
函数也适用于夫琅和费衍射。
8. 什么是振幅全息图，什么是位相全息图？
答：振幅全息图和位相全息图是根据全息图的复振幅透过率而分类的。平
面全息图的复振幅透过率一般是复函数，它描述照明光波通过全息图
传播时振幅和位相所受到的调制，可以表示为
其中t 0(x , y ) 为振幅透射因子，φ(x , y ) 表示位相t (x , y ) =t 0(x , y ) exp[j φ(x , y )]，
延迟。①当全息图仅引入常量位相延迟，即t (x , y ) =t 0(x , y ) exp(j φ0) ，照
明光波通过全息图时，仅仅振幅被调制，称之为振幅全息图。振幅全
息图是乳胶介质经感光处理后，其吸收率被干涉光场所调制，干涉条
纹以浓淡相间的黑白条纹被记录在全息干板上；重现时，黑色部分吸
收光而造成损失，未被吸收的部分衍射成像，故这种全息图又被称为
吸收型全息图。②如果t 0(x , y ) 为一常数，则t (x , y ) =t 0exp[j φ(x , y )]，照明
光波通过全息图时，受到均匀吸收，仅仅是位相被调制，称之为位相
全息图。位相全息图又分为折射率型和表面浮雕型两种：前者是以乳
胶折射率被调制的形式记录下干涉图形的，重现时，光经过折射率变
化的乳胶层而产生位相差；后者则是使记录介质的厚度随曝光量改变，
形成浮雕型全息图，折射率不变。照明光波通过位全息图时，仅仅其
位相被调制，无显著吸收，故一般得到的重现像较为明亮。
9. 透镜的标准傅里叶变换是如何实现的？
答: 透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的基本
功能。回顾在衍射屏后面的自由空间观察夫琅和费衍射，其条件是相
当苛刻的。近距离观察夫琅和费衍射，则要借助会聚透镜来实现。在
单色平面波垂直照射衍射屏的情况下，夫琅和费衍射分布函数就是屏
函数的傅里叶变换。即透镜可以用来实现透过物体的光场分布的傅里
叶变换。而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原因是它能够改变光波
的空间位相分布，具有位相变换的作用。单位振幅平面波垂直照明衍
射屏的夫琅和费衍射，恰好是衍射屏透过率函数t (x , y ) 的傅里叶变换
（除一相位因子外）。另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚
中心的观察屏上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数t (x , y ) 的
傅里叶变换（除一相位因子外）。这两种途径的傅里叶变换都能用透镜
比较方便地实现。第一种情况可在透镜的后焦面（无穷远照明光源的
共轭面）上观察夫琅和费衍射；第二种情况可在照明光源的共轭面上
观察屏函数的夫琅和费衍射图样。下面分别就透明片（物）放在透镜
之前和之后两种情况进行讨论。
物在透镜之前的变换：
下式是输入平面位于透镜前，计算光源共轭面上场分布一般公式。
⎧(f -d 0)(x 2+y 2) ⎫∞f (x 0x +y 0y ) U (x , y ) =c 'exp ⎨jk ]dx 0dy 0(9.1) ⎬⎰⎰t (x 0, y 0) exp[-jk q (f -d 0) +fd 0⎩2[q (f -d 0) +fd 0]⎭-∞
由于照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此上式中的q
由照明光源位置决定。当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直
照明时，q =f ，这时观察平面位于透镜后焦面上。另外，输入平面的
位置决定了d 0的大小，下面讨论一下输入平面的两个特殊位置。
（1）输入平面位于透镜前焦面 ：
这时d 0=f ，由(9.1)式得到 ∞
