2013/9/23
本章学习要求：
第三章 微分中值定理与导数的应用 费马定理
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰
微分中值定理
勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判 断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相 关最大、最小值的应用问题。
罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理
一. 费马定理
定理
证
从而当 时 时
费马定理的几何解释
从而当
二. 罗尔中值定理
定理
设
如何证明？
所以 则至少存在一点
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
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证
最小值至少各一次. 最小值至少各一次.
由费马定理可知：
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
在( a , b ) 内至少存在一点
使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例1 证
综上所述,
其中,
2
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例2 证
例3.设ƒ(x)在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导, 且 ƒ(a) = ƒ(b) = 0. 试证: 在(a , b)内至少存在一点ξ , 使得
证 则 F(x) 在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导, 且 F(a) = F(b) = 0, 即满足罗尔定理的条件. 则在(a , b)内至少存在一点ξ , 使得
14
三. 拉格朗日中值定理
定理
设
证
则由已知条件可得：
则至少存在一点
故由罗尔定理, 至少存在一点
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令 则
例4 证
推论:
若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 故 从而 由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
3
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例5 证
例6 证
四. 柯西中值定理
设
证
故 由罗尔中值定理至少存在一点 则至少存在一点 使得
亦即
至少存在一点
使
即
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
两个 不 一定相同
切线斜率
上面两式相比即得结论.
错!
注意:
4
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例
证 因 可改写为
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系 费马引理 拉格朗日中值定理
而
在[a , b]上满足柯西中值定理的条件.
罗尔定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
25
柯西中值定理
所以在(a , b)内至少存在一点ξ , 使得
故在(a , b)内方程至少存在一个根 ξ .
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
思考与练习 1. 填空题 1) 函数 在区
间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
2. 设 在一点 使
且在
内可导, 证明至少存
提示: 由结论可知, 只需证
条件, 则中值 2) 设 有 个根 , 它们分别在区间 方程 上.
即 设 验证 在 上满足罗尔定理条件.
3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
4. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
提示: 设 欲证: 只要证 亦即 作辅助函数 罗尔定理条件. 验证 在 上满足 使
即
当
时 问是否可由此得出
因此由上式得
不能 !
因为
是依赖于 x 的一个特殊的函数. 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
5
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§3.2 罗必达(L’Hospital)法则
在第二章中我们已经知道, 存在, 也可能不存在. 型的极限可能
一.
型的罗必达法则
定理 . 设函数ƒ(x), g(x)满足下列条件：
例: 求
通常称不能直接使用极限的四则运算法则来计算 的极限, 为未定式的极限. 下面利用柯西中值定理来推出一种求未定式极限的简便 而有效的法则 — 罗必达法则.
31
证 因求
与ƒ(a)及g(a)无关,
则可定义 ƒ(a) = g(a) = 0 从而 ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 处连续. 则由条件(1)、(2)可知,
32
ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 的邻域U(a, δ)内是连续可导的. 设x是该邻域内的一点, 则 ƒ(x) 和 g(x) 在以 x 和 a 为 端点的区间[x, a]或[a, x]上满足柯西中值定理的条件, 故在 [x, a] 或 [a, x] 内至少存在一点 ξ , 使得
例1 解
33
不存在 事实上
35
36
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此例也同时说明了罗必达法则也有 “ 失效 ” 的时候. 当 则求极限. 注 罗必达法则是计算未定式极限的简便而有效的方法,但不是 万能工具.如(3)虽是未定式, 但不能使用罗必达法则 不存在, 也不为无穷大, 不能利用罗必达法
37
38
注 罗必达法则对其它极限过程有同样的结论.如 当 时的 型仍然可以使用罗必达法则.
二.
型的罗必达法则
定理 . 设函数 ƒ(x), g(x) 满足下列条件：
注.
