第四篇 抽象代数
第十章 代数结构通论
10.1 代数结构 内容提要
10.1.1代数结构的意义
定义10.1 称 为集合S 上的n 元运算（operaters ），如果 为Sn 到S 的一个函数。以下 常用以表示二元运算, (x,y) 常记为x y ； 常用以表示一元运算。对二元运算，’: 称 运算满足结合律，若 x y z (x,y,z S→x (y z) = (x y ) z ) 称 运算满足交换律，若 x y (x,y S→x y = y x ) 称 运算对 ’ 运算满足分配律，若 x y z (x,y,z S→x (y ’z) = (x y ) ’ (x z ))
定义10.2 代数结构（algebra structures）是由以下三个部分组成的数学结构： （1）非空集合S ，称为代数结构的载体。 （2）载体S 上的若干运算。
（3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数结构常用一个多元序组来表示，其中 S 是载体， ，，…为各种运算。有时为了强调S 有某些元素地位特殊，也可将它们列入这种多元序组的末尾。
10.1.2 代数结构的特殊元素
定义10.3 元素e 称为代数结构的（关于运算的）幺元(identity elements) ，如果e S且对任意元素x S有
x e -= e x = x . 元素er S(el S)称为（关于运算的）右幺元(左幺元), 如果er (el) 对任意元素x S满足 x e r = x (el x = x)
定理10.1 代数结构有关于 运算的幺元，当且仅当它同时有关于 运算的左幺元和右幺元。
定理10.2 任何含有关于 运算幺元的代数结构, 其所含幺元是唯一的。
定义10.4 元素O 称为代数结构 (关于 运算) 的零元(zero)，如果O S且对任意x S有
x O ＝ O x ＝ O 元素O r S (O l S)称为左零元（右零元）．如果Or （Ol ）满足:对一切x S， x Or ＝ Or （Ol x = Ol）
定理10.3 代数结构有关于 运算的零元，当且仅当它同时有关于 运算的左零元和右零元。
定理10.4 任何含有关于 运算零元的代数结构，其所含零元是唯一的。
定义10.5设代数结构中e 为幺元，x,y 为S 中元素。若x y ＝e ，那么称x 为y 的左逆元，y 为x 的右逆元。若x y ＝y x ＝e ，那么称x(y)为y(x)的逆元（inverse elements）。
x 的逆元通常记为x-1; 但当运算被称为―加法运算‖（记为+）时，x 的逆元可记为-x 。
定理10.5 设有幺元e ，零元O ；并且 S ≧2，那么O 无左（右）逆元．
定理10.6 设有幺元e ，且运算 满足结合律, 那么当S 中元素x 有左逆元l 及右逆元r 时,l = r, 它们就是x 的逆元。
定义10.6 称中元素a 是可约的(cancelable),如果a 满足:对任意x,y S a x = a y 蕴涵 x = y (10-1) x a = y a 蕴涵 x = y (10-2)
当a 满足(10-1)时, 也称a 是左可约的, 当a 满足(10-2)时, 也称a 是右可约的。
定理10.7 若中 运算满足结合律, 且元素a 有逆元(左逆元, 右逆元), 那么a 必定是可约的(左可约的, 右可约的) 。
10.1.3 子代数结构
定义10.7 设S 上有n 元运算 （n ＝1，2，…），S’ S, 称 运算对S’封闭（c1osed ），如果对任意元素x1，x2，…，xn S’, (x1，x2，…，xn) S’．
定义10.8 称为代数结构的子代数结构，或子代数（subalgebra ）, 如果 （1）S’ S
（2）运算 对S’封闭．
据定义，子代数必为一代数结构， 运算所满足的公理显然仍能得到满足。应当注意的是，由于S’只是S 的子集，S 中关于 运算的特殊元素，S’中未必仍然具有。 常把叫做的平凡子代数；若S 含幺元e ，那么也把叫做的平凡子代数。
习题与解 练习10.1
给出三个教材中未涉及的代数结构。
解：如（1）S={a，b ，c} S 上运算*定义为：对任意x ，y S, x*y=x。那么＜Ｓ，x ＞构成一个代数结构。
G={1，3，4，5，9}，运算*为模11乘（两数乘积结果除以11取余数），即运算*由表10.1给定：
为G 上二元运算，且满足交换律、结合律。＜G ，﹡＞为一代数结构。
整数集合I 上﹡和△运算分别定义为：对任意a ，b I, a ﹡b=max(a，b) ， a △b=min(a，b)
且运算﹡和△分别满足交换律、结合律，﹡对△满足分配律。构成一代数结构。
2．设S = {a，b ，c ，d ，e}，S 上运算 由表10.2给定：
（1）计算(a b ) c 和a (b c ) ，由计算结果可否断定 运算满足结合律？
（2）计算(b d ) c 和b (d c ) ，由计算结果可否断定 运算满足结合律？ （3）运算满足交换律吗？为什么？ 解：（1）由运算表：
(a b ) c =b c =a ， a （b c ）=a a =a
仅由此计算结果不能判定运算满足结合律，因为在此S 集合中，a,b,c 为三个特定元素。
（2）(b d ) c =e c =a ， b (d c )=b b =c 即(b d ) c ≠b （d c ），由此计算结果可以判定运算不满足结合律。
（3）运算不满足交换律。因为e b =b，b e =c，即e b ≠b e 。
事实上，当运算满足交换律时，其运算表应该是关于主对角线对称的。
3. 已知S 上运算 满足结合律与交换律，证明：对S 中任意元素a ，b ，c ，d 有 （a b ）（c d ）＝（（d c ）a ）b
证：由于S 上运算满足交换律与结合律，因此，对S 中任意元素a ，b ，c ，d ， （a b ）（c d ）＝（a b ）（d c ） ＝（d c ）（a b ） ＝（（d c ）a ）b
4．已知S 上运算 满足结合律，并且满足:若x y = y x , 则x = y 。试证明：对一切x S有x x = x（此种元素称为等幂元素，因而上述所有元素都是等幂元素）。 证：由于S 上运算满足结合律，因此对任意x S有（x x ）x ＝x （x x ）
若令y ＝x x ，则有y x = x y ，于是由前提知x = y，即x x ＝x 。即中所有元素都是等幂元素。
5. 设集合S 有n 个元素, 问可定义多少个S 上的二元运算, 可定义多少个S 上的满足交换律的二元运算。
解：S 有n 个元素，S 的每一个二元运算均对应一个运算表，即n×n 阶矩阵，其中每一个元素均为S 中任意元素，故可定义nn×n （或（nn ）n ）= nn2个S 上二元运算。当运算满足交换律时，其运算表应该是关于主对角线对称的，因此S 上的满足交换律的二元运算个数等于关于主对角线对称的n×n 阶矩阵的个数，有n+n1+n2+……+nn＝n1+2+3+4+……+n＝nn(n+1)/2个。
6. 完成下列运算表(表 10.3), 使之定义的运算1 , 2满足结合律:
知：b 1（c 1a ）＝b 1c ＝d
∴（b 1c ）1a ＝d 1a ＝d 即d 1a ＝d
同理对于b,c,b 应有（b 1c ）1b ＝b 1（c 1b ），而b 1（c 1b ）＝b 1d ＝c ∴（b 1c ）1b ＝d 1b ＝c
对于b,c,c 应有（b 1c ）1c ＝b 1（c 1c ），而b 1（c 1c ）＝b 1a ＝b ∴（b 1c ）1c ＝d 1c ＝b ，即d 1c ＝b
又对b,c,d 应有（b 1c ）1d ＝b 1（c 1d ），而b 1（c 1d ）＝b 1d ＝a ∴（b 1c ）1d ＝d 1d ＝a ，即d 1d ＝a
为使2满足结合律，对于d,b,a 应有（d 2b ）2a ＝d 2（b 2a ），而（d 2b ）2a ＝d 2b ＝c ∴（d 2b ）2a ＝c 2a ＝c 即c 2a ＝c
对于d,b,b 应有（d 2b ）1b ＝d 2（c 2b ），而d 2（b 2b ）＝d 2a ＝d ∴（d 2b ）2b ＝c 2b ＝a, 即c 2b ＝a
对于d,b,c 应有（d 2b ）2c ＝d 2（b 2c ），而d 2（b 2c ）＝d 2c ＝c ∴（d 2b ）2c ＝c 2c ＝c ，即c 2c ＝c
又对d,b,d 应有（d 2b ）2d ＝d 2（b 2d ），而d 2（b 2d ）＝d 2d ＝d ∴（d 2b ）2d ＝c 2d ＝
d ，即c 2d ＝d
综上，为使运算1，2满足结合律，运算表为： 表
7．S 及其S 上的运算 如下定义，问各种定义下 运算是否满足结合律、交换律, 中是否有幺元、零元，S 中哪些元素有逆元，哪些元素没有逆元? （1）S 为I （整数集）, x y = x－y （2）S 为I （整数集）, x y = x+y－xy
x y
（3）S 为Q （有理数集），x y =
2
xy
（4）S 为N （自然数集），x y = 2 （5）S 为N （自然数集），x y = max(x,y) (min(x,y)) （6）S 为N （自然数集），x y = x
解：（1）运算不满足结合律，也不满足交换律，因为对于x ，y ，z I （x y ）z =（x －y ）－z= x－y －z ，而x （y z ）=x－（y －z ）= x－y+z 因此并非对任意x ，y ，z I，（x y ）z =x （y z ）（如x=y=z=1，（x y ）z ≠x （y z ））， 又x y =x－y ，y x =y－x ，因此并非对任意x ，y I，x y = y x （如x=2，y=1）。 中无幺元，也无零元，所有元素均无逆元。
（2）由于对任意x ，y ，z I，（x y ）z =（x+y－xy ）z =x+y－xy+z－（x+y－xy ）z= x+y+z－xy －xz －yz+xyz，而x (y z )=x （y+z－yz ）=x+y+z－xy －xz －yz+xyz，因此 （x y ）z =x (y z ) ， 从而运算满足结合律。
又x y= x+y－xy=y+x－yx=y x ，因此运算满足交换律。 中有幺元0，因为对任意x I，x 0=0 x =x+0－x 0=x 中有零元1，因为对任意x I，x 1=1 x =x+1－x 1=1
对x S设有逆元y ，则x y = y x =x + y－xy=0，从而y = x/（x －1） 故S 中元素x 使得x/（x －1）为整数时，有逆元x/（x －1）。
（3）由于对任意x ，y ，z Q， （x y ）z =（（x+y）/2）z =（（x+y）/2）+z）/2=（x+y+2z）/4 而x (y z )=x （y+z）/2=（x+（y+z）/2）/2=（2x+y+z）/4 故不能对任意x ，y ，z Q使（x y ）z =x (y z ) ，（如x=1，y=2，z=3，（x y ）z ≠x （y z ））， 因此运算不满足结合律。 但对任意x ，y Q，x y =（x+y）/2=（y+x）/2=y x ，故运算满足交换律。 中无幺元，也无零元，元素也无逆元。 （4）由于对任意x ，y ，z N，（x y ）z =2xy z =2z 2xy 而x (y z ) = x 2yz =2x 2yz
故不能对任意x ，y ，z N,使（x y ）z =x (y z ) （如x=1，y=2，z=3，（x y ）z ≠x （y z ）） 由于对任意x ，y N，∵x y =2xy =2yx =y x ，故运算满足交换律。 中无幺元，也无零元，元素也无逆元。
(5)很显然对于max(x,y)，min(x,y)两种运算都满足结合律和交换律。
