有关重复的排列组合问题
刘玉兰
我们常见的排列、组合问题，其中的元素通常是不可重复的，下面我们看几类可重复的排列、组合问题。
一. 有重复排列–––分步计数原理
例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？
解：完成这件事情可分三步：（1）第一项冠军有4种可能；（2）第二项冠军有4种可能；（3）第三项冠军有4种可能。所以可能情况有：4×4×4＝64（种）。
一般地，从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素，按一定顺序排成一列，那么，第1、第2、…、第m 个位置上选取元素的方法都有n 种。由分步计数原理得每次从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素的排列数为： m
N =n ⋅n ⋅n ⋅ ⋅n =n m (m , n ∈N *, m ≤n )
相关练习：
用0，1，2，…，9这10个数字可组成多少个8位数字的电话号码？（108）
二. 不尽相异元素的排列–––组合法
例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，有多少种种法？
3 解：这5个不尽相异的元素有3个相同，另2个相同，所以共有：C 5=C 52=10（种）
种法。
一般地，在n 个不尽相异的元素里，如果有m 1个元素相同，又有m 2个元素相同，并且m 1＋m 2＝n ，那么这n 个元素的不同排列种数N =C n 1=C n 2。
三. 相同元素分组––––隔板法
例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？
解法1：每盒先放入1球，剩下1球任选1盒，共有：C 4=4（种）放法。
解法2：（第一隔板法）
5个小球可形成6个空隙，由于每盒至少放1个小球，所以除去两边空隙还剩4个空，只要在这4个位置上隔进3个板，即可满足要求。所以有：C 4=4（种）放法。
例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有多少种放法？
解法1：（分类法）
第一类：全部放入1个盒子里，有：C 4=4（种）放法；
第二类：放入2个盒子里，有：C 4⨯4=24（种）放法；
第三类：放入3个盒子里，有：C 4⨯6=24（种）放法；
第四类：放入4个盒子里，有4种放法。
所以，共有：4＋24＋24＋4＝56（种）放法。
解法2：（第二隔板法）
将4个盒子与5个小球看成9个相同元素，除去两边形成8个空隙，将这8个空隙隔进3个板，即有：C 8=56（种）放法。
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一般地，相同元素分组，可用隔板法。如果每组至少一个元素可用第一隔板法，如果没有要求可用第二隔板法。
相关练习：
1. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，每班至少1人，
7不同的分配方案有几种？（C 9=36）
2. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，不同的分配方案
7有几种？（C 17=19448）
四. 平均分组问题––––平均分给几组，除以几的阶乘
例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法？
222 错解：分法有：C 6⨯C 4⨯C 2=90（种）
分析：若将6个同学编号，假如分组情况如下：1、2；3、4；5、6。先挑出1、2与后挑出1、2是同一情况，没有先后顺序差别，上面的解法产生了重复。
222C 6⋅C 4⋅C 2=15（种） 正解：分法有：3!
一般地，把不同的元素平均分成几组，就除以几的阶乘。
相关练习：
将5个不同礼品分成3组，则有几种分法？
12C 53⋅C 2C 52⋅C 3+=25) (2! 2!
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有关重复的排列组合问题
刘玉兰
我们常见的排列、组合问题，其中的元素通常是不可重复的，下面我们看几类可重复的排列、组合问题。
一. 有重复排列–––分步计数原理
例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？
解：完成这件事情可分三步：（1）第一项冠军有4种可能；（2）第二项冠军有4种可能；（3）第三项冠军有4种可能。所以可能情况有：4×4×4＝64（种）。
一般地，从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素，按一定顺序排成一列，那么，第1、第2、…、第m 个位置上选取元素的方法都有n 种。由分步计数原理得每次从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素的排列数为： m
N =n ⋅n ⋅n ⋅ ⋅n =n m (m , n ∈N *, m ≤n )
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二. 不尽相异元素的排列–––组合法
例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，有多少种种法？
3 解：这5个不尽相异的元素有3个相同，另2个相同，所以共有：C 5=C 52=10（种）
种法。
一般地，在n 个不尽相异的元素里，如果有m 1个元素相同，又有m 2个元素相同，并且m 1＋m 2＝n ，那么这n 个元素的不同排列种数N =C n 1=C n 2。
三. 相同元素分组––––隔板法
例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？
解法1：每盒先放入1球，剩下1球任选1盒，共有：C 4=4（种）放法。
解法2：（第一隔板法）
5个小球可形成6个空隙，由于每盒至少放1个小球，所以除去两边空隙还剩4个空，只要在这4个位置上隔进3个板，即可满足要求。所以有：C 4=4（种）放法。
例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有多少种放法？
解法1：（分类法）
第一类：全部放入1个盒子里，有：C 4=4（种）放法；
第二类：放入2个盒子里，有：C 4⨯4=24（种）放法；
第三类：放入3个盒子里，有：C 4⨯6=24（种）放法；
第四类：放入4个盒子里，有4种放法。
所以，共有：4＋24＋24＋4＝56（种）放法。
解法2：（第二隔板法）
将4个盒子与5个小球看成9个相同元素，除去两边形成8个空隙，将这8个空隙隔进3个板，即有：C 8=56（种）放法。
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一般地，相同元素分组，可用隔板法。如果每组至少一个元素可用第一隔板法，如果没有要求可用第二隔板法。
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1. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，每班至少1人，
7不同的分配方案有几种？（C 9=36）
2. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，不同的分配方案
7有几种？（C 17=19448）
四. 平均分组问题––––平均分给几组，除以几的阶乘
例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法？
222 错解：分法有：C 6⨯C 4⨯C 2=90（种）
分析：若将6个同学编号，假如分组情况如下：1、2；3、4；5、6。先挑出1、2与后挑出1、2是同一情况，没有先后顺序差别，上面的解法产生了重复。
222C 6⋅C 4⋅C 2=15（种） 正解：分法有：3!
一般地，把不同的元素平均分成几组，就除以几的阶乘。
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将5个不同礼品分成3组，则有几种分法？
12C 53⋅C 2C 52⋅C 3+=25) (2! 2!
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