39
40
例.求
41
42
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例.求
变得复杂
指数函数增长最快，幂函数次之，对数函数增长最慢
43
44
三.其它类型的未定式的定值法 型是所有未定式中两种最基本的形式;
未定式还有 其中 等型。 这两种类型的未定式可以直接转化为 型的未定式来计算：
例 .求 解 这是 原式 型，用洛必达法则有
解 这是 原式
型，用洛必达法则有
45
46
对于
型， 通分, 可采用化为
或
型。
解这是 型，先通分化简函数后，再用洛必达法则有
解这是 原式
型，先通分化简函数后，再用洛必达法则有
原式
47
48
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而
三种幂指函数的未定式, 可先利用 这个对数恒等式, 将其转化为 型,
再采用罗必达法则求极限.
49
50
例7 解 运用取对数法 .
泰勒中值定理
在微分应用中已知近似公式 :
x 的一次多项式
特点: 以
直代曲 如何提高精度 ? 如何估计误差 ?
需要解决的问题
泰勒中值定理
多项式对数值计算和理论分析都十分方便, 所以在研 究某些复杂函数时, 常常希望将它们表示为一个多项式. 假设ƒ(x)在 的领域 式 , 问题: 的系数应如何确定呢? 又为多少呢? 内能够表示为一个多项
下面对ƒ(x)分两种情形来讨论以上问题.
(1)若ƒ(x)为一个关于 x 的多项式, 即
因多项式函数具有任意阶的连续导数,则可对上式两边求 x 的 1 至 n 阶导数, 有
(1)多项式
(2)
53
54
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在上列各式中,令
, 则得
(2)若ƒ(x)不是多项式, 而是一个在 的某邻域
关于 x 的多项式
内具有
直到 (n+1) 阶导数的一般函数, 则我们可仿照上式构造一个 由 从而 并记ƒ(x)与 之误差为 从而有 去近 当 很小且在允许的误差范围之内时,就可用 似代替ƒ(x),即有
55
56
那么, 误差
如何确定呢? 内具 均有
理论证明可不讲.(证明提示)作辅助函数
定理4.(泰勒Taylor中值定理) 若函数ƒ(x)在 有直到 (n+1) 阶导数, 则
则F(t)在区间
上连续且可导,并有
则F(t)和G(t)满足柯西中值定理的条件, 故在
其中
令
57
58
间 至少存在一点ξ , 使得
注1.将
称为函数ƒ(x)在 而式 称为函数ƒ(x)在
处的 n 阶泰勒公式或泰勒展开式.
处的 n 阶泰勒多项式.
称为函数ƒ(x)在
处的 n 阶拉格朗日余项.
59
60
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注2.若ƒ(x)满足定理的条件, 则
,其误差可由 来估计.
注3.在泰勒公式中令 n = 0, 则又可得到拉格朗日公式
如果对于某个固定的 n ,当 式.
时,
, 则有估计
因此, 泰勒公式是拉格朗日公式的推广. 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
且 在不需要余项精确表达式时, n 阶泰勒公式可变为带有佩亚诺余项 的 n 阶泰勒公式
可见 误差
61
注4.在泰勒公式中令 即
则又可得到马克劳林
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(Maclaurin)公式 或马克劳林(Maclaurin)展开式.
其中
63
类似可得
其中
其中
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已知 类似可得
其中 其中
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
例1 解
误差
M为
需解问题的类型:
在包含 0 , x 的某区间上的上界. 三次多项式
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
例2
用近似公式
计算 cos x 的近似值,
2. 利用泰勒公式求极限 例3 求
用洛必塔法则 不方便 !
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
解: 用泰勒公式将分子展到
项, 由于
令 解得 即当 能准确到 0.005 . 时, 由给定的近似公式计算的结果
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3. 利用泰勒公式证明不等式 例4 证: 证明
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳
林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算 (2) 利用多项式逼近函数 , (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等.
泰勒多项式逼近
4 2
6
4
2 2 4
0
2
4
6
泰勒多项式逼近
§3.4.1 函数的单调性
单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要内容.它 既决定着函数递增和递减的状况, 又有助于我们研究函数 的极值、证明某些不等式、分析描绘函数的图形等.