对于max(x,y)运算，中有幺元0，无零元，此时只有0有逆元0，其余非零自然数皆无逆元。
对于min(x,y)运算，中无幺元，有零元0，因而谈不上元素的逆元。
（6）由于对任意x ，y ，z N, （x y ）z =x z =x，x (y z ) =x y =x，（x y ）z =x (y z ) 故运算满足结合律。 又x y=x 而y x =y，因此对任意x ，y N，满足x y =y x （如x=1，y=2 x y =1 y x =2） 故运算不满足交换律
中无幺元，也无零元，因而谈不上元素的逆元。
8．证明定理10.3，定理10.4 。 证：（1）证明定理10.3。
当有关于运算的零元0，由零元定义直接可得，0为运算的左零元，也同时为其右零元。 反之设有左零元0l ，右零元0r ，则由定义10.4有0l=0l 0r=0r 从而0l=0r为运算的零元。 证明定理10.4
设01，02为代数结构的零元，则由零元定义有：01=01 02 = 02 故零元是唯一的。
9．下列断言正确吗？为什么？
（1）代数结构中的幺元与零元总不相等。
（2）一代数结构中可能有三个右幺元，而只有一个左幺元。
（3）代数结构中可能有一个元素，它既是左零元，又是右幺元。 （4）幺元总有逆元。
a * a * *a n n
n （5）用a 表示n 个a 的积: ，那么当代数结构中有元素a 时，a （n = l，
2，3，…）均在S 中。 （6）如果S’ S，运算 为 在S’ S’上的限制, 那么为代数结构的子代数。 解：（1）此断言不正确。 正确的说法为：对于|S|≥2，代数结构,其幺元与零元总不相等；对于|S|=1的代数结构,其唯一元素既是幺元也是零元。
（2）此断言不正确。因为假设代数结构有三个右幺元e1，e2，e3（e1≠e2≠e3）又有一个左幺元eL ，则由定理10.1知，eL=e1，eL=e2，eL=e3，而这是不可能的。
（3）断言正确。因为如下例：S={a,b,c}，S 上*运算由下表10.5给出：
的左零元，又是右幺元。
（4）此断言正确。因为设e 为代数结构的幺元，则e*e=e，即e 有逆元e 自身。
（5）当运算*满足结合律时，此断言正确。因为由代数结构定义（定义10.2）的（2）可知，代数结构中的运算*：当a ∈S ，则a * a = a2∈S ，a * a * a= a2* a= a3∈S ，依次类推，an ∈S ，而当运算*不满足结合律时，an 无意义。此断言错误。
（6）此断言不正确。因为*′未必是S ′上的运算，即有可能x,y ∈S ′，而x *′y= x * y S ′。
10．设 A ＝｛a ，b ｝，S 为 AA ,即
S = {f1, f2, f3, f4},诸f 由表10.6给定。
（2） 是否有幺元、零元？
（3）中哪些元素有逆元，逆元是什么？ 解：（1）S 上运算○的运算表为10.7
只为其左零元，无右零元，故无零元。
由 ○ 运算表可知，中只有元素f2 ，f3有逆元，且f2-1 = f2，f3-1 = f3
11. 对例10.2之（l ），（2），（3）中给出的代数结构分别说出一个非平凡的子代数。 解：对例10．2之（1），（2），（3）中的 （1）设F={3n n N }，则为代数结构的一个非平凡的子代数。 设A 为全体2 2整数矩阵的集合，则为代数结构的子代数。 代数结构无非平凡的子代数，而设B A，B ，则为代数结构的非平凡子代数。
12. 记集合{0，1，2，…，k-l}（k 为正整数）为Nk ，定义Nk 上的模k 加运算 +k 和模k 乘运算 k ： x +k
⎧x +y y =⎨
⎩x +y -k
⎡xy ⎢k ⎣⎤k ⎥⎦ xy
当x +y
x ⨯k y =xy -
⎡xy ⎤⎢⎥
其中⎣k ⎦表示商k 的整数部分。
考虑代数结构 , , ．问下列集合及集合上的运算是否构成以上三代数结构的子代数：
（1）{0,2},+6 ; {0,2}, 6 （2）{0,3},+6 ; {0,3}, 6 （3）{0,2,4},+6 ; {0,2,4}, 6 （4）{0,1},+6 ; {0,1}, 6
（5）{0,1,3,5},+6 ; {0,1,3,5}, 6 解：（1）∵2+62 = 4 {0，2}，∴不为的子代数。 又∵2×62 = 4 {0，2}，∴不为的子代数。 从而不为
+6，×6>的子代数。
（2）{0，3}上+6 ，×6的运算表为10.8： 表，+6>为的子代数，
×6>为的子代数，从而为的子代数。
（3）{0，2，4}上+6，X6的运算表为10.9
表
+6>的子代数，为的子代数，从而为的子代数。
（4）∵1+61=2 {0,1} ∴不为的子代数。 而{0,1}上×6的运算表为10.10: 表，×6>为的子代数。但
不是的子代数。
（5）∵1+63=4 {0,1,3,5} ∴不为的子代数。 而{0,1,3,5}上×6的运算表为10.11: 表10.11
由运算表知 不是的子代数。
10.2 同态、同构及同余 内容提要
10.2.1同态与同构
定义10.9 设及均为代数结构，称函数 h: S→S’为（代数结构 S 到S’的）同态映射，或同态（homomorphism ），如果对S 中任何元素a ，b ，
h （Δa）= Δ’（h （a ）） (10-3) h （a b ）＝ h （a ）’ h（b ） (10-4)
当同态h 为单射时，又称h 为单一同态；当h 为满射时，又称h 为满同态；当k 为双射时，又称h 为同构映射，或同构（isomorphism ）。当两个代数结构间存在同构映射时，也称这两个代数结构同构。当h 为到的同态（同构）时, 称h 为S 的自同态（自同构）。 式（10－3）和（10－4）被称为同态h 的保运算性。
定义10.10 设h 为代数结构到的同态映射，那么称h(S)为h 的同态象（image under homomorphism）。
定理10.8 设h 为代数结构到的同态，那么同态象 h （S ）与Δ’，’构成的一个子代数。
定理10.9 设h 是代数结构 到 的同态,h 的同态象为（这里1, 2, 1’, 2’ 均为二元运算），那么
（1）当运算1( 2) 满足结合律、交换律时，同态象中运算1’( 2’)也满足结合律、交换律；当运算1对2满足分配律时，同态象中运算1’对2’也满足分配律。
（2）如果 关于1( 2) 有么元e 或零元O ，那么中有关于1’( 2’)的么元h （e ）或零元h （O ）。 （3）如果 中元素x 有关于1( 2) 的逆元x-1，那么中元素h(x)有关于1’( 2’)的逆元h （x-1）。
定义10.11 如果h 为代数结构到的同态，并且S’中有么元e’，那么称下列集合为同态h 的核（kernel of homomorphism），记为K （h ）。 K （h ）={x x S ∧ h （x ）＝e’}
定理10.10 设h 为代数结构到的同态，如果K （h ） ，那么为的子代数。
10.2.2 同余关系
简单地说，同余关系是保运算的等价关系。
定义10.12 设～为代数结构的载体S 上的等价关系，称～为S 上关于一元运算Δ的同余关系(congruence relations)，如果对S 中任何元素a ，b ，
a ～b 蕴涵Δa～Δb （10-8） 称～为S 上关于二元运算 的同余关系, 如果对S 中任何元素a ，b ，c, d
a ～b,c ～d 蕴涵a c ～b d （10-9）
当～关于中一元运算Δ、二元运算 均为同余关系时，便称～为上的同余关系，等价类[x]~则又称为同余类．
定理10.11 设h 是到的同态映射，那么Ker(h)确定的S 上的等价关系～是代数结构上的同余关系。回忆定义6.9,Ker(h)确定的S 上的等价关系～如下定义:对任意x,y S,
x ～y 当且仅当h （x ）= h（y ）
习题与解 练习 10.2
1. 证明：f:R+→R,f(x)= log2 x为代数结构到的同态（这里R+为正实数集，
R 为实数集，·，+为数乘运算和数加运算）。它是否为一同构映射？为什么？
证 f: R+ R, f(x)=log2x , 由于对任意x R+ ,有唯一f(x)=log2x R,故f 为R+到R 的函数。 又由于对任意x1，x2 R+,
f(x1·x2)= log2 x1·x2 = log2 x1+log2 x2 = f(x1)+f(x2)
由定义10.9 ，f 为到的同态。同时，由于对任意x1，x2 R+, x1 x2 ，log2 x1 log2 x2，即f(x1) f(x2)，故f 为单射；由于对任意y R,取x=2y R+ 使f(x) =log22y = y，故f 为满射。因此，f 为双射。 f 为一同构映射证毕。
2．设f : N→{0，l}定义如下:
⎧1
f (n ) =⎨
⎩0
当n =2(k 是自然数) 否则
k
证明：f 为代数结构到的同态。它是单一同态, 满同态吗？ 证 由f 的定义，f 显然为N 到{0，1}的函数。 对任意n1，n2 N，当n1=2k1, n2=2k2时，则f （n1）=1，f （n2）=1，而f （n1·n2）= f（2 k1+k2）=1= f（n1）·f （n2）。当n1=2k1, n2不能写成2k 形式时，则f （n1）=1，f （n2）=0 因而f （n1·n2）= 0 = f（n1）·f （n2）。当n1不能写成2k 形式，n2=2k2时f （n1）=0，f （n2）=1，因而f （n1·n2）=0= f （n1）·f （n2）。当n1，n2都不能写成2k 形式时，则n1·n2也不能写成2k 形式，于是f （n1）=0，f （n2）=0，仍有f （n1·n2）=0= f（n1）·f （n2）。 总之对任意n1，n2 N，都有f （n1·n2）= f（n1）·f （n2），故f 为代数结构到的同态。
f 很显然不是单射，而是满射，因此f 不是到的单一同态，而是一个满同态。
3。A = {a，b ，c}，问代数系统和是否同构？ 解：代数系统和同构。 令f ：{ ，A} {{a,b},A}：f （ ）={a,b}，f （A ）=A，从而f 为{ ，A}到{{a,b},A}的双射。 又f （ ）= f（ ）={a,b}，而f （ ） f（ ）={a,b} {a,b}={a,b}，故 f （ ）= f（ ） f（ ） 同理
f （ A）= f（A ）=f（A ）= A ={a,b} A= f（ ） f（A ） f （A A）=f（A ）= A = A A = f（A ） f（A ） 而
f （ ）= f（ ）={a,b}= f（ ） f（ ） f （ A）= f（A ）= f（ ）={a,b}= f（ ） f（A ） f （A A）= f（A ）= A = f（A ） f（A ） 因此f 为到的同构映射，即与同构。
4．假定h 是到的同态，试举例说明 （l ）的么元（零元），可能不是的么元（零元）。 （2）的成员的逆元，可能不是它在中的逆元。 解：（1）例如：S={e,a}，其的运算表为10.12：
a a e
S’={ ， ， }其的运算表为10.13：
定义h ：S →S’如下
h （e ）= h （a ）=
容易验证h 为 到的同态，h （s ）={ ， } 。很显然，e 为的幺元，h （e ）= 为的幺元，却不是的幺元。 同理，设S={e,a}， S’={ ， ， }，其，’的运算表分别为10.14、10.15：
表10.14 表10.15
a b
a b
a a
a b
可验证h ：S →S’ 满足h （a ）= ，h （b ）= ，h （s ）={ ， } ，h 为 到的同态，a 为的零元，h （a ）= 为的零元，但 不是的零元。
（2），同（1）之第一个例子。的成员 的逆元是 ，但 在中没有逆元。