U (x , y ) =c '⎰⎰t (x 0, y 0) exp(-jk
-∞x 0x +y 0y ) dx 0dy 0 f
在这种情况下，衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存 在
准确的傅里叶变换关系，并且只要照明光源和观察平面满足共轭关系，
与照明光源的具体位置无关。
（2）输入面紧贴透镜 ：
这时d 0=0，由公式（9.1）得 ∞x 0x +y 0y x 2+y 2 U (x , y ) =c 'exp(jk （9.2） ) ⎰⎰t (x 0, y 0) exp(-jk ) dx 0dy 0 2q -∞q
在这种情况下，衍射物体的复振幅透过率与观察面上的场分布，不是
准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。观察面上的空间坐标与空间频率的关系为f x =x λq ，f y =y λq ，随q 的值而不同。
（3）物在透镜后方的变换：
x '2+y '2 这时入射到透镜前表面的场为：A 0exp(jk ) 2p
x '2+y '2x '2+y '2 从透镜出射的场为：A 0exp(jk ) exp(-jk ) 2p 2f
从透镜的后表面出射的场到达物的前表面造成的场分布为：
A U 0(x 0, y 0) =0
j λd 0∑p ⎰⎰(x 0-x ') 2+(y 0-y ') 2x '2+y '2x '2+y '2exp[jk ]exp(-jk ) exp[jk ]d x 'd y ' 2p 2f 2d 0
（9.3）
'(x 0, y 0) =t (x 0, y 0) U 0(x 0, y 0) 通过物体后的出射光场为：U 0
这个光场传输到观察平面(x, y )上造成的场分布为： 1 U (x , y ) =j λ(q -d 0) ⎰∑0⎰(x -x 0) 2+(y -y 0) 2t (x 0, y 0) U 0(x 0, y 0) exp[jk ]dx 0dy 0 2(q -d 0)
（9.4）
将式（9.3）代入式（9.4），得 U (x , y ) =-A 0k t (x , y ) exp[j (∆x +∆y )]d x 'd y 'dx 0dy 0 00⎰⎰⎰⎰22λd 0(q -d 0) ∑∑p 0
（9.5）
用推导式（9.1）的方法可得出：
⎡x 2+y 2⎤∞⎛x 0x +y 0y ⎫ ⎪dx dy ' U (x , y )=c exp ⎢jk ⎥⎰⎰t (x 0, y 0)exp -jk ⎪002q -d q -d ⎢⎥-∞0⎦0⎣⎝⎭
由公式（9.1）和（9.5）可以看出，不管衍射物体位于何种位置，要观
察面是照明光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间
的关系都是傅里叶变换关系。用透镜实现傅里叶变换，可以采用两种途
径：一种是采用平行光照明，在透镜的后焦面（无穷远照明光源的共轭
面）上观察到物的频谱(除一个位相因子外）；另一种是点光源照明衍射
屏时，点光源的像平面上将得到衍射屏函数的傅里叶变换谱（无论衍射
屏在透镜前还是后）且频谱的零频位置.
10. 相干光照明与非相干光照明的两种成像系统有何差异？
答：①在相干照明下，物面上各点是完全相干的。频域中描述系统的成像
特性的频谱函数H c (f x , f y )称为衍射受限系统的相干传递函数，记作
CTF 。②在非相干照明下，物面上各点的振幅和相位随时间变化的方式
是彼此独立、统计无关的。
A (f x , f y )=A I (f x , f y )H (f x , f y )H (f x , f y ) 称为非相干成像系统的光学传递函i 数（OTF ），它描述非相干成像系统在频域的效应。由对相关系统CTF
和非相关系统的OTF 的讨论，可通过以下几个方面来说明这两种成像系统的差别。