一.函数的单调性
4 2
1.(第一章) 单调增加(或减少)函数的几何解释: 对应曲线是上升或下降的.
y y
6
4
2 2 4
0
2
4
6
y= ƒ(x)
y= ƒ(x) x
o
o
x
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y
y
定理 .(函数单调性的判定方法)
设y =ƒ(x)在区间[a, b]上连续, 在区间(a, b)内可导. 有
o
x
o
x
从上图可看出:当曲线为上升(或下降)时,其上各点切线与x轴 正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率 是非负(或非正)的. 即函数导数在区间保号,从而此函数在该区间内一定单调.
根据导数的几何意义知函数ƒ(x)单调增加(或减少)时,总有
可见函数的单调性与导数的符号有关. 反之, 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?
79 80
证
根据拉格朗日中值定理, 有
2. 定理7的结论对无穷区间也成立. 例
注1.研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 哪些区间内递减.由定理 , 对可导函数的单调性,可根据导 数的正负情况予以确定.
81
82
确定某个函数y=ƒ(x)的单调性的一般步骤是: (1) 确定函数定义域; (2) 求出 分定义域为多个子区间; (3) 确定 在各子区间内的符号, 从而定出 ƒ(x) 在各子 的点, 以这些点为分界点划
例1 求函数
解：定义域为 两个根, 将定义区间
的单调区间.
分成三个子区间 1 (1, 2) 2
列表讨论如下:
x +
ƒ (x ) 故
区间的单调性.
–
+
是ƒ(x)的递增区间. [1, 2] 是递减区间.
(端点可包括也可不包括)
83 84
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例2 讨论函数
解：定义域为
的单调性.
二.函数单调性的应用
利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程的根的存在性及其个数. 1.证明不等式: 例3证明不等式
列表讨论如下:
x +
ƒ(x)
故在
0
不存 在
–
+
内ƒ(x)是递增的. 在
内递减.
85 86
例4 解
87
例5. 证明 证: 令
时, 成立不等式
* 证明
令 则
且 证 从而
因此 从而
即
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2.讨论方程根的问题: 例6 设ƒ(x)在 内连续, ƒ(a) a 时,有
(其中k 为常数). 求证: 在 有且仅有一个实根. 内, 方程ƒ(x) = 0
y
曲线的凹凸性、拐点 定义
证 因当x >a时, 有
在区间
,则ƒ(x)在
y= ƒ(x)
内单调增加. 上应用拉格朗日中值定理, 得o
a
x
成立 , 则称曲线
在区间 I 上是凸的 ;
由介值定理知方程ƒ(x) = 0 在 内至少有一个实根. 故结论得证.
91
成立 , 则称曲线
在区间 I 上是
凹的 .
等价定义：曲线上任意一点的切线都在曲线的上（下）方， 曲线为凸（凹）函数。
定理
选讲
证
在运用该定理时要注意： 但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 .
例1 解
例2 解
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例3 解
2. 曲线拐点的定义及判别法
连续曲线上凸弧与凹弧度分界点 , 称为曲线的拐点.
只是使
的孤立点,
不是曲线凹凸性 的分界点.
定理 ( 判别拐点的必要条件 )
例4 解
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
拐点
拐点
内容小结
1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别
二、曲线的渐近线 水平渐近线
曲线的渐近线
垂直渐近线
+ –
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
斜渐近线
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水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
这里的极限可以是 这里的极限过程可以是 以上的极限实际是
斜渐近线证明
若
( P76 题14)
例1
斜渐近线
解
曲线无水平渐近线
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§3.5 函数的极值与最值
设函数 y = ƒ(x)在(a ‚ b)内图形如下图:
y M y= ƒ(x)
一.函数的极值
1.极值的定义 定义1 设 y =ƒ(x) 在邻域 , 则称
b
内有定义， 为函数ƒ(x)的极大值. 为函数ƒ(x)的极小值.
