water level control system
水位控制系统
Project
Given a water level control system,
1. Plot the block diagram of the system, and describe the functions of every element.
2. Find the transfer function of each element.
3. Simulate the performance of the control system (Using Matlab/Simulink) and analyze the results. Note that all system parameters are chosen reasonably by yourself. 4. A concise written report is required to submit
Due date: Monday, Mar. 14
一、系统总体分析
系统工作原理：当电位器电刷位于中点位置时，电动机不动，控制阀门有一定
的开度，使水箱中流入水量与流出水量相等，从而液面保持在希望高度上。一旦流入水量或流出水量发生变化，水箱液面高度便相应变化。例如，当液面升高时，浮子位置亦相应升高，通过杠杆作用使电位器电刷从中点位置下移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机通过减速器减小阀门开度，使进入水箱的流量减少。此时，水箱液面下降，浮子位置相应下降，知道电位器电刷回到中点位置，系统重新处于平衡状态，液面恢复给定高度，反之，若水箱液面下降，则系统会自动增大阀门开度，加大流入的水量，使液面升到给定的高度。
液位控制系统原理框图：
二、求解各部分传递函数
1、浮子、杠杆部分
式中K U 为电压、液位高度之比。
2、电动机的数学模型
直流电动机的数学模型。直流电动机可以在较宽的速度范围和负载范围内得到连续和准确的控制，因此在控制工程中应用非常广泛。直流电动机产生的力矩与磁通和电枢电流成正比，通过改变电枢电流或改变激磁电流都可以对电流电机的力矩和转速进行控制。在这种控制方式中，激磁电流恒定，控制电压加在电枢上，这是一种普通采用的控制方式。
设u (t ) 为输入的控制电压(V ) ，i 电枢电流(A ) , M 为电机产生的主动力矩
(N ∙m ) , ω为电机轴的角速度(rad /s ) ，L 为电机的电感(H ) ，R 为电枢导数的
电阻(Ω) ，e (t ) 电枢转动中产生的反电势(V ) ，J 为电机和负载的转动惯量
(Kg *m 2)
根据电路的克希霍夫定理（KVL ）：
di
L +Ri +θ(t ) =u (t ) dt
整理后得：
dM r d 2ωd ω
T e T m +T +ω=K u -K (T +M r ) m 12θ
dt dt dt 2
式中：T θ= T m =
L
称为直流电动机的电气时间常数； R
JR
称为直流电动机的机电时间常数； K θK m
1R ，K 2=为比例系数。 K θK m K θ
K 1=
直流电动机电枢绕组的电感比较小，一般情况下可以忽略不计，上式可化简为 d ωT m +ω=K 1u -K 2M r
dt
d 2θd θ即T m 2+=K 1u -K 2M r
dt dt
对上式取拉氏变换，设初始条件为零，得电动机传递函数：
即
3、阀门部分：
4、水箱控制部分：
（1）设输入量为进水量Q 1，输出量为水位H ，Q 1和H 都是在基准量Q 10与H 0
基础上的增量。此外，Q 2表示出水量的增量，R 表示输出管道阀门的阻力（即流阻）。设C 是水箱底的底面积，相对于水位升高1M 所需的进水总量，也称水箱的容量。 水箱若无出水口，则出水量为零且是保持不变（Q 2=0）。在静态下，流入水箱的流量为零，水箱的水位H 保持不变。在流入量有一个增量Q 1时，静态平衡被破坏，但流出量为零，水箱的水位变化规律为
式中C 为水箱的横截面积。对上式两端求取拉普拉斯变换，可得水箱的传递函数：
另设，得：
这是一个积分环节。它的单位阶跃响应为