(1)截止频率：
OTF的截止频率是CTF 截止频率的两倍。但这并不意味着非相干 照明一定比相干照明好一些。这是因为不同系统的截止频率是对不同物理量传递而言的。对于非相干系统，它是指能够传递的强度呈余弦变化的最高频率。对于相干系统是指能够传递的复振幅呈周期变化的最高频率。显然，从数值上对二者做简单比较是不合适的。但对于二者的最后可观察量都是强度，因此直接对像强度进行比较是恰当的。下面将会看到，即使比较的物理量一致，而要判断绝对好坏也很困难。
(2)像强度的频谱：
对相干和非相干照明情况下像强度进行比较，最简单的方法是考察其频谱特性。在相干和非相干照明下，像强度可分别表示为 2~ I c (x i , y i ) =g (x i , y i ) *h (x i , y i )
I i (x i , y i ) =I g (x i , y i ) *h I (x i , y i )
式中，I c 和I i 分别是相干和非相干照明下像面上的强度分布，U g 和I g 分别为物（或理想像）的复振幅分布和强度分布。为了求像的频谱，分别对上两式进行傅里叶变换，并利用卷积定理和自相关定理得到相干和非相干像强度频谱为
G c (f x , f y )=[G gc (f x , f y )H c (f x , f y )] ☆[G gc (f x , f y )H c (f x , f y )]
G i (f x , f y )=[G gc (f x , f y ) ☆ G gc (f x , f y ) ][H c (f x , f y ) ☆H c (f x , f y ) ] 式中，G c 和G i 分别是相干和非相干像强度的频谱，G gc 是物的复振幅分
布的频谱，H c 是相干传递函数。就频谱内容而言，不能简单的得出哪
种照明方式好，当上两式表明，两种照明方式下的频谱内容可以很不同。因为成像结果不仅与照明方式有关，也于系统的结构和物的空间结构有关。
（3）两点分辨：
分辨率是评判系统成像质量的一个重要指标。非相干成像系统所使用的是瑞利分辨判据，用它来表示理想光学系统的分辨限。对于衍射受限的圆形光瞳情况，点光源在像面上产生的衍射斑的强度分布称为艾里斑。根据瑞利判据，对两个强度相等的非相干点源，若一个点源产生的艾里斑中心恰与第二个点源产生的艾里斑的第一个零点重合，则认为这两个点源刚好能够分辨。若把两个点源像中心取在x=±1.92处，则这一条件刚好满足，其强度分布为
2J 1(πx -1. 92) ⎤⎡2J 1(πx +1. 92) ⎤ I (x ) =⎡+⎢πx -1. 92⎥⎢πx +1. 92⎥⎣⎦⎣⎦22
在图10.1中给出了刚能分辨的两个点源所产生的强度分布曲线，中心凹陷大小为峰值的19%，这时在像面上得到的最小分辨限σ等于艾里斑图样的核半径，即 σ=1. 22λd i
D 式中D 为出瞳直径。
图10.1 刚能分辨的两个非相干点源的像强度分布
图10.2 相距为瑞利间隔的两上相干点源的像强度分布
相干照明时，两点源产生的艾里斑按复振幅叠加，叠加的结果强烈依赖于两点源之间的相位关系。为了说明问题，我们仍取两个像点的距离为瑞利间隔，看相干照明时是否也能分辨。因为是相干成像，两点源的像强度分布应为其复振幅相加模的平方，即 I (x ) =2J 1(πx -1. 92) +2J 1(πx +1. 92) e j φ
πx -1. 92πx +1. 922
0，2式中，φ为两个点源的相对相位差。图10.2对于φ分别为和π
三种情况画出了像强度分布。当φ=0时，两个点源的相位相同，I （x ）不出现中心凹陷，因此两个点完全不能分辨。当φ=2时，I （x ）与非相干照明完全相同，刚好能够分辨。当φ=π时，两个点源的相位相反，I （x ）的中心凹陷为零，这两点比非相干照明时分辨得更为清楚。