恒有
称为ƒ(x)的极大值点.
x
a
o
, 则称
m
称为ƒ(x)的极小值点. 比它附近各点的函数值都要小; 比它附近各点的函数值都要大; 将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点.
在 处的函数值 而在 处的函数值
但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者, 而且 将这样的点称为极小值点、极大值点.
109 110
问题:请指出右图中的极值及极值点. 2.极值与最值 由极值定义知: 极值是函数 的局部性态. 即只是函数在一个
a
y M y= ƒ(x)
3.驻点的定义 导数为零的点 (即方程
b
的实根), 称为函数ƒ(x)的驻点.
o
x
m
邻域内最大的值和最小的值,故它只可能在(a, b)的内点处取得. 而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间[a , b]的整 体性态, 不仅可在[a, b]的内点取得,也可在[a, b]的端点取得. 一个函数可能有若干个极小值或极大值.而且 处极小值却比 处的极大值还大. 但在定义区间内却最多只有一个最大最小值.
111
4. 极值的必要条件 定理1(极值的必要条件)设函数 y =ƒ(x) 在点 处可导.若 为极值点.(即 为极值). 则 为函数的驻点(即 证 设 为极值(不妨设为极大值),则必存在 的一个邻域 当 时有
)
注1.可导函数的极值点必是它的驻点. 几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是与 x 轴平行的.
112
注2. 对可导函数来说, 驻点不一定是极值点. 即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值. 如
y
寻求极值点的方法: 在导数为0的点或者是连续不可
导点中去寻找. 5.判定极值的第一充分条件
o x
定理2(判定极值的第一充分条件)设函数y =ƒ(x)在 内连续,在 (或 ) 内可导.
结论: 对于可微函数来讲“极值点一定是驻点, 但驻点却不一定 是极值点 ”.从而 其极值点必在其导数为0的那些点之中. 注3.函数y=|x|. 我们已知 x = 0是函数的连续不可导点.但x = 0 是函数的极小值点. 实际上, 连续不可导点也可能是极值点. 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.
y
y=|x|
o
x
证 由极值的定义及定理1可证.
113
114
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例1 求函数
的极值.
例2. 求函数 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 3) 列表判别 得
的极值 .
令
得
x + ƒ(x)
1 0 – 0 +
2 0 + 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为
115
故函数有极大值ƒ(1) = 0. 函数有极小值
当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时,也可用 下面定理来判定ƒ(x)在驻点处取得极大值还是极小值. 6.函数极值的第二充分条件
证
定理3.设函数 y = ƒ(x)在点
且 为函数的极值. 且 则
处的二阶导数存在, 若 是函数ƒ(x)的极值点;
117
118
例 3 求函数
的极值.
注：运用定理3求极值也有它的局限性.
因为若ƒ(x)在驻点 在 如 这三个函数在x = 0处就分别属于这三种情况. 从而当 时, 定理3失效, 只能改用定理2确定. 处的二阶导数 时, ƒ(x)
处可能有极大值, 也可能有极小值, 也可能没有极值.
故定理2比定理3更普遍.(只需点连续即可)
119
120
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例 4 求函数
的单调区间和极值.
二.函数的最值
在实际生活中常常遇到这样一类问题: 在一定条件下, 怎样使:“产品最省”“用料最省”“效率最低”等问题. 这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最 小值问题. 1.闭区间上连续函数的最大小值 由前知: 闭区间[a, b]上连续函数ƒ(x)的极值与最值是两个 不同的概念.由定义 1与第二章定理知, 此函数ƒ(x) 在 [a , b] 上 一定有最大值和最小值.
x
0
(1)如果最大值和最小值在区间的内部取得, 那么这个最大值
–
ƒ(x)
不存在 极小值
+
121
(或最小值)一定也是函数的极大值(或极小值). 从而
122
(i)对可微函数来讲, 极值点一定是驻点, 那么可微函数的最大 值点和最小值点在ƒ(x)的驻点之中; (ii)若遇到不可微的点, 也可能是极值点,故不可微点也可能是
最值点. (2) ƒ(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得. 因而可 用如下的方法求ƒ(x)在[a , b]上的最大值和最小值: (i)求出ƒ(x)的全部驻点 (ii)比较 上的最小值.