（2）设输入量为进水量Q 1，输出量为水位H ，Q 1和H 都是在基准量Q 10与H 0基础上的增量。此外，Q 2表示出水量的增量，R 表示输出管道阀门的阻力（即流阻）。设C 是水箱底的底面积，相对于水位升高1M 所需的进水总量，也称水箱的容量。
根据流体的连续性原理，dt 时间水箱内流体增加（或减少）CdH ，应与进（或出）水总量(Q 1-Q 0) dt 相等，即
CdH =(Q 1-Q 0) dt
有根据托里拆利定律，出水量与水位高度平方根成正比，则有
Q 2=
H R 0
其中
1
为比例系数。显然，上式为非线性关系，在工作点（Q 10，H 0）附近进行R 0
泰勒级数展开，取一次项得：
Q 2=
12R 0H 0
H =
H R
式中 R =2R 0H 0为流阻。 于是不难求得水箱的线性化微分方程：RC
dH
+H =RQ 1 dt
对上式取拉氏变换，设初始条件为零，并令T =RC , K R =R ，得水箱传递函数：
G c (s ) =
H (s ) K R
=
Q 1(s ) Ts +1
这是一个一阶惯性环节。描述这类对象的参数是时间常数T 和放大系数K R 。
三、模拟控制系统性能和分析结果
1、若水池无出水口
建立系统的动态结构图模型，求传递函数解:
的表达式，判断系统的稳定性。
K=K1K a K c
用matlab 仿真如下（取各参数均为1）
Simulink 仿真：
根据劳斯判据
- Tm u u m >0，故两等式不能同时成立
故此时系统不稳定。
2、若水池有出水口
建立系统的动态结构图模型，求传递函数
的表达式，判断系统的稳定性。
用matlab 仿真如下（取各参数均为1）
Simulink 仿真
根据劳斯判据
由于(Ts m 、s u
3、分析系统对于单位阶跃响应的稳态误差
四、个人感想：
通过此次课题研讨，我学到了很多书上没有的东西，在一个多星期的时间里，我学会了如何在最短的时间没找到自己需要的资料，这是我此次研讨的一个收获，同时此次研究也丰富了我对自动控制理论的进一步理解，通过对液位自动控制系统建模来了解了系统稳定性对控制系统的影响，学会了用时域分析的方法和频域分析的方法对设计进行分析，同时也通过查阅相关资料，拓宽了自己的知识面。
water level control system
水位控制系统
Project
Given a water level control system,
1. Plot the block diagram of the system, and describe the functions of every element.
2. Find the transfer function of each element.
3. Simulate the performance of the control system (Using Matlab/Simulink) and analyze the results. Note that all system parameters are chosen reasonably by yourself. 4. A concise written report is required to submit
Due date: Monday, Mar. 14
一、系统总体分析
系统工作原理：当电位器电刷位于中点位置时，电动机不动，控制阀门有一定
的开度，使水箱中流入水量与流出水量相等，从而液面保持在希望高度上。一旦流入水量或流出水量发生变化，水箱液面高度便相应变化。例如，当液面升高时，浮子位置亦相应升高，通过杠杆作用使电位器电刷从中点位置下移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机通过减速器减小阀门开度，使进入水箱的流量减少。此时，水箱液面下降，浮子位置相应下降，知道电位器电刷回到中点位置，系统重新处于平衡状态，液面恢复给定高度，反之，若水箱液面下降，则系统会自动增大阀门开度，加大流入的水量，使液面升到给定的高度。
液位控制系统原理框图：
二、求解各部分传递函数
1、浮子、杠杆部分
式中K U 为电压、液位高度之比。
2、电动机的数学模型