因此，到底哪种照明方式对提高两点源间的分辨率更为有利，不可能得到一个普遍的结论。故瑞利分辨判据仅适用于非相干成像系统，对于相干成像系统能否分辨两个点源，要看它们的相位关系。
11. 相干传递函数Hc(fx,fy)与光瞳函数P(λdifx, λdify) 是如何联系起
来的？光学传递函数具有哪些性质？
答：①任意成像系统都可以分成三个部分：从物平面到入瞳平面为第
一部分；从入瞳平面到出瞳平面为第二部分；从出瞳平面到像平面为第三部分。光波在一、三两部分空间的传播可按菲涅耳衍射处理。对于第二部分的透镜系统，在等晕条件下，可把它当做一个“黑箱”来处理，这个黑箱的两个边端分别是入瞳和出瞳，只要能够确定这黑箱的两个边端的性质，整个透镜组的性质便可确定下来，而不必深究其内部结构。假定在入瞳和出瞳之间的光的传播可用几何光学来描述，
图3.6 成像系统的普遍模型
物面上(x o , y o )点的单位脉冲通过衍射受限系统后在与物面共轭的像面
上的复振幅分布，即点扩散函数为 ∞
h (x 0, y 0; x i , y i ) =K ⎰⎰P (x , y ) exp ⎨-j
-∞⎧⎩⎫2π[(x i -Mx 0) x +(y i -My 0) y ]⎬dxdy λd i ⎭
式中，K 是与x o , y o 和x i , y i 无关的复常数；P (x , y )是出瞳函数（常称光瞳函数），在光瞳内其值为1，在光瞳外其值为零；d i 是光瞳面到像面的
距离，在相干照明条件下，对于衍射受限成像系统，表征成像系统特
~征的点扩散函数h (x i , y i )与光瞳函数的关系式为：
~h (x i , y i )=⎰⎰P (λd i ~x , λd i ~y )exp [-j2π(x i ~x +y i ~y )]d ~x d ~y
=F {P (λd i ~x , λd i ~y ) }-∞∞ （11.1）
从频域来分析成像过程，把复指数函数作为系统的本征函数，考察系
统对各种频率成分的传递特性。定义系统的输入频谱G gc (f x , f y ) 和输出频谱G ic (f x , f y ) 分别为
~~U g (x 0, y 0)} G gc (f x , f y )=F {
G ic (f x , f y )=F {U i (x i , y i )}
相干传递函数CTF 为
H c (f x , f y ) =F h (x i , y i )
将（11.1）式代入相关传递函数表达式中得
H c (f x , f y ) =F {F {P (λd i ~} x , λd i ~y )}
=P (-λd i f x , -λd i f y )
这说明，相干传递函数H c (f x , f y ) 等于光瞳函数，仅在空域坐标xy 和频 域坐标f x f y 之间存在着一定的坐标缩放关系。
②光学传递函数具有的性质有：
(1) H (f x , f y )是实的非负函数。因此衍射受限的非相干成像系统只改
变各频率余弦分量的对比，而不改变它们的相位。即只需考虑MTF 而不必考虑PTF 。
(2)H (0, 0)=1。当f x =f y =0时，两个光瞳完全重叠，归一化重叠面积为1，这正是OTF 归一化的结果，这并不意味着物和像的平均(背景) 光强相同。由于吸收、反射、散射及光阑挡光等原因，像面平均(背景) 光强总要弱于物面光强。但从对比度考虑，物像方零频分量的对比度都是单位值，无所谓衰减，所以H (0, 0)=1。它表明光学系统对零频信息的传递总是百分之百的传递。
(3) H (f x , f y )≤H (0, 0)。物理意义是：任意空间频率的MTF 必低于零频下得
值1. 故非相干光学系统可看成一个低通空间频率滤波器。
(4) H (f x , f y )有一截止频率。当f x , f y 足够大，两光瞳完全分离时，重叠面
积为零。此时H (f x , f y )=0，即在截止频率所规定的范围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些频率成分。