123
例 5 求函数
在[0, 3]上的最大值和最小值.
解 ƒ(x)在[0, 3]上连续, 且其导数为
从而函数 ƒ(x)的驻点为 x = 1, 不可导点为 x = 2和 x = 0. 计算这三个点与端点的函数值得 ƒ(0) = 0, ƒ(1) = 1
, ƒ(2) = 0, 比较这些函数值的大小,有maxƒ(x) = ƒ(3) =
以及连续不可导点 的大小
Min ƒ(x) = ƒ(0) = ƒ(2) = 0
其中最大的便是ƒ(x)在[a , b]上的最大值, 最小的便是ƒ(x)在[a , b]
注:若ƒ(x)在[a , b]上为单调函数,则其最值只能在端点上达到.
124
2. 实际问题中的最大(小)值 在解决实际问题时应注意两点：
例 6 求乘积为常数a >0, 而其和为最小的两个正数.
(1)若ƒ(x)在某区间内仅有一个可能极值点 ,则当 为极大(小)
值点时, 就是该函数在此区间上的最大(小)值;
解 设两个正数为x , y ( x >0, y > 0 ), 其和为s = x + y
则由x y = a 得 从而目标函数为 得驻点
(2)在实际问题中, 若由分析得知确实存在最大值或最小值, 而
所讨论的区间内仅有一个可能的极值点, 那么这个点的函数值 一定是最大值或最小值.
解决实际问题的步骤：
建立目标函数及其取值区间 求目标函数的最值.
当
时
当
时
所以, 乘积为常数a而和最小的两个正数为
125
和
.
126
21
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例 7. 设圆柱形有盖茶缸容积V为常数, 求表面积为最小时, 底半径 r 与高 h 之比.
解 设表面积为S,则目标函数为
注：介绍最值与极值在不等式证明中 的应用. 例8 证
h
r
127
128
内容小结
1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : (2) 第一充分条件 过 过 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 (4) 判别法的推广 由正变负 由负变正 为极大值 为极小值 使导数为0 或不存在的点
2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
1. 设
的导数存在 , 取得极大值 ; 的导数不存在. 提示: 利用极限的保号性 . 取得极小值; 则在点 a 处(
B
).
2. 设
在
的某邻域内连续, 且 则在点 处 D
3. 设 若 且
是方程 则 在
的一个解,
A
(A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:
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3.6函数图形的描绘 作函数图形的一般步骤如下：
(1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , 确定极值可疑点和拐点可疑点 . (3) 列表 , 确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点 . (4) 求曲线的渐近线 . (5) 作出函数的图形 .
例 解
拐点
极大
曲线无水平渐近线 .
内容小结
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 斜渐近线 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行
选讲第七节
平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
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一、 弧微分
设 弧长
在(a , b)
内有连续导数, 其图形为 AB, 或 若曲线由参数方程表示: 则弧长微分公式为 几何意义:
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 转角为 弧段 定义 上的平均曲率 对应切线
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 ,
点 M 处的曲率
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
曲率K 的计算公式
设曲线弧 二阶可导,
则由
说明: (1) 若曲线由参数方程 给出, 则
又 故曲率计算公式为 有曲率近似计算公式
(2) 若曲线方程为
则
24
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例2. 求椭圆 解: 故曲率为
在何处曲率最大?
计算驻点处的函数值:
设
K 最大
求驻点: 最小 这说明椭圆在点 最大. 从而 K 取最大值 . 处曲率
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点
设曲线方程为 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为
且
求曲线上点M 处的 的坐标公式 .