直流电动机的数学模型。直流电动机可以在较宽的速度范围和负载范围内得到连续和准确的控制，因此在控制工程中应用非常广泛。直流电动机产生的力矩与磁通和电枢电流成正比，通过改变电枢电流或改变激磁电流都可以对电流电机的力矩和转速进行控制。在这种控制方式中，激磁电流恒定，控制电压加在电枢上，这是一种普通采用的控制方式。
设u (t ) 为输入的控制电压(V ) ，i 电枢电流(A ) , M 为电机产生的主动力矩
(N ∙m ) , ω为电机轴的角速度(rad /s ) ，L 为电机的电感(H ) ，R 为电枢导数的
电阻(Ω) ，e (t ) 电枢转动中产生的反电势(V ) ，J 为电机和负载的转动惯量
(Kg *m 2)
根据电路的克希霍夫定理（KVL ）：
di
L +Ri +θ(t ) =u (t ) dt
整理后得：
dM r d 2ωd ω
T e T m +T +ω=K u -K (T +M r ) m 12θ
dt dt dt 2
式中：T θ= T m =
L
称为直流电动机的电气时间常数； R
JR
称为直流电动机的机电时间常数； K θK m
1R ，K 2=为比例系数。 K θK m K θ
K 1=
直流电动机电枢绕组的电感比较小，一般情况下可以忽略不计，上式可化简为 d ωT m +ω=K 1u -K 2M r
dt
d 2θd θ即T m 2+=K 1u -K 2M r
dt dt
对上式取拉氏变换，设初始条件为零，得电动机传递函数：
即
3、阀门部分：
4、水箱控制部分：
（1）设输入量为进水量Q 1，输出量为水位H ，Q 1和H 都是在基准量Q 10与H 0
基础上的增量。此外，Q 2表示出水量的增量，R 表示输出管道阀门的阻力（即流阻）。设C 是水箱底的底面积，相对于水位升高1M 所需的进水总量，也称水箱的容量。 水箱若无出水口，则出水量为零且是保持不变（Q 2=0）。在静态下，流入水箱的流量为零，水箱的水位H 保持不变。在流入量有一个增量Q 1时，静态平衡被破坏，但流出量为零，水箱的水位变化规律为
式中C 为水箱的横截面积。对上式两端求取拉普拉斯变换，可得水箱的传递函数：
另设，得：
这是一个积分环节。它的单位阶跃响应为
（2）设输入量为进水量Q 1，输出量为水位H ，Q 1和H 都是在基准量Q 10与H 0基础上的增量。此外，Q 2表示出水量的增量，R 表示输出管道阀门的阻力（即流阻）。设C 是水箱底的底面积，相对于水位升高1M 所需的进水总量，也称水箱的容量。
根据流体的连续性原理，dt 时间水箱内流体增加（或减少）CdH ，应与进（或出）水总量(Q 1-Q 0) dt 相等，即
CdH =(Q 1-Q 0) dt
有根据托里拆利定律，出水量与水位高度平方根成正比，则有
Q 2=
H R 0
其中
1
为比例系数。显然，上式为非线性关系，在工作点（Q 10，H 0）附近进行R 0
泰勒级数展开，取一次项得：
Q 2=
12R 0H 0
H =
H R
式中 R =2R 0H 0为流阻。 于是不难求得水箱的线性化微分方程：RC
dH
+H =RQ 1 dt
对上式取拉氏变换，设初始条件为零，并令T =RC , K R =R ，得水箱传递函数：
G c (s ) =
H (s ) K R
=
Q 1(s ) Ts +1
这是一个一阶惯性环节。描述这类对象的参数是时间常数T 和放大系数K R 。
三、模拟控制系统性能和分析结果
1、若水池无出水口
建立系统的动态结构图模型，求传递函数解:
的表达式，判断系统的稳定性。
K=K1K a K c
用matlab 仿真如下（取各参数均为1）
Simulink 仿真：
根据劳斯判据
- Tm u u m >0，故两等式不能同时成立
故此时系统不稳定。
2、若水池有出水口
建立系统的动态结构图模型，求传递函数
的表达式，判断系统的稳定性。
用matlab 仿真如下（取各参数均为1）
Simulink 仿真
根据劳斯判据
由于(Ts m 、s u
3、分析系统对于单位阶跃响应的稳态误差
四、个人感想：
通过此次课题研讨，我学到了很多书上没有的东西，在一个多星期的时间里，我学会了如何在最短的时间没找到自己需要的资料，这是我此次研讨的一个收获，同时此次研究也丰富了我对自动控制理论的进一步理解，通过对液位自动控制系统建模来了解了系统稳定性对控制系统的影响，学会了用时域分析的方法和频域分析的方法对设计进行分析，同时也通过查阅相关资料，拓宽了自己的知识面。