【综合能力训练】 一、选择题
1．如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为（ ）
A ．
π 6
B ．
π 4
C ．
π 3
B ．
π 2
2．如图8-22，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥。在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S 1、S 2、S 3，则这个三棱锥的体积为（ ）
A ．V=
2S 1S 2S 3
3
B ．V=
2S 1S 2S 3
3S
1S 2S 3
6
C ．V=
2S 1S 2S 3
3
D ．V=
3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ） A ．必定都不是直角三角形 B ．至多有一个直角三角形 C ．至多有两个直角三角形 D ．可能都是直角三角形
4．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）
A ．
7π 2
B ．56π C ．14π D ．64π
5．把一个半径为R 的实心铁球熔化铸成两个小球（不计损耗），两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为（ ）
1A ．R
3
B ．R
3
C ．
25
R 5
D ．
3R 3
6．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3，则（ ）
A ．S 1
7．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的顶点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的，且B 1B=D1D 。已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ）
A ．
6 2
B ．
3
C ．
6 4
D ．
6
8．设地球半径为R ，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为（ ）
A ．
πR 3
B ．πR
C ．πR D ．2πR
9．如图8-24，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
10．如图8-25，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q ，且满足A 1P=BQ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）
A ．3∶1
B ．2∶1
C ．4∶1
D ．3∶1
11．如图8-26，下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（ ）
12．已知A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O 到平面BCD 的距离等于（ ）
A ．
6 3
B ．
6
C ．
6 12
D ．
6 18
二、填空题
13．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。
14．如图8-27，在三棱锥S —ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是棱SA 、SB 、BC 、AC 的中点，截面EFGH 将三棱锥分割为两个几何体AB —EFGH 、SC —EFGH ，其体积分别是V 1、V 2，则V 1∶V 2的值是 。
15．已知三棱锥的一条棱长为1，其余各条棱长皆为2，则此三棱锥的体积为
16．已知正四棱柱的体积为定值V ，则它的表面积的最小值为。
三、解答题 17．正四棱台上、下底面边长分别为a 和b, 上、下底面积之和等于侧面积，求棱台体积。
18．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积.
19．如图8-29，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为6，求半球的表面积和体积。
20．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图8-30），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米。
（1）求a 关于h 的函数解析式；
（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值。 （求解本题时，不计容器的厚度）
【综合能力训练】
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.B 11.C 12.B 13. 侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 14.1∶1 15.
16.62 6
17. 解：V=
ab
（a 2+ab+b2）。
3(a +b )
18:解析：由三视图知正三棱柱的高为2 cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为cm.
设底面边长为a ，则∴a=4.
∴正三棱柱的表面积S=S侧+2S底
,
=3×4×2+2×答案：8(3+
×4×)(cm).
=8(3+)(cm)
19. 解 设球的半径为r, 过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为6，另一边长为2·6=2，
∴r 2=() 2+() 2=9，∴r=3，故S 半球=2πr 2+πr 2=27π， V 半球=
23
πr =18π，即半球的表面积为27π，体积为18π。 3
注：本题是正方体内接于半球问题，它与正方体内接于球的问题是有本质差别的，请注意比较。
20. 解（1）设h ′为正四棱锥的斜高，
1⎧2
a +4⋅h ' a =2, ⎪⎪2
由已知得⎨
⎪h 2+1a 2=h ' 2, ⎪4⎩
解得a=
1h +1
2
(h>0)。
（2）V=
12h ha =(h>0)， 233(h +1)
易得V=
113(h +)
h
，
因为h+
111
≥2h ⋅=2，所以V ≤， h 6h
等号当且仅当h=
1
，即h=1时取得。 h
1
立方米。 6
故当h=1米时，V 有最大值，V 的最大值为
【综合能力训练】 一、选择题
1．如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为（ ）
A ．
π 6
B ．
π 4
C ．
π 3
B ．
π 2
2．如图8-22，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥。在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S 1、S 2、S 3，则这个三棱锥的体积为（ ）
A ．V=
2S 1S 2S 3
3
B ．V=
2S 1S 2S 3
3S
1S 2S 3
6
C ．V=
2S 1S 2S 3
3
D ．V=
3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ） A ．必定都不是直角三角形 B ．至多有一个直角三角形 C ．至多有两个直角三角形 D ．可能都是直角三角形
4．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）
A ．
7π 2
B ．56π C ．14π D ．64π
5．把一个半径为R 的实心铁球熔化铸成两个小球（不计损耗），两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为（ ）
1A ．R
3
B ．R
3
C ．
25
R 5
D ．
3R 3
6．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3，则（ ）
A ．S 1
7．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的顶点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的，且B 1B=D1D 。已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ）
A ．
6 2
B ．
3
C ．
6 4
D ．
6
8．设地球半径为R ，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为（ ）
A ．
πR 3
B ．πR
C ．πR D ．2πR
9．如图8-24，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
10．如图8-25，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q ，且满足A 1P=BQ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）
A ．3∶1
B ．2∶1
C ．4∶1
D ．3∶1
11．如图8-26，下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（ ）
12．已知A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O 到平面BCD 的距离等于（ ）
A ．
6 3
B ．
6
C ．
6 12
D ．
6 18
二、填空题
13．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。
14．如图8-27，在三棱锥S —ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是棱SA 、SB 、BC 、AC 的中点，截面EFGH 将三棱锥分割为两个几何体AB —EFGH 、SC —EFGH ，其体积分别是V 1、V 2，则V 1∶V 2的值是 。
15．已知三棱锥的一条棱长为1，其余各条棱长皆为2，则此三棱锥的体积为
16．已知正四棱柱的体积为定值V ，则它的表面积的最小值为。
三、解答题 17．正四棱台上、下底面边长分别为a 和b, 上、下底面积之和等于侧面积，求棱台体积。
18．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积.
19．如图8-29，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为6，求半球的表面积和体积。
20．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图8-30），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米。
（1）求a 关于h 的函数解析式；
（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值。 （求解本题时，不计容器的厚度）
【综合能力训练】
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.B 11.C 12.B 13. 侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 14.1∶1 15.
16.62 6
17. 解：V=
ab
（a 2+ab+b2）。
3(a +b )
18:解析：由三视图知正三棱柱的高为2 cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为cm.
设底面边长为a ，则∴a=4.
∴正三棱柱的表面积S=S侧+2S底
,
=3×4×2+2×答案：8(3+
×4×)(cm).
=8(3+)(cm)
19. 解 设球的半径为r, 过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为6，另一边长为2·6=2，
∴r 2=() 2+() 2=9，∴r=3，故S 半球=2πr 2+πr 2=27π， V 半球=
23
πr =18π，即半球的表面积为27π，体积为18π。 3
注：本题是正方体内接于半球问题，它与正方体内接于球的问题是有本质差别的，请注意比较。
20. 解（1）设h ′为正四棱锥的斜高，
1⎧2
a +4⋅h ' a =2, ⎪⎪2
由已知得⎨
⎪h 2+1a 2=h ' 2, ⎪4⎩
解得a=
1h +1
2
(h>0)。
（2）V=
12h ha =(h>0)， 233(h +1)
易得V=
113(h +)
h
，
因为h+
111
≥2h ⋅=2，所以V ≤， h 6h
等号当且仅当h=
1
，即h=1时取得。 h
1
立方米。 6
故当h=1米时，V 有最大值，V 的最大值为