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
的凹向一侧法线上取点 D 使
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) ,
R 叫做曲率半径,
D 叫做 曲率中心.
满足方程组
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
由此可得曲率中心公式
内容小结
1. 弧长微分 2. 曲率公式 异号 ) 3. 曲率圆 曲率半径
或
(注意 当点 M (x , y) 沿曲线 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程(参数为 x ).
与
移动时, 相应的曲率中心
曲率中心
25
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选讲第八节 方程的近似解
一、根的隔离与二分法
两种情形
可求精确根 (有时计算很繁) 无法求精确根 求近似根
1. 求隔根区间的一般方法 (1) 作图法
本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形
三、一般迭代法 (补充)
可转化为 由图可见只有一个实根
2. 二分法
取中点
(2) 逐步收索法 以定步长 h 一步步向右 搜索,若 对新的隔根区间 重复以上步骤, 反复进行, 得
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h
则误差满足
二、牛顿切线法及其变形
牛顿切线法的基本思想: 程的近似根 . 记纵坐标与
用切线近似代替曲线弧求方
同号的端点为 其方程为 其中 可得近似根
在此点作切线 , 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 再在点 作切线 ,
有如下四种情况:
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :
称为牛顿迭代公式
26
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牛顿法的误差估计:
由微分中值定理得
牛顿法的变形: (1) 简化牛顿法
若用一常数代替 线代替切线, 即用平行 则得简化牛顿迭代公式. 得 则
得
说明: 用牛顿法时,
若过纵坐标与
异号的端点作
优点: 缺点: 逼近根的速度慢一些.
因而节省计算量.
切线 , 则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在
(2) 割线法
为避免求导运算 , 例如用差商 从而得迭代公式: 用割线代替切线, 代替
三. 一般迭代法
(补充) 在隔根区
按递推公式
①
则 即为原方程的根 . (双点割线法) ①称为迭代格式 , 初值 . 否则称为发散 .
特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法. 则为单点割线法, 逼近 说明: 若将上式中 根的速度与简化牛顿法相当.
迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关. 可以证明 下述定理:
内容小结
1. 隔根方法 作图法 二分法 二分法 牛顿切线法 2. 求近似根的方法 简化牛顿法 割线法 一般迭代法 …… 思考与练习
定理.
(证明略)
比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 .
27
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本章学习要求：
第三章 微分中值定理与导数的应用 费马定理
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰
微分中值定理
勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判 断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相 关最大、最小值的应用问题。
罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理
一. 费马定理
定理
证
从而当 时 时
费马定理的几何解释
从而当
二. 罗尔中值定理
定理
设
如何证明？
所以 则至少存在一点
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
1
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证
最小值至少各一次. 最小值至少各一次.
由费马定理可知：
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
在( a , b ) 内至少存在一点
使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例1 证
综上所述,
其中,
2
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例2 证
例3.设ƒ(x)在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导, 且 ƒ(a) = ƒ(b) = 0. 试证: 在(a , b)内至少存在一点ξ , 使得
证 则 F(x) 在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导, 且 F(a) = F(b) = 0, 即满足罗尔定理的条件. 则在(a , b)内至少存在一点ξ , 使得
14
三. 拉格朗日中值定理
定理
设
证
则由已知条件可得：
则至少存在一点
故由罗尔定理, 至少存在一点
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令 则
例4 证
推论:
若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 故 从而 由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
3
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例5 证
例6 证
四. 柯西中值定理
设
证
故 由罗尔中值定理至少存在一点 则至少存在一点 使得
亦即
至少存在一点
使
即
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
两个 不 一定相同
切线斜率
上面两式相比即得结论.
错!
注意:
4
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例
证 因 可改写为
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系 费马引理 拉格朗日中值定理
而
在[a , b]上满足柯西中值定理的条件.