12. 全息照相记录与普通照相记录有什么差异？
答：普通照相是把物体通过几何光学成像方法记录在胶片上，每个物点转
换成相应的一个像点，得到的仅仅是物的亮度或强度分布。而全息照相不仅在记录物体的强度分布，而且还记录了传播到记录平面上的完整的物光波场。即既要记录振幅也要记录位相。与普通照相不同，全息照相有两个突出的特点，一是三维立体性，二是可分割性。所谓三维立体性，是指全息照片再现出来的像是三维立体的，具有如同观看{~}
真实物体一样的立体感，这一性质与现有的立体电影有着本质的区别。所谓可分割性，是指全息照片的碎片照样能反映出整个物体的像来，并不会因为照片的破碎而失去像的完整性。另外全息照相可进行多重记录，对于一张全息照片，记录时的物光和参照光以及重现时的重现光，三者是一一对应的。全息图可同时得到虚像和实像。
13. 为甚么全息照相对光源的相干性有很高的要求? 在布置全息记录光路时,
为甚么要求物光与参考光的光程大致相等？同时还要考虑物、参光束间的夹角？
答：①全息照相在记录振幅信息的同时，还记录了物光的位相信息。D ·盖
伯应用物理光学中干涉原理，将物光波的位相分布转换成记录在照相底片上的光强分布，解决了照相底片对位相差不敏感的问题。全息术所采用的波前记录与再现原理分别为--干涉法记录波前：在物光波到达感光板的同时，用另一束已知振幅及位相，并能与物光相干的光波（称为参考光）同时照射感光板曝光后，感光板上记录到的是两者相干涉的条纹。物光波的振幅和位相信息以干涉条纹的形状、疏密和强度的形式“冻结”在感光的全息干板上。使记录时被“冻结”在全息干板上的物波前在特定条件下“复活”，构成与原物波前完全相同的新的波前继续传播，形成三维立体像就需要波前再现技术。波前再现需借助于照明光波而该照明光波必须满足一定的条件才有可能再现原物的波前。若照射角度偏离：如再现光与参考光波面形状相同，只是相对全息图的入射角有偏离。偏离角小时仍出现再现像；随着角度的增大，再现像由畸变直至消失。若波长改变：如再现光与参考光只是波长存在差异，则再现像会出现尺寸上的放大或缩小，同时改变与全息图的相对距离。若波面的改变：再现光波面的改变都会使原始像发生畸变。所以用于记录全息图的干涉光源相干性的好坏显得十分关键。②全息图的条纹对比度V =2I 0I R 12(τ0) /I 0+I R ，它与物. 参光束比有
关，当I 0=I R 时V 最大，这时V max =γ12(τ0) ,若物光和参考光的光程又相等，则γ12=1，从而有最大的条纹对比度。但在进行全息照相时，由于各种因素的限制，不可能做到这一点。但可以在布置光路时尽量是它们相等。由全息图所形成的条纹光栅满足关系式导出 2d sin θ/2=λ，θ为参和物光束间的夹角，所以记录全息图时对底片分辨率的要求与物、参光束间的夹角有关。所以物光和参考光的夹角应选择适当，使全息图的条纹密度不得大于所选用记录介质的分辨率。
14. 为什么像面全息图和彩虹全息图可以用白光重现?
答：①将物体靠近记录介质，或利用成像透镜使物体成像在记录介质
附近，或使一个全息图重现的实像靠近记录介质，都可以得到像全息图。当物体的像正好成与记录介质面上时，得到像面全息图，它是像全息图的一个特例。由于像全息图是把成像光束作为物光波束记录，相当于物与全息干板重合，物距为零，因此当用复合光波重现时，重现像的像距也相应为零，各波长所对应的重现像都位于全息图上，将不出现像模糊与色模糊，因此，像全息图可以用扩展的白光光源照明重现，观察到清晰的像。②彩虹全息是像全息与狭缝技术相结合的产物。它是利用记录时在光路的适当位置加狭缝像，观察再现像时将受到狭缝再现像的限制。当用白光照明再现时，对不同颜色的光，狭缝和物体的再现像位置都不同，在不同位置将看到不同颜色的像，颜色的排列顺序与波长顺序相同，犹如彩虹一样，因此将这种全息术称为彩虹全息。