5．设f ，g 都是到的同态，并且 * 与 *’ 运算均满足交换律和结合律，证明:如下定义的函数h:S→S’
h(x) = f(x) ’g(x) 是到的同态。
证 f ，g 为 到的同态，因而h （x ）= f（x ）’ g（x ）必为S 到S’的映射；同时对任意x.y S有f （x y ）= f（x ）’ f（y ），g （x y ）= g（x ）’ g（y ），又因为，’满足交换律和结合律，故
h （x y ）= f（x y ）’ g（x y ）
=（f （x ）’ f（y ））’（ g （x ）’ g（y ）） =（f （x ）’ g（x ））’（f （y ）’ g（y ）） = h（x ）’ h（y ） 因此，h 是 到的同态。
6．设f ，g 分别是到的同态和到的同态，证明：g ○f 是到的同态。
证：由于f ，g 分别是 到和到的同态，f ，g 必定分别为S 到S’和S’到S’’的映射。由映射复合知，gοf为S 到S’’的映射。同时，对任意x,y S，有 f （x y ）= f（x ）’ f（y ） g （f （x ）’ f（y ））= g（f （x ））’’ g（f （y ）） 从而
gοf（x y ）= g（f （x y ））
= g（f （x ）’ f（y ）） = g（f （x ））’’ g（f （y ））
= gοf（x ）’’ gοf（y ） 因此，gοf为 到的同态。
7. 证明:恰有i 个映射f:Ni→Ni ，使得 （l ）f(0) = 0 。
（2）f 为到的同态。
(提示:f具有以下形式:f(x) = px(mod i), p = 0,1,2,…,i-1) 证：令fp ：Ni Ni 满足
fp （x ）= px（mod i） （p=0，1，2，3， ,i 1） 很显然对任一p ，fp 为Ni 到Ni 的映射，且对任意x,y Ni fp （x+iy）= p（x+iy）（mod i） =（ px+ipy）（mod i）
= px（mod i）+ i py（mod i） = fp（x ）+ifp（y ）
故对任一p ， fp 为到的同态，且fp （0）= p 0（mod i）= 0 。 当p1 p2 p1 ，p2 {0，1，2，3， ,i 1}，易证fp1 fp2 。因为 fp1（1）= p1（mod i） fp2（1）= p2（mod i）
又设g 为任一到的同态，g （0）= 0。若g （1）= m Ni，则 g （0）= 0 = fm（0） g （1）= m = fm（1）
g （2）= g（1）+ i g（1）= m + i m = 2m（mod i）= fm（2） ……
g （x ）= fm （x ） 综上，f0,f1, f2,, , fi-1为满足题中（1）（2）的i 个不同同态，且只有这i 个，即恰有i 个映射f ：Ni Ni满足（1）（2）。
8. （l ）以为例, 给出所有满足第7题要求的同态f 。 （2）给出所有满足f(0) = 0的到的同态f 。 （3）给出所有满足f(0) = 0的到的同态f 。 解： （1）f0 ：N3 N3 f0（0）=0 f0（1）=0 f0（2）=0 f1 ：N3 N3 f1（0）=0 f1（1）=1 f1（2）=2 f2：N3 N3 f2（0）=0 f2（1）=2 f2（2）=1
（2）f ：N2 N3 f （0）=0 f （1）=0 容易验证f 为到的同态。
而当f1（0）= 0，f1（1）=1或 f2（0）= 0 f2（1）= 2 ，f1 ，f2都不满足同态要求（不保持运算）。因为
f1（1+21）= f1（0）=0 而f1（1）+3f1（1）=1+31=2 f2（1+21）= f2（0）=0 而f2（1）+3f2（1）=2+32=1
（3）f ：N N3 ① f1（0）=0，f1（1）=f1（2）=…=f1（n ）=…=0 f2（0）=0，f2（1）=1，f2（2）=2 f2（3）=0，
f2（4）=1，f2（5）=2，f2（6）=0，…
f3（0）=0，f3（1）=2，f3（2）=1，f3（3）=0，f3（4）=2，f3（5）=1， f3（6）=0，… 易证f1，f2，f3为到的同态。
9. 对例10.12中分数集F 证明:如下定义的F 上的等价关系～是(这里, – 为一元添负号运算) 上的同余关系:
n
n
' '
m ～ m 当且仅当 m’n = mn’ n n ' , ∈F m m '
n
n m
n
'
'
证 对 ，若 m ～ m 则 m’n = mn’， 从而 m ’n = m n’ 即
m ' ⋅(-n ) =m ⋅(-n ' ), -~-
n ' m '
n m ~n ' m ' m ' , n ' ~n 1' m 1'
从而m ' n =mn ' , m 1' n 1=m 1n 1'
又设 于是
m nm 1m 1=mn m 1m 1
'
'
'
'
m 1n 1mm =m 1n 1mm
' ' ' '
从而
m 1m nm 1+m 1m mn 1=mm 1m 1n +mm 1m n 1
m 1' n ' +m ' n 1' m 1' m '
' ' ' ' ' ' ' '
m 1' m ' (nm 1+mn 1) =mm 1(m 1' n ' +m ' n 1' ) nm 1+mn 1
mm 1
~
即
n m
+
n 1m 1
~
n ' m '
+
n 1' m 1'
即
从而~为同余关系得证。
10. 定义分数集F 上的一元运算Δ:
n
n
2
Δ(m ) = m
证明:第9题中定义的等价关系～不是上的同余关系.
2⎛1⎫1⎛2⎫
∆ ⎪=, ∆ ⎪=⎝2⎭4⎝4⎭16 12~24
证 例如 但
⎛1⎫⎛2⎫∆ ⎪~∆ ⎪⎝2⎭⎝4⎭
不成立
故～不是上的同余关系.
11. 对下列每一关系, 证明或否证它是 上的同余关系(这里I 为整数集合): （l ）x ～y 当且仅当 x ≥y 。
（2）x ～y 当且仅当 (x
（4）x ～y 当且仅当 x = y = 0∨(x 0∧y 0) 。 解：（1）~不是上的同余关系。因为容易证明~不具有对称性，因而~不是I 上的等价关系。所以 ~不是上的同余关系。
（2）~不是上的同余关系。因为由题意 2 ~1，1 ~ 3，但2+（1）=1 ~ 1+（3）= 2 不成立。故 ~ 不是上的同余关系。
（3）~不是上的同余关系。因为
对x ～y 当且仅当 x – y 上的同余关系。
（4）~ 不是上的同余关系。因为由题意2 ~3，2 ~ 1，可2+（2）= 0 ~ 3+（1）=2不成立。所以 ~不是上的同余关系。
12. 整数集I 上一元运算Δ定义如下:
Δ(m)= m r (mod k) 其中r,k 为给定正整数。又定义I 上关系～： x ～y 当且仅当 x = y(mod k)
问～是否是代数结构上的同余关系。 解：显然 ~ 是上的等价关系。 又设x ~ y，即x = y（mod k）。设
x = n1k+t ， y= n2k+t ， n1 ，n2 N，t N, 0 t k
r
xr= （n1k+t）r = 故 （x ）= x r (mod k)= tr（mod k）
i =0
∑
r
C r (n 2k )t
i
i
r -i
y r= （n2k+t）r = 故 （y ）= yr (mod k)= tr（mod k） 从而 （x ）~ （y ），因此 ~ 是上的同余关系。
13．设～为代数结构的载体N3上的等价关系。
（1）证明：如果～是关于+3的同余关系, 那么～必定也是关于 3的同余关系。 （2）（l ）之逆并不成立。
(1) 证：因为N3={0，1，2}，对任意a,b,c N3 ①当c=0时,
∵a 30=b 30=0 3a=0 3b=0, 而0～0（由等价关系～具有自反性） ∴当a ～b 时，必有a 30～b 30 0 3a～0 3b ②当c=1时，
∵a 31=1 3a=a, b 31=1 3b=b, ∴当a ～b 时，必有a 31=a～b 31=b 1 3a= a～1 3b=b ③当c=2时，
∵a 32=2 3a=a+3a, b 32=2 3b=b+3b,
∴当a ～b 时，由～为关于+3的同余关系, ∴a+3a～b+3b 即a 32～b 32 2 3a～2 3b
综合①②③，当～为关于+3的同余关系时, ～必为关于 3的同余关系。
i =0
∑C (n k )t
i r
i 2
r -i
解（2） 定义～：对任a ，b N3，
a ～ b ，当且仅当 a=b=0∨(a 0∧b 0)
易证，～为N3上等价关系，且～是关于 3的同余关系。因为： N3上 3的运算表为表10.18：
对任意a ，b N3，①当a=b=0时或c=d=0时，a 3c=0 b 3d=0 ∵0 ～ 0 ∴a 3c ～ b 3d ②当a ≠0，b ≠0 c ≠0，d ≠0时，a 3c≠0 b 3d≠0 ∴a 3c ～ b 3d 总之，当a ～ b ，c ～ d ，则a 3c ～ b 3d
但～是关于+3不是同余关系。因为： N3上+3的运算表为表10.19：
由～定义，1 ～ 2
14．证明：代数结构上的两个同余关系的交仍为上的同余关系。 证：设 ~ 1与~ 2为上的两个同余关系
则很显然 ~ 1 ~ 2为S 上的等价关系。且对任意a ，b ，c ，d S，当a （~ 1 ~ 2）b ，c （~ 1 ~ 2 ）d 时有
a ~ 1 b，c ~ 1 d ，a ~ 2 b，c ~ 2 d
由于 ~ 1，~ 2 为同余关系，故a c ~ 1 b d ，a c ~ 2 b d ，从而a c （~ 1 ~ 2 ）b d 于是~ 1 ~ 2为上的同余关系得证。
15．举例说明: 上两个同余关系的合成未必是上的同余关系。
解：两个同余关系的合成未必是等价关系，从而未必是同余关系。例如S={a,b,c}, 为一元恒等运算，即(x)=x。两个等价关系R1,R2如下确定：
{,,,,},{,,,,} 显然R1,R2是上两个同余关系，但
R1 R2 = {,,,,,} 它不是一个等价关系，因而它不是上的同余关系。
16．我们知道，一个S 上等价关系可以用一个S 的划分来表示。事实上, 一个上的同余关系还可以用一个特别的划分——同余类的集合来表示。试作出上的所有同余关系所对应的划分, 这里max 为二元求大运算。
解 上的同余关系所对应的划分有
{{0},{1},{2},{3},{4}} , {{0},{1,2},{3},{4}} , {{0},{1},{2,3},{4}} ,{{0},{1},{2},{3,4}} , {{0},{1,2},{3,4}} , {{0},{1,2,3},{4}} , {{0},{1,2,3,4}} ,
{{0,1},{2},{3},{4}} , {{0,1},{2,3},{4}} , {{0,1},{2},{3,4}} , {{0,1},{2,3,4}}, {{0,1,2},{3},{4}} , {{0,1,2},{3,4}}, {{0,1,2,3},{4}} , {{0,1,2,3,4}}。
Δ 10.3商代数与积代数 内容提要 10.3.1商代数
定义10.13 设S 上等价关系～为上的同余关系。定义S/～上一元运算＠和二元运算⊙如下，对任意x,y S， ＠([x]) = [Δx] [x]⊙[y] = [x y ]
那么代数结构称为的关于～的商代数（quotient algebra）。
定理10.12 设为的关于～的商代数，那么
（1）若 运算满足结合律、交换律，那么⊙运算也满足结合律、交换律. （2）若 运算有么元e （零元0）, 那么⊙以[e]为么元（以[0]为零元）. 若x S有关于 * 运算的逆元x-1，那么[x]有关于⊙运算的逆元[x-1]。
定理1O.13 设～为上的同余关系，那么规范映射f:S→S/～为到其商代数的一个同态.