罗尔定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
25
柯西中值定理
所以在(a , b)内至少存在一点ξ , 使得
故在(a , b)内方程至少存在一个根 ξ .
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
思考与练习 1. 填空题 1) 函数 在区
间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
2. 设 在一点 使
且在
内可导, 证明至少存
提示: 由结论可知, 只需证
条件, 则中值 2) 设 有 个根 , 它们分别在区间 方程 上.
即 设 验证 在 上满足罗尔定理条件.
3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
4. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
提示: 设 欲证: 只要证 亦即 作辅助函数 罗尔定理条件. 验证 在 上满足 使
即
当
时 问是否可由此得出
因此由上式得
不能 !
因为
是依赖于 x 的一个特殊的函数. 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
5
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§3.2 罗必达(L’Hospital)法则
在第二章中我们已经知道, 存在, 也可能不存在. 型的极限可能
一.
型的罗必达法则
定理 . 设函数ƒ(x), g(x)满足下列条件：
例: 求
通常称不能直接使用极限的四则运算法则来计算 的极限, 为未定式的极限. 下面利用柯西中值定理来推出一种求未定式极限的简便 而有效的法则 — 罗必达法则.
31
证 因求
与ƒ(a)及g(a)无关,
则可定义 ƒ(a) = g(a) = 0 从而 ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 处连续. 则由条件(1)、(2)可知,
32
ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 的邻域U(a, δ)内是连续可导的. 设x是该邻域内的一点, 则 ƒ(x) 和 g(x) 在以 x 和 a 为 端点的区间[x, a]或[a, x]上满足柯西中值定理的条件, 故在 [x, a] 或 [a, x] 内至少存在一点 ξ , 使得
例1 解
33
不存在 事实上
35
36
6
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此例也同时说明了罗必达法则也有 “ 失效 ” 的时候. 当 则求极限. 注 罗必达法则是计算未定式极限的简便而有效的方法,但不是 万能工具.如(3)虽是未定式, 但不能使用罗必达法则 不存在, 也不为无穷大, 不能利用罗必达法
37
38
注 罗必达法则对其它极限过程有同样的结论.如 当 时的 型仍然可以使用罗必达法则.
二.
型的罗必达法则
定理 . 设函数 ƒ(x), g(x) 满足下列条件：
注.
39
40
例.求
41
42
7
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例.求
变得复杂
指数函数增长最快，幂函数次之，对数函数增长最慢
43
44
三.其它类型的未定式的定值法 型是所有未定式中两种最基本的形式;
未定式还有 其中 等型。 这两种类型的未定式可以直接转化为 型的未定式来计算：
例 .求 解 这是 原式 型，用洛必达法则有
解 这是 原式
型，用洛必达法则有
45
46
对于
型， 通分, 可采用化为
或
型。
解这是 型，先通分化简函数后，再用洛必达法则有
解这是 原式
型，先通分化简函数后，再用洛必达法则有
原式
47
48
8
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而
三种幂指函数的未定式, 可先利用 这个对数恒等式, 将其转化为 型,
再采用罗必达法则求极限.
49
50
例7 解 运用取对数法 .
泰勒中值定理
在微分应用中已知近似公式 :
x 的一次多项式
特点: 以
直代曲 如何提高精度 ? 如何估计误差 ?
需要解决的问题
泰勒中值定理
多项式对数值计算和理论分析都十分方便, 所以在研 究某些复杂函数时, 常常希望将它们表示为一个多项式. 假设ƒ(x)在 的领域 式 , 问题: 的系数应如何确定呢? 又为多少呢? 内能够表示为一个多项
下面对ƒ(x)分两种情形来讨论以上问题.