定理10.14 设h 为到的同态，～为h 导出的的同余关系，那么，商代数与同态象同构．
10.3.2 积代数
定义10.14 设与为具有同样数目一元运算及同样数目二元运算的代数结构, 那么代数结构称为代数S 及S’的积代数(product algebra)，其中◎与⊙定义如下：对任何， S S’,
◎() = ⊙ =
定理10.15 设由与可构成积代数，那么 （1）当 与 运算均满足结合律、交换律等运算律时，⊙运算也满足同样的运算律。 （2）当e （0），e’（0’）分别为 及 运算的么元（零元）时，，必为⊙运算的么元（零元）。 当x S，y S’分别有关于与’运算的逆元x-1，y-1时，则有关于⊙运算的逆元。
习题与解 练习10.3
对例10.13中代数结构建立其商代数，其中～为式（10- 11）所确定的同余关系。证明与同构。
n
证：由例10.13知, h: F→Q 对每一m F
n
h(m ) = n除以m 的商
为和
的同态，且h(F)=Q
n
n
' '
对任意m ，m ∈F ，h 导出F 上的一个同余关系～：
n
n
' '
n n
' '
(m ) ～(m ) 当且仅当h(m ) = h(m ) 当且仅当m ·n’ = m’·n 由定理10.14, 商代数与同态象同构 即与
同构. 其中：
n ' ⎤⎡n ⎤⎡n ' ⎤⎡n
Θ=-⎢m ⎥⎢m ' ⎥⎢m m ' ⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦n ' ⎤⎡n ⎤⎡n ' ⎤⎡n
⊕=+⎢m ⎥⎢m ' ⎥⎢m m ' ⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2. 设中S =｛a ，b ，c ，d ，e ｝，两个一元运算由下列运算表定义表10.20：
另设R 为S 上等价关系，R 对应于划分π: π=｛｛a,c ｝，｛b,e ｝, ｛d ｝｝ （1）试证R 为上的同余关系。 （2）作出的商代数。 证(1)：由于R 由划分π=｛｛a,c ｝，｛b,e ｝, ｛d ｝｝决定，故 R={,,,,,,,,} 又由运算表知： 1 (a)=d, 1 (b)=c , 1 (c)=d， 1 (d)=b, 1 (e) = a ，故 =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, 即对任意x,y S, 当∈R, ∈R ，亦即xRy 蕴涵 1 (x)R 1 (y) 同理由运算表知： 2 (a)=c, 2 (b)=b , 2 (c)=a， 2 (d)=c, 2 (e) = e 同上可验证，对任意x,y S 当 xRy 时有 2 (x)R 2 (y) 因此R 为 上的同余关系。
(2)解： S/R={{a,c},{b,e},{d}}
由定义10.13 @1({a,c})=[ 1 (a)]=[ 1 (c)]={d} @1 ({b,e})=[ 1 (b)]=[ 1 (e)]={a,c} @1 ({d})=[ 1 (d)]= [b]={b,e}
@2 ({a,c})=[ 2 (a)]=[{ 2 (c)}]={a,c} @2 ({b,e})=[ 2 (b)]=[ 2 (e)]={b,e} @2 ({d})=[ 2 (d)]=[c]={a,c} 即 的商代数 如下确定:
S/R={{a,c},{b,e},{d}} , @1, @2运算表为表10.21: 表10.21 x {a,c} {b,e} {d}
@1 {d} {a,c} {b,e} @2 {a,c} {b,e} {a,c}
3. 令h:N→N 为到的同态，对任何x N, h(x) = kx（k 为给定非零自然数）。试描述h 所导出的同余关系～, 构作的商代数，并证明它与同构。 解：由定理10.11 h 导出的同余关系~为:
对任意x ,y N, x~y h(x)=h(y) kx=ky x=y（由于k 0） 即 ~ 是N 上的相等关系 亦即N/~=N , [x] ~= {x} 商代数中N/~={ [x] ~ x N}={{x } x N}，且对任意[x] ，[y] N/~ [x] [y]= [x+y] ={x+y}
令h’: N/～ N, h’([x]) = x, 显然h’为N/～ N的双射，且h’([x] [y]) = h’([x+y]) = x+y=h’([x])+h’([y])。故h’为 到的同构映射，商代数 与同构.
4. 令h:I→N 为到的同态，对任何x I,h(x) = x2。试描述h 所导出的同余关系～，构作的商代数，并证明它与同构。 解：由定理10.11，h 导出的同余关系~为: 对任意x,y I, x~y h(x)=h(y) x2=y2 故I/~={[0],[1],[2] } ，其中[i]={i,-i}。 商代数中I/~={ [x] ~ x I}={{x，-x} x I}，且对任意[x] ，[y] I/~, [x] ⊙ [y]=[x·y] 定义i :
i([x]) =∣x ∣
显然i 为I/~ 到N 的双射, 且i([x] ⊙ [y]) = i([x·y])=∣x ·y ∣=∣x ∣·∣y ∣= i([x])·i([y])， 故i 为 到的同构映射，商代数与 同构。
5. 证明定理10.12。
证：(1) 对任意[x],[y],[z] S/~, 由商代数的定义及 * 满足结合律可知 ([x] [y] ) [z]= [x*y] [z]= [(x*y)*x]=[x*(y*z)]=[x] [y*z]= [x] ([y] [z]) 即 满足结合律。
由商代数的定义及 * 满足交换律可知 [x] [y]= [x*y]=[y*x]]=[y] [x] 即 满足交换律。
∀n
(2) 令e 为 * 的幺元, 那么对任意[x] S/~, [x] [e]=[x*e]=[x] [e] [x]=[e*x]=[x] 即[e] 为 的幺元,
令0 为 * 的零元, 那么对任意[x] S/~,
[x] [0]=[x*0]=[0] [0] [x]=[0*x]=[0] 即 [0]为 的零元。
(3) 对任意[x] S/~,令x 关于*的逆元为x-1 ，那么 [x] [ x-1]=[x* x-1]=[e] ， [x-1] [x]=[ x-1*x]=[e] 由(2)知[e]为 的幺元，故[x] 关于 的逆元为 [x-1]。
6. 证明定义10.14中运算◎与⊙的良定性。 证：对任意, S S’
◎ ()= 由 ， ’的良定性，知◎是良定的。 又，⊙= 由*，*’的良定性，知⊙是良定的。
7. 证明定理10.15。
m m '
,
n '
∈F
证(1) 对任意,, S S’ 由*,*’满足结合律 ，知
( ) = = = = = ( ) 故 满足结合律。
又*,*’满足交换律，因而
=== 故 满足交换律。
(2)设e,e’分别为*,*’的幺元，那么对任意 S S’ 有 == == 故为 的幺元
同理，设0 ，0’分别为*,*’的零元，那么对任意 S S’ 有 x*0 = 0*x=x y*’0’=0’*’y=0’ == == 故为 的零元。
(3) 设 S S’ ，则x S, y S’。由已知,x 关于*有逆元x-1, y关于*有逆元y-1, 于是 x* x-1= x-1*x=e y* y-1= y-1*y=e’ 从而
== == 由(2)知为 的幺元 ，故 关于 有逆元
8. 构作与的积代数，并指出它的么元和零元。
解: 设A={1,2,3} B={1,2 } A B={1,2,3} {1,2}={,,,,,} 定义A B上积运算 : 对任意, A B = 具体表示为表10.22: 表
由定理10.15 ，积代数的幺元为,零元为。 的运算表给出的结果也正是如此.
9. 在集合S S’上定义关系～: 对任意x ，u S，y, v S’,
～ 当且仅当 x = u
（1）问关系～是否为与的积代数上的同余关系？
（2）证明:上述关系～为上的同余关系时, 的关于 ～ 的商代数与同构。
解（1） 题中定义的关系～即为积代数上的同余关系。
因为～为等价关系是显然的。且对任意，，， S S’， 若 ～ ， ～ ，则x = u , x1= u1 ，于是x* x1= u*u1 。 而 ⊙= , ⊙=
由于已知x* x1= u*u1 , 从而⊙～⊙，因此～为上的同余关系。
证（2）定义h: S S’→S, 使得对任意 S S’，
h() = x
于是h(S S’) = S, h导出的同余关系恰为～。
对任意， S S’，
h(⊙)= h ()= x* x1 = h() *h()
故h 为S S’→S 的满同态。由定理10.14，商代数与同构。
第四篇 抽象代数
第十章 代数结构通论
10.1 代数结构 内容提要
10.1.1代数结构的意义
定义10.1 称 为集合S 上的n 元运算（operaters ），如果 为Sn 到S 的一个函数。以下 常用以表示二元运算, (x,y) 常记为x y ； 常用以表示一元运算。对二元运算，’: 称 运算满足结合律，若 x y z (x,y,z S→x (y z) = (x y ) z ) 称 运算满足交换律，若 x y (x,y S→x y = y x ) 称 运算对 ’ 运算满足分配律，若 x y z (x,y,z S→x (y ’z) = (x y ) ’ (x z ))
定义10.2 代数结构（algebra structures）是由以下三个部分组成的数学结构： （1）非空集合S ，称为代数结构的载体。 （2）载体S 上的若干运算。
（3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数结构常用一个多元序组来表示，其中 S 是载体， ，，…为各种运算。有时为了强调S 有某些元素地位特殊，也可将它们列入这种多元序组的末尾。
10.1.2 代数结构的特殊元素
定义10.3 元素e 称为代数结构的（关于运算的）幺元(identity elements) ，如果e S且对任意元素x S有
x e -= e x = x . 元素er S(el S)称为（关于运算的）右幺元(左幺元), 如果er (el) 对任意元素x S满足 x e r = x (el x = x)
定理10.1 代数结构有关于 运算的幺元，当且仅当它同时有关于 运算的左幺元和右幺元。
定理10.2 任何含有关于 运算幺元的代数结构, 其所含幺元是唯一的。
定义10.4 元素O 称为代数结构 (关于 运算) 的零元(zero)，如果O S且对任意x S有
x O ＝ O x ＝ O 元素O r S (O l S)称为左零元（右零元）．如果Or （Ol ）满足:对一切x S， x Or ＝ Or （Ol x = Ol）
定理10.3 代数结构有关于 运算的零元，当且仅当它同时有关于 运算的左零元和右零元。
定理10.4 任何含有关于 运算零元的代数结构，其所含零元是唯一的。
定义10.5设代数结构中e 为幺元，x,y 为S 中元素。若x y ＝e ，那么称x 为y 的左逆元，y 为x 的右逆元。若x y ＝y x ＝e ，那么称x(y)为y(x)的逆元（inverse elements）。
x 的逆元通常记为x-1; 但当运算被称为―加法运算‖（记为+）时，x 的逆元可记为-x 。
定理10.5 设有幺元e ，零元O ；并且 S ≧2，那么O 无左（右）逆元．
定理10.6 设有幺元e ，且运算 满足结合律, 那么当S 中元素x 有左逆元l 及右逆元r 时,l = r, 它们就是x 的逆元。
定义10.6 称中元素a 是可约的(cancelable),如果a 满足:对任意x,y S a x = a y 蕴涵 x = y (10-1) x a = y a 蕴涵 x = y (10-2)
当a 满足(10-1)时, 也称a 是左可约的, 当a 满足(10-2)时, 也称a 是右可约的。
定理10.7 若中 运算满足结合律, 且元素a 有逆元(左逆元, 右逆元), 那么a 必定是可约的(左可约的, 右可约的) 。
10.1.3 子代数结构
定义10.7 设S 上有n 元运算 （n ＝1，2，…），S’ S, 称 运算对S’封闭（c1osed ），如果对任意元素x1，x2，…，xn S’, (x1，x2，…，xn) S’．
定义10.8 称为代数结构的子代数结构，或子代数（subalgebra ）, 如果 （1）S’ S
（2）运算 对S’封闭．
据定义，子代数必为一代数结构， 运算所满足的公理显然仍能得到满足。应当注意的是，由于S’只是S 的子集，S 中关于 运算的特殊元素，S’中未必仍然具有。 常把叫做的平凡子代数；若S 含幺元e ，那么也把叫做的平凡子代数。
习题与解 练习10.1
给出三个教材中未涉及的代数结构。
解：如（1）S={a，b ，c} S 上运算*定义为：对任意x ，y S, x*y=x。那么＜Ｓ，x ＞构成一个代数结构。
G={1，3，4，5，9}，运算*为模11乘（两数乘积结果除以11取余数），即运算*由表10.1给定：
为G 上二元运算，且满足交换律、结合律。＜G ，﹡＞为一代数结构。
整数集合I 上﹡和△运算分别定义为：对任意a ，b I, a ﹡b=max(a，b) ， a △b=min(a，b)
且运算﹡和△分别满足交换律、结合律，﹡对△满足分配律。构成一代数结构。
2．设S = {a，b ，c ，d ，e}，S 上运算 由表10.2给定：
（1）计算(a b ) c 和a (b c ) ，由计算结果可否断定 运算满足结合律？
（2）计算(b d ) c 和b (d c ) ，由计算结果可否断定 运算满足结合律？ （3）运算满足交换律吗？为什么？ 解：（1）由运算表：
(a b ) c =b c =a ， a （b c ）=a a =a
仅由此计算结果不能判定运算满足结合律，因为在此S 集合中，a,b,c 为三个特定元素。
（2）(b d ) c =e c =a ， b (d c )=b b =c 即(b d ) c ≠b （d c ），由此计算结果可以判定运算不满足结合律。
（3）运算不满足交换律。因为e b =b，b e =c，即e b ≠b e 。
事实上，当运算满足交换律时，其运算表应该是关于主对角线对称的。
3. 已知S 上运算 满足结合律与交换律，证明：对S 中任意元素a ，b ，c ，d 有 （a b ）（c d ）＝（（d c ）a ）b
证：由于S 上运算满足交换律与结合律，因此，对S 中任意元素a ，b ，c ，d ， （a b ）（c d ）＝（a b ）（d c ） ＝（d c ）（a b ） ＝（（d c ）a ）b
4．已知S 上运算 满足结合律，并且满足:若x y = y x , 则x = y 。试证明：对一切x S有x x = x（此种元素称为等幂元素，因而上述所有元素都是等幂元素）。 证：由于S 上运算满足结合律，因此对任意x S有（x x ）x ＝x （x x ）
若令y ＝x x ，则有y x = x y ，于是由前提知x = y，即x x ＝x 。即中所有元素都是等幂元素。
5. 设集合S 有n 个元素, 问可定义多少个S 上的二元运算, 可定义多少个S 上的满足交换律的二元运算。
解：S 有n 个元素，S 的每一个二元运算均对应一个运算表，即n×n 阶矩阵，其中每一个元素均为S 中任意元素，故可定义nn×n （或（nn ）n ）= nn2个S 上二元运算。当运算满足交换律时，其运算表应该是关于主对角线对称的，因此S 上的满足交换律的二元运算个数等于关于主对角线对称的n×n 阶矩阵的个数，有n+n1+n2+……+nn＝n1+2+3+4+……+n＝nn(n+1)/2个。
6. 完成下列运算表(表 10.3), 使之定义的运算1 , 2满足结合律:
知：b 1（c 1a ）＝b 1c ＝d
∴（b 1c ）1a ＝d 1a ＝d 即d 1a ＝d
同理对于b,c,b 应有（b 1c ）1b ＝b 1（c 1b ），而b 1（c 1b ）＝b 1d ＝c ∴（b 1c ）1b ＝d 1b ＝c
对于b,c,c 应有（b 1c ）1c ＝b 1（c 1c ），而b 1（c 1c ）＝b 1a ＝b ∴（b 1c ）1c ＝d 1c ＝b ，即d 1c ＝b
又对b,c,d 应有（b 1c ）1d ＝b 1（c 1d ），而b 1（c 1d ）＝b 1d ＝a ∴（b 1c ）1d ＝d 1d ＝a ，即d 1d ＝a
为使2满足结合律，对于d,b,a 应有（d 2b ）2a ＝d 2（b 2a ），而（d 2b ）2a ＝d 2b ＝c ∴（d 2b ）2a ＝c 2a ＝c 即c 2a ＝c
对于d,b,b 应有（d 2b ）1b ＝d 2（c 2b ），而d 2（b 2b ）＝d 2a ＝d ∴（d 2b ）2b ＝c 2b ＝a, 即c 2b ＝a
对于d,b,c 应有（d 2b ）2c ＝d 2（b 2c ），而d 2（b 2c ）＝d 2c ＝c ∴（d 2b ）2c ＝c 2c ＝c ，即c 2c ＝c
又对d,b,d 应有（d 2b ）2d ＝d 2（b 2d ），而d 2（b 2d ）＝d 2d ＝d ∴（d 2b ）2d ＝c 2d ＝
d ，即c 2d ＝d
综上，为使运算1，2满足结合律，运算表为： 表
7．S 及其S 上的运算 如下定义，问各种定义下 运算是否满足结合律、交换律, 中是否有幺元、零元，S 中哪些元素有逆元，哪些元素没有逆元? （1）S 为I （整数集）, x y = x－y （2）S 为I （整数集）, x y = x+y－xy
x y
（3）S 为Q （有理数集），x y =
2
xy
（4）S 为N （自然数集），x y = 2 （5）S 为N （自然数集），x y = max(x,y) (min(x,y)) （6）S 为N （自然数集），x y = x
解：（1）运算不满足结合律，也不满足交换律，因为对于x ，y ，z I （x y ）z =（x －y ）－z= x－y －z ，而x （y z ）=x－（y －z ）= x－y+z 因此并非对任意x ，y ，z I，（x y ）z =x （y z ）（如x=y=z=1，（x y ）z ≠x （y z ））， 又x y =x－y ，y x =y－x ，因此并非对任意x ，y I，x y = y x （如x=2，y=1）。 中无幺元，也无零元，所有元素均无逆元。
（2）由于对任意x ，y ，z I，（x y ）z =（x+y－xy ）z =x+y－xy+z－（x+y－xy ）z= x+y+z－xy －xz －yz+xyz，而x (y z )=x （y+z－yz ）=x+y+z－xy －xz －yz+xyz，因此 （x y ）z =x (y z ) ， 从而运算满足结合律。
又x y= x+y－xy=y+x－yx=y x ，因此运算满足交换律。 中有幺元0，因为对任意x I，x 0=0 x =x+0－x 0=x 中有零元1，因为对任意x I，x 1=1 x =x+1－x 1=1
对x S设有逆元y ，则x y = y x =x + y－xy=0，从而y = x/（x －1） 故S 中元素x 使得x/（x －1）为整数时，有逆元x/（x －1）。
（3）由于对任意x ，y ，z Q， （x y ）z =（（x+y）/2）z =（（x+y）/2）+z）/2=（x+y+2z）/4 而x (y z )=x （y+z）/2=（x+（y+z）/2）/2=（2x+y+z）/4 故不能对任意x ，y ，z Q使（x y ）z =x (y z ) ，（如x=1，y=2，z=3，（x y ）z ≠x （y z ））， 因此运算不满足结合律。 但对任意x ，y Q，x y =（x+y）/2=（y+x）/2=y x ，故运算满足交换律。 中无幺元，也无零元，元素也无逆元。 （4）由于对任意x ，y ，z N，（x y ）z =2xy z =2z 2xy 而x (y z ) = x 2yz =2x 2yz
故不能对任意x ，y ，z N,使（x y ）z =x (y z ) （如x=1，y=2，z=3，（x y ）z ≠x （y z ）） 由于对任意x ，y N，∵x y =2xy =2yx =y x ，故运算满足交换律。 中无幺元，也无零元，元素也无逆元。
(5)很显然对于max(x,y)，min(x,y)两种运算都满足结合律和交换律。
对于max(x,y)运算，中有幺元0，无零元，此时只有0有逆元0，其余非零自然数皆无逆元。
对于min(x,y)运算，中无幺元，有零元0，因而谈不上元素的逆元。
（6）由于对任意x ，y ，z N, （x y ）z =x z =x，x (y z ) =x y =x，（x y ）z =x (y z ) 故运算满足结合律。 又x y=x 而y x =y，因此对任意x ，y N，满足x y =y x （如x=1，y=2 x y =1 y x =2） 故运算不满足交换律
中无幺元，也无零元，因而谈不上元素的逆元。
8．证明定理10.3，定理10.4 。 证：（1）证明定理10.3。
当有关于运算的零元0，由零元定义直接可得，0为运算的左零元，也同时为其右零元。 反之设有左零元0l ，右零元0r ，则由定义10.4有0l=0l 0r=0r 从而0l=0r为运算的零元。 证明定理10.4
设01，02为代数结构的零元，则由零元定义有：01=01 02 = 02 故零元是唯一的。
9．下列断言正确吗？为什么？
（1）代数结构中的幺元与零元总不相等。
（2）一代数结构中可能有三个右幺元，而只有一个左幺元。
（3）代数结构中可能有一个元素，它既是左零元，又是右幺元。 （4）幺元总有逆元。
a * a * *a n n
n （5）用a 表示n 个a 的积: ，那么当代数结构中有元素a 时，a （n = l，
2，3，…）均在S 中。 （6）如果S’ S，运算 为 在S’ S’上的限制, 那么为代数结构的子代数。 解：（1）此断言不正确。 正确的说法为：对于|S|≥2，代数结构,其幺元与零元总不相等；对于|S|=1的代数结构,其唯一元素既是幺元也是零元。
（2）此断言不正确。因为假设代数结构有三个右幺元e1，e2，e3（e1≠e2≠e3）又有一个左幺元eL ，则由定理10.1知，eL=e1，eL=e2，eL=e3，而这是不可能的。
（3）断言正确。因为如下例：S={a,b,c}，S 上*运算由下表10.5给出：
的左零元，又是右幺元。
（4）此断言正确。因为设e 为代数结构的幺元，则e*e=e，即e 有逆元e 自身。
（5）当运算*满足结合律时，此断言正确。因为由代数结构定义（定义10.2）的（2）可知，代数结构中的运算*：当a ∈S ，则a * a = a2∈S ，a * a * a= a2* a= a3∈S ，依次类推，an ∈S ，而当运算*不满足结合律时，an 无意义。此断言错误。
（6）此断言不正确。因为*′未必是S ′上的运算，即有可能x,y ∈S ′，而x *′y= x * y S ′。
10．设 A ＝｛a ，b ｝，S 为 AA ,即
S = {f1, f2, f3, f4},诸f 由表10.6给定。
（2） 是否有幺元、零元？
（3）中哪些元素有逆元，逆元是什么？ 解：（1）S 上运算○的运算表为10.7
只为其左零元，无右零元，故无零元。
由 ○ 运算表可知，中只有元素f2 ，f3有逆元，且f2-1 = f2，f3-1 = f3
11. 对例10.2之（l ），（2），（3）中给出的代数结构分别说出一个非平凡的子代数。 解：对例10．2之（1），（2），（3）中的 （1）设F={3n n N }，则为代数结构的一个非平凡的子代数。 设A 为全体2 2整数矩阵的集合，则为代数结构的子代数。 代数结构无非平凡的子代数，而设B A，B ，则为代数结构的非平凡子代数。
12. 记集合{0，1，2，…，k-l}（k 为正整数）为Nk ，定义Nk 上的模k 加运算 +k 和模k 乘运算 k ： x +k
⎧x +y y =⎨
⎩x +y -k
⎡xy ⎢k ⎣⎤k ⎥⎦ xy
当x +y
x ⨯k y =xy -
⎡xy ⎤⎢⎥
其中⎣k ⎦表示商k 的整数部分。
考虑代数结构 , , ．问下列集合及集合上的运算是否构成以上三代数结构的子代数：
（1）{0,2},+6 ; {0,2}, 6 （2）{0,3},+6 ; {0,3}, 6 （3）{0,2,4},+6 ; {0,2,4}, 6 （4）{0,1},+6 ; {0,1}, 6
（5）{0,1,3,5},+6 ; {0,1,3,5}, 6 解：（1）∵2+62 = 4 {0，2}，∴不为的子代数。 又∵2×62 = 4 {0，2}，∴不为的子代数。 从而不为
+6，×6>的子代数。
（2）{0，3}上+6 ，×6的运算表为10.8： 表，+6>为的子代数，
×6>为的子代数，从而为的子代数。
（3）{0，2，4}上+6，X6的运算表为10.9
表
+6>的子代数，为的子代数，从而为的子代数。
（4）∵1+61=2 {0,1} ∴不为的子代数。 而{0,1}上×6的运算表为10.10: 表，×6>为的子代数。但
不是的子代数。
（5）∵1+63=4 {0,1,3,5} ∴不为的子代数。 而{0,1,3,5}上×6的运算表为10.11: 表10.11
由运算表知 不是的子代数。
10.2 同态、同构及同余 内容提要
10.2.1同态与同构
定义10.9 设及均为代数结构，称函数 h: S→S’为（代数结构 S 到S’的）同态映射，或同态（homomorphism ），如果对S 中任何元素a ，b ，
h （Δa）= Δ’（h （a ）） (10-3) h （a b ）＝ h （a ）’ h（b ） (10-4)
当同态h 为单射时，又称h 为单一同态；当h 为满射时，又称h 为满同态；当k 为双射时，又称h 为同构映射，或同构（isomorphism ）。当两个代数结构间存在同构映射时，也称这两个代数结构同构。当h 为到的同态（同构）时, 称h 为S 的自同态（自同构）。 式（10－3）和（10－4）被称为同态h 的保运算性。
定义10.10 设h 为代数结构到的同态映射，那么称h(S)为h 的同态象（image under homomorphism）。
定理10.8 设h 为代数结构到的同态，那么同态象 h （S ）与Δ’，’构成的一个子代数。
定理10.9 设h 是代数结构 到 的同态,h 的同态象为（这里1, 2, 1’, 2’ 均为二元运算），那么
（1）当运算1( 2) 满足结合律、交换律时，同态象中运算1’( 2’)也满足结合律、交换律；当运算1对2满足分配律时，同态象中运算1’对2’也满足分配律。
（2）如果 关于1( 2) 有么元e 或零元O ，那么中有关于1’( 2’)的么元h （e ）或零元h （O ）。 （3）如果 中元素x 有关于1( 2) 的逆元x-1，那么中元素h(x)有关于1’( 2’)的逆元h （x-1）。
定义10.11 如果h 为代数结构到的同态，并且S’中有么元e’，那么称下列集合为同态h 的核（kernel of homomorphism），记为K （h ）。 K （h ）={x x S ∧ h （x ）＝e’}
定理10.10 设h 为代数结构到的同态，如果K （h ） ，那么为的子代数。
10.2.2 同余关系
简单地说，同余关系是保运算的等价关系。
定义10.12 设～为代数结构的载体S 上的等价关系，称～为S 上关于一元运算Δ的同余关系(congruence relations)，如果对S 中任何元素a ，b ，
a ～b 蕴涵Δa～Δb （10-8） 称～为S 上关于二元运算 的同余关系, 如果对S 中任何元素a ，b ，c, d
a ～b,c ～d 蕴涵a c ～b d （10-9）
当～关于中一元运算Δ、二元运算 均为同余关系时，便称～为上的同余关系，等价类[x]~则又称为同余类．
定理10.11 设h 是到的同态映射，那么Ker(h)确定的S 上的等价关系～是代数结构上的同余关系。回忆定义6.9,Ker(h)确定的S 上的等价关系～如下定义:对任意x,y S,
x ～y 当且仅当h （x ）= h（y ）
习题与解 练习 10.2
1. 证明：f:R+→R,f(x)= log2 x为代数结构到的同态（这里R+为正实数集，
R 为实数集，·，+为数乘运算和数加运算）。它是否为一同构映射？为什么？
证 f: R+ R, f(x)=log2x , 由于对任意x R+ ,有唯一f(x)=log2x R,故f 为R+到R 的函数。 又由于对任意x1，x2 R+,
f(x1·x2)= log2 x1·x2 = log2 x1+log2 x2 = f(x1)+f(x2)
由定义10.9 ，f 为到的同态。同时，由于对任意x1，x2 R+, x1 x2 ，log2 x1 log2 x2，即f(x1) f(x2)，故f 为单射；由于对任意y R,取x=2y R+ 使f(x) =log22y = y，故f 为满射。因此，f 为双射。 f 为一同构映射证毕。
2．设f : N→{0，l}定义如下:
⎧1
f (n ) =⎨
⎩0
当n =2(k 是自然数) 否则
k
证明：f 为代数结构到的同态。它是单一同态, 满同态吗？ 证 由f 的定义，f 显然为N 到{0，1}的函数。 对任意n1，n2 N，当n1=2k1, n2=2k2时，则f （n1）=1，f （n2）=1，而f （n1·n2）= f（2 k1+k2）=1= f（n1）·f （n2）。当n1=2k1, n2不能写成2k 形式时，则f （n1）=1，f （n2）=0 因而f （n1·n2）= 0 = f（n1）·f （n2）。当n1不能写成2k 形式，n2=2k2时f （n1）=0，f （n2）=1，因而f （n1·n2）=0= f （n1）·f （n2）。当n1，n2都不能写成2k 形式时，则n1·n2也不能写成2k 形式，于是f （n1）=0，f （n2）=0，仍有f （n1·n2）=0= f（n1）·f （n2）。 总之对任意n1，n2 N，都有f （n1·n2）= f（n1）·f （n2），故f 为代数结构到的同态。
f 很显然不是单射，而是满射，因此f 不是到的单一同态，而是一个满同态。
3。A = {a，b ，c}，问代数系统和是否同构？ 解：代数系统和同构。 令f ：{ ，A} {{a,b},A}：f （ ）={a,b}，f （A ）=A，从而f 为{ ，A}到{{a,b},A}的双射。 又f （ ）= f（ ）={a,b}，而f （ ） f（ ）={a,b} {a,b}={a,b}，故 f （ ）= f（ ） f（ ） 同理
f （ A）= f（A ）=f（A ）= A ={a,b} A= f（ ） f（A ） f （A A）=f（A ）= A = A A = f（A ） f（A ） 而
f （ ）= f（ ）={a,b}= f（ ） f（ ） f （ A）= f（A ）= f（ ）={a,b}= f（ ） f（A ） f （A A）= f（A ）= A = f（A ） f（A ） 因此f 为到的同构映射，即与同构。
4．假定h 是到的同态，试举例说明 （l ）的么元（零元），可能不是的么元（零元）。 （2）的成员的逆元，可能不是它在中的逆元。 解：（1）例如：S={e,a}，其的运算表为10.12：
a a e
S’={ ， ， }其的运算表为10.13：
定义h ：S →S’如下
h （e ）= h （a ）=
容易验证h 为 到的同态，h （s ）={ ， } 。很显然，e 为的幺元，h （e ）= 为的幺元，却不是的幺元。 同理，设S={e,a}， S’={ ， ， }，其，’的运算表分别为10.14、10.15：
表10.14 表10.15
a b
a b
a a
a b
可验证h ：S →S’ 满足h （a ）= ，h （b ）= ，h （s ）={ ， } ，h 为 到的同态，a 为的零元，h （a ）= 为的零元，但 不是的零元。
（2），同（1）之第一个例子。的成员 的逆元是 ，但 在中没有逆元。
5．设f ，g 都是到的同态，并且 * 与 *’ 运算均满足交换律和结合律，证明:如下定义的函数h:S→S’
h(x) = f(x) ’g(x) 是到的同态。
证 f ，g 为 到的同态，因而h （x ）= f（x ）’ g（x ）必为S 到S’的映射；同时对任意x.y S有f （x y ）= f（x ）’ f（y ），g （x y ）= g（x ）’ g（y ），又因为，’满足交换律和结合律，故
h （x y ）= f（x y ）’ g（x y ）
=（f （x ）’ f（y ））’（ g （x ）’ g（y ）） =（f （x ）’ g（x ））’（f （y ）’ g（y ）） = h（x ）’ h（y ） 因此，h 是 到的同态。
6．设f ，g 分别是到的同态和到的同态，证明：g ○f 是到的同态。
证：由于f ，g 分别是 到和到的同态，f ，g 必定分别为S 到S’和S’到S’’的映射。由映射复合知，gοf为S 到S’’的映射。同时，对任意x,y S，有 f （x y ）= f（x ）’ f（y ） g （f （x ）’ f（y ））= g（f （x ））’’ g（f （y ）） 从而
gοf（x y ）= g（f （x y ））
= g（f （x ）’ f（y ）） = g（f （x ））’’ g（f （y ））
= gοf（x ）’’ gοf（y ） 因此，gοf为 到的同态。
7. 证明:恰有i 个映射f:Ni→Ni ，使得 （l ）f(0) = 0 。
（2）f 为到的同态。
(提示:f具有以下形式:f(x) = px(mod i), p = 0,1,2,…,i-1) 证：令fp ：Ni Ni 满足
fp （x ）= px（mod i） （p=0，1，2，3， ,i 1） 很显然对任一p ，fp 为Ni 到Ni 的映射，且对任意x,y Ni fp （x+iy）= p（x+iy）（mod i） =（ px+ipy）（mod i）
= px（mod i）+ i py（mod i） = fp（x ）+ifp（y ）
故对任一p ， fp 为到的同态，且fp （0）= p 0（mod i）= 0 。 当p1 p2 p1 ，p2 {0，1，2，3， ,i 1}，易证fp1 fp2 。因为 fp1（1）= p1（mod i） fp2（1）= p2（mod i）
又设g 为任一到的同态，g （0）= 0。若g （1）= m Ni，则 g （0）= 0 = fm（0） g （1）= m = fm（1）
g （2）= g（1）+ i g（1）= m + i m = 2m（mod i）= fm（2） ……
g （x ）= fm （x ） 综上，f0,f1, f2,, , fi-1为满足题中（1）（2）的i 个不同同态，且只有这i 个，即恰有i 个映射f ：Ni Ni满足（1）（2）。
8. （l ）以为例, 给出所有满足第7题要求的同态f 。 （2）给出所有满足f(0) = 0的到的同态f 。 （3）给出所有满足f(0) = 0的到的同态f 。 解： （1）f0 ：N3 N3 f0（0）=0 f0（1）=0 f0（2）=0 f1 ：N3 N3 f1（0）=0 f1（1）=1 f1（2）=2 f2：N3 N3 f2（0）=0 f2（1）=2 f2（2）=1
（2）f ：N2 N3 f （0）=0 f （1）=0 容易验证f 为到的同态。
而当f1（0）= 0，f1（1）=1或 f2（0）= 0 f2（1）= 2 ，f1 ，f2都不满足同态要求（不保持运算）。因为
f1（1+21）= f1（0）=0 而f1（1）+3f1（1）=1+31=2 f2（1+21）= f2（0）=0 而f2（1）+3f2（1）=2+32=1
（3）f ：N N3 ① f1（0）=0，f1（1）=f1（2）=…=f1（n ）=…=0 f2（0）=0，f2（1）=1，f2（2）=2 f2（3）=0，
f2（4）=1，f2（5）=2，f2（6）=0，…
f3（0）=0，f3（1）=2，f3（2）=1，f3（3）=0，f3（4）=2，f3（5）=1， f3（6）=0，… 易证f1，f2，f3为到的同态。
9. 对例10.12中分数集F 证明:如下定义的F 上的等价关系～是(这里, – 为一元添负号运算) 上的同余关系:
n
n
' '
m ～ m 当且仅当 m’n = mn’ n n ' , ∈F m m '
n
n m
n
'
'
证 对 ，若 m ～ m 则 m’n = mn’， 从而 m ’n = m n’ 即
m ' ⋅(-n ) =m ⋅(-n ' ), -~-
n ' m '
n m ~n ' m ' m ' , n ' ~n 1' m 1'
从而m ' n =mn ' , m 1' n 1=m 1n 1'
又设 于是
m nm 1m 1=mn m 1m 1
'
'
'
'
m 1n 1mm =m 1n 1mm
' ' ' '
从而
m 1m nm 1+m 1m mn 1=mm 1m 1n +mm 1m n 1
m 1' n ' +m ' n 1' m 1' m '
' ' ' ' ' ' ' '
m 1' m ' (nm 1+mn 1) =mm 1(m 1' n ' +m ' n 1' ) nm 1+mn 1
mm 1
~
即
n m
+
n 1m 1
~
n ' m '
+
n 1' m 1'
即
从而~为同余关系得证。
10. 定义分数集F 上的一元运算Δ:
n
n
2
Δ(m ) = m
证明:第9题中定义的等价关系～不是上的同余关系.
2⎛1⎫1⎛2⎫
∆ ⎪=, ∆ ⎪=⎝2⎭4⎝4⎭16 12~24
证 例如 但
⎛1⎫⎛2⎫∆ ⎪~∆ ⎪⎝2⎭⎝4⎭
不成立
故～不是上的同余关系.
11. 对下列每一关系, 证明或否证它是 上的同余关系(这里I 为整数集合): （l ）x ～y 当且仅当 x ≥y 。
（2）x ～y 当且仅当 (x
（4）x ～y 当且仅当 x = y = 0∨(x 0∧y 0) 。 解：（1）~不是上的同余关系。因为容易证明~不具有对称性，因而~不是I 上的等价关系。所以 ~不是上的同余关系。
（2）~不是上的同余关系。因为由题意 2 ~1，1 ~ 3，但2+（1）=1 ~ 1+（3）= 2 不成立。故 ~ 不是上的同余关系。
（3）~不是上的同余关系。因为
对x ～y 当且仅当 x – y 上的同余关系。
（4）~ 不是上的同余关系。因为由题意2 ~3，2 ~ 1，可2+（2）= 0 ~ 3+（1）=2不成立。所以 ~不是上的同余关系。
12. 整数集I 上一元运算Δ定义如下:
Δ(m)= m r (mod k) 其中r,k 为给定正整数。又定义I 上关系～： x ～y 当且仅当 x = y(mod k)
问～是否是代数结构上的同余关系。 解：显然 ~ 是上的等价关系。 又设x ~ y，即x = y（mod k）。设
x = n1k+t ， y= n2k+t ， n1 ，n2 N，t N, 0 t k
r
xr= （n1k+t）r = 故 （x ）= x r (mod k)= tr（mod k）
i =0
∑
r
C r (n 2k )t
i
i
r -i
y r= （n2k+t）r = 故 （y ）= yr (mod k)= tr（mod k） 从而 （x ）~ （y ），因此 ~ 是上的同余关系。
13．设～为代数结构的载体N3上的等价关系。
（1）证明：如果～是关于+3的同余关系, 那么～必定也是关于 3的同余关系。 （2）（l ）之逆并不成立。
(1) 证：因为N3={0，1，2}，对任意a,b,c N3 ①当c=0时,
∵a 30=b 30=0 3a=0 3b=0, 而0～0（由等价关系～具有自反性） ∴当a ～b 时，必有a 30～b 30 0 3a～0 3b ②当c=1时，
∵a 31=1 3a=a, b 31=1 3b=b, ∴当a ～b 时，必有a 31=a～b 31=b 1 3a= a～1 3b=b ③当c=2时，
∵a 32=2 3a=a+3a, b 32=2 3b=b+3b,
∴当a ～b 时，由～为关于+3的同余关系, ∴a+3a～b+3b 即a 32～b 32 2 3a～2 3b
综合①②③，当～为关于+3的同余关系时, ～必为关于 3的同余关系。
i =0
∑C (n k )t
i r
i 2
r -i
解（2） 定义～：对任a ，b N3，
a ～ b ，当且仅当 a=b=0∨(a 0∧b 0)
易证，～为N3上等价关系，且～是关于 3的同余关系。因为： N3上 3的运算表为表10.18：
对任意a ，b N3，①当a=b=0时或c=d=0时，a 3c=0 b 3d=0 ∵0 ～ 0 ∴a 3c ～ b 3d ②当a ≠0，b ≠0 c ≠0，d ≠0时，a 3c≠0 b 3d≠0 ∴a 3c ～ b 3d 总之，当a ～ b ，c ～ d ，则a 3c ～ b 3d
但～是关于+3不是同余关系。因为： N3上+3的运算表为表10.19：
由～定义，1 ～ 2
14．证明：代数结构上的两个同余关系的交仍为上的同余关系。 证：设 ~ 1与~ 2为上的两个同余关系
则很显然 ~ 1 ~ 2为S 上的等价关系。且对任意a ，b ，c ，d S，当a （~ 1 ~ 2）b ，c （~ 1 ~ 2 ）d 时有
a ~ 1 b，c ~ 1 d ，a ~ 2 b，c ~ 2 d
由于 ~ 1，~ 2 为同余关系，故a c ~ 1 b d ，a c ~ 2 b d ，从而a c （~ 1 ~ 2 ）b d 于是~ 1 ~ 2为上的同余关系得证。
15．举例说明: 上两个同余关系的合成未必是上的同余关系。
解：两个同余关系的合成未必是等价关系，从而未必是同余关系。例如S={a,b,c}, 为一元恒等运算，即(x)=x。两个等价关系R1,R2如下确定：
{,,,,},{,,,,} 显然R1,R2是上两个同余关系，但
R1 R2 = {,,,,,} 它不是一个等价关系，因而它不是上的同余关系。
16．我们知道，一个S 上等价关系可以用一个S 的划分来表示。事实上, 一个上的同余关系还可以用一个特别的划分——同余类的集合来表示。试作出上的所有同余关系所对应的划分, 这里max 为二元求大运算。
解 上的同余关系所对应的划分有
{{0},{1},{2},{3},{4}} , {{0},{1,2},{3},{4}} , {{0},{1},{2,3},{4}} ,{{0},{1},{2},{3,4}} , {{0},{1,2},{3,4}} , {{0},{1,2,3},{4}} , {{0},{1,2,3,4}} ,
{{0,1},{2},{3},{4}} , {{0,1},{2,3},{4}} , {{0,1},{2},{3,4}} , {{0,1},{2,3,4}}, {{0,1,2},{3},{4}} , {{0,1,2},{3,4}}, {{0,1,2,3},{4}} , {{0,1,2,3,4}}。
Δ 10.3商代数与积代数 内容提要 10.3.1商代数
定义10.13 设S 上等价关系～为上的同余关系。定义S/～上一元运算＠和二元运算⊙如下，对任意x,y S， ＠([x]) = [Δx] [x]⊙[y] = [x y ]
那么代数结构称为的关于～的商代数（quotient algebra）。
定理10.12 设为的关于～的商代数，那么
（1）若 运算满足结合律、交换律，那么⊙运算也满足结合律、交换律. （2）若 运算有么元e （零元0）, 那么⊙以[e]为么元（以[0]为零元）. 若x S有关于 * 运算的逆元x-1，那么[x]有关于⊙运算的逆元[x-1]。
定理1O.13 设～为上的同余关系，那么规范映射f:S→S/～为到其商代数的一个同态.
定理10.14 设h 为到的同态，～为h 导出的的同余关系，那么，商代数与同态象同构．
10.3.2 积代数
定义10.14 设与为具有同样数目一元运算及同样数目二元运算的代数结构, 那么代数结构称为代数S 及S’的积代数(product algebra)，其中◎与⊙定义如下：对任何， S S’,
◎() = ⊙ =
定理10.15 设由与可构成积代数，那么 （1）当 与 运算均满足结合律、交换律等运算律时，⊙运算也满足同样的运算律。 （2）当e （0），e’（0’）分别为 及 运算的么元（零元）时，，必为⊙运算的么元（零元）。 当x S，y S’分别有关于与’运算的逆元x-1，y-1时，则有关于⊙运算的逆元。
习题与解 练习10.3
对例10.13中代数结构建立其商代数，其中～为式（10- 11）所确定的同余关系。证明与同构。
n
证：由例10.13知, h: F→Q 对每一m F
n
h(m ) = n除以m 的商
为和
的同态，且h(F)=Q
n
n
' '
对任意m ，m ∈F ，h 导出F 上的一个同余关系～：
n
n
' '
n n
' '
(m ) ～(m ) 当且仅当h(m ) = h(m ) 当且仅当m ·n’ = m’·n 由定理10.14, 商代数与同态象同构 即与
同构. 其中：
n ' ⎤⎡n ⎤⎡n ' ⎤⎡n
Θ=-⎢m ⎥⎢m ' ⎥⎢m m ' ⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦n ' ⎤⎡n ⎤⎡n ' ⎤⎡n
⊕=+⎢m ⎥⎢m ' ⎥⎢m m ' ⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2. 设中S =｛a ，b ，c ，d ，e ｝，两个一元运算由下列运算表定义表10.20：
另设R 为S 上等价关系，R 对应于划分π: π=｛｛a,c ｝，｛b,e ｝, ｛d ｝｝ （1）试证R 为上的同余关系。 （2）作出的商代数。 证(1)：由于R 由划分π=｛｛a,c ｝，｛b,e ｝, ｛d ｝｝决定，故 R={,,,,,,,,} 又由运算表知： 1 (a)=d, 1 (b)=c , 1 (c)=d， 1 (d)=b, 1 (e) = a ，故 =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, =∈R, 即对任意x,y S, 当∈R, ∈R ，亦即xRy 蕴涵 1 (x)R 1 (y) 同理由运算表知： 2 (a)=c, 2 (b)=b , 2 (c)=a， 2 (d)=c, 2 (e) = e 同上可验证，对任意x,y S 当 xRy 时有 2 (x)R 2 (y) 因此R 为 上的同余关系。
(2)解： S/R={{a,c},{b,e},{d}}
由定义10.13 @1({a,c})=[ 1 (a)]=[ 1 (c)]={d} @1 ({b,e})=[ 1 (b)]=[ 1 (e)]={a,c} @1 ({d})=[ 1 (d)]= [b]={b,e}
@2 ({a,c})=[ 2 (a)]=[{ 2 (c)}]={a,c} @2 ({b,e})=[ 2 (b)]=[ 2 (e)]={b,e} @2 ({d})=[ 2 (d)]=[c]={a,c} 即 的商代数 如下确定:
S/R={{a,c},{b,e},{d}} , @1, @2运算表为表10.21: 表10.21 x {a,c} {b,e} {d}
@1 {d} {a,c} {b,e} @2 {a,c} {b,e} {a,c}
3. 令h:N→N 为到的同态，对任何x N, h(x) = kx（k 为给定非零自然数）。试描述h 所导出的同余关系～, 构作的商代数，并证明它与同构。 解：由定理10.11 h 导出的同余关系~为:
对任意x ,y N, x~y h(x)=h(y) kx=ky x=y（由于k 0） 即 ~ 是N 上的相等关系 亦即N/~=N , [x] ~= {x} 商代数中N/~={ [x] ~ x N}={{x } x N}，且对任意[x] ，[y] N/~ [x] [y]= [x+y] ={x+y}
令h’: N/～ N, h’([x]) = x, 显然h’为N/～ N的双射，且h’([x] [y]) = h’([x+y]) = x+y=h’([x])+h’([y])。故h’为 到的同构映射，商代数 与同构.
4. 令h:I→N 为到的同态，对任何x I,h(x) = x2。试描述h 所导出的同余关系～，构作的商代数，并证明它与同构。 解：由定理10.11，h 导出的同余关系~为: 对任意x,y I, x~y h(x)=h(y) x2=y2 故I/~={[0],[1],[2] } ，其中[i]={i,-i}。 商代数中I/~={ [x] ~ x I}={{x，-x} x I}，且对任意[x] ，[y] I/~, [x] ⊙ [y]=[x·y] 定义i :
i([x]) =∣x ∣
显然i 为I/~ 到N 的双射, 且i([x] ⊙ [y]) = i([x·y])=∣x ·y ∣=∣x ∣·∣y ∣= i([x])·i([y])， 故i 为 到的同构映射，商代数与 同构。
5. 证明定理10.12。
证：(1) 对任意[x],[y],[z] S/~, 由商代数的定义及 * 满足结合律可知 ([x] [y] ) [z]= [x*y] [z]= [(x*y)*x]=[x*(y*z)]=[x] [y*z]= [x] ([y] [z]) 即 满足结合律。
由商代数的定义及 * 满足交换律可知 [x] [y]= [x*y]=[y*x]]=[y] [x] 即 满足交换律。
∀n
(2) 令e 为 * 的幺元, 那么对任意[x] S/~, [x] [e]=[x*e]=[x] [e] [x]=[e*x]=[x] 即[e] 为 的幺元,
令0 为 * 的零元, 那么对任意[x] S/~,
[x] [0]=[x*0]=[0] [0] [x]=[0*x]=[0] 即 [0]为 的零元。
(3) 对任意[x] S/~,令x 关于*的逆元为x-1 ，那么 [x] [ x-1]=[x* x-1]=[e] ， [x-1] [x]=[ x-1*x]=[e] 由(2)知[e]为 的幺元，故[x] 关于 的逆元为 [x-1]。
6. 证明定义10.14中运算◎与⊙的良定性。 证：对任意, S S’
◎ ()= 由 ， ’的良定性，知◎是良定的。 又，⊙= 由*，*’的良定性，知⊙是良定的。
7. 证明定理10.15。
m m '
,
n '
∈F
证(1) 对任意,, S S’ 由*,*’满足结合律 ，知
( ) = = = = = ( ) 故 满足结合律。
又*,*’满足交换律，因而
=== 故 满足交换律。
(2)设e,e’分别为*,*’的幺元，那么对任意 S S’ 有 == == 故为 的幺元
同理，设0 ，0’分别为*,*’的零元，那么对任意 S S’ 有 x*0 = 0*x=x y*’0’=0’*’y=0’ == == 故为 的零元。
(3) 设 S S’ ，则x S, y S’。由已知,x 关于*有逆元x-1, y关于*有逆元y-1, 于是 x* x-1= x-1*x=e y* y-1= y-1*y=e’ 从而
== == 由(2)知为 的幺元 ，故 关于 有逆元
8. 构作与的积代数，并指出它的么元和零元。
解: 设A={1,2,3} B={1,2 } A B={1,2,3} {1,2}={,,,,,} 定义A B上积运算 : 对任意, A B = 具体表示为表10.22: 表
由定理10.15 ，积代数的幺元为,零元为。 的运算表给出的结果也正是如此.
9. 在集合S S’上定义关系～: 对任意x ，u S，y, v S’,
～ 当且仅当 x = u
（1）问关系～是否为与的积代数上的同余关系？
（2）证明:上述关系～为上的同余关系时, 的关于 ～ 的商代数与同构。
解（1） 题中定义的关系～即为积代数上的同余关系。
因为～为等价关系是显然的。且对任意，，， S S’， 若 ～ ， ～ ，则x = u , x1= u1 ，于是x* x1= u*u1 。 而 ⊙= , ⊙=
由于已知x* x1= u*u1 , 从而⊙～⊙，因此～为上的同余关系。
证（2）定义h: S S’→S, 使得对任意 S S’，
h() = x
于是h(S S’) = S, h导出的同余关系恰为～。
对任意， S S’，
h(⊙)= h ()= x* x1 = h() *h()
故h 为S S’→S 的满同态。由定理10.14，商代数与同构。