(1)若ƒ(x)为一个关于 x 的多项式, 即
因多项式函数具有任意阶的连续导数,则可对上式两边求 x 的 1 至 n 阶导数, 有
(1)多项式
(2)
53
54
9
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在上列各式中,令
, 则得
(2)若ƒ(x)不是多项式, 而是一个在 的某邻域
关于 x 的多项式
内具有
直到 (n+1) 阶导数的一般函数, 则我们可仿照上式构造一个 由 从而 并记ƒ(x)与 之误差为 从而有 去近 当 很小且在允许的误差范围之内时,就可用 似代替ƒ(x),即有
55
56
那么, 误差
如何确定呢? 内具 均有
理论证明可不讲.(证明提示)作辅助函数
定理4.(泰勒Taylor中值定理) 若函数ƒ(x)在 有直到 (n+1) 阶导数, 则
则F(t)在区间
上连续且可导,并有
则F(t)和G(t)满足柯西中值定理的条件, 故在
其中
令
57
58
间 至少存在一点ξ , 使得
注1.将
称为函数ƒ(x)在 而式 称为函数ƒ(x)在
处的 n 阶泰勒公式或泰勒展开式.
处的 n 阶泰勒多项式.
称为函数ƒ(x)在
处的 n 阶拉格朗日余项.
59
60
10
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注2.若ƒ(x)满足定理的条件, 则
,其误差可由 来估计.
注3.在泰勒公式中令 n = 0, 则又可得到拉格朗日公式
如果对于某个固定的 n ,当 式.
时,
, 则有估计
因此, 泰勒公式是拉格朗日公式的推广. 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
且 在不需要余项精确表达式时, n 阶泰勒公式可变为带有佩亚诺余项 的 n 阶泰勒公式
可见 误差
61
注4.在泰勒公式中令 即
则又可得到马克劳林
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(Maclaurin)公式 或马克劳林(Maclaurin)展开式.
其中
63
类似可得
其中
其中
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已知 类似可得
其中 其中
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
例1 解
误差
M为
需解问题的类型:
在包含 0 , x 的某区间上的上界. 三次多项式
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
例2
用近似公式
计算 cos x 的近似值,
2. 利用泰勒公式求极限 例3 求
用洛必塔法则 不方便 !
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
解: 用泰勒公式将分子展到
项, 由于
令 解得 即当 能准确到 0.005 . 时, 由给定的近似公式计算的结果
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3. 利用泰勒公式证明不等式 例4 证: 证明
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳
林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算 (2) 利用多项式逼近函数 , (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等.
泰勒多项式逼近
4 2
6
4
2 2 4
0
2
4
6
泰勒多项式逼近
§3.4.1 函数的单调性
单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要内容.它 既决定着函数递增和递减的状况, 又有助于我们研究函数 的极值、证明某些不等式、分析描绘函数的图形等.
一.函数的单调性
4 2
1.(第一章) 单调增加(或减少)函数的几何解释: 对应曲线是上升或下降的.
y y
6
4
2 2 4
0
2
4
6
y= ƒ(x)
y= ƒ(x) x
o
o
x
78
13
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y
y
定理 .(函数单调性的判定方法)
设y =ƒ(x)在区间[a, b]上连续, 在区间(a, b)内可导. 有
o
x
o
x
从上图可看出:当曲线为上升(或下降)时,其上各点切线与x轴 正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率 是非负(或非正)的. 即函数导数在区间保号,从而此函数在该区间内一定单调.
根据导数的几何意义知函数ƒ(x)单调增加(或减少)时,总有
可见函数的单调性与导数的符号有关. 反之, 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?
79 80
证
根据拉格朗日中值定理, 有
2. 定理7的结论对无穷区间也成立. 例
注1.研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 哪些区间内递减.由定理 , 对可导函数的单调性,可根据导 数的正负情况予以确定.
81
82
确定某个函数y=ƒ(x)的单调性的一般步骤是: (1) 确定函数定义域; (2) 求出 分定义域为多个子区间; (3) 确定 在各子区间内的符号, 从而定出 ƒ(x) 在各子 的点, 以这些点为分界点划
例1 求函数
解：定义域为 两个根, 将定义区间
的单调区间.
分成三个子区间 1 (1, 2) 2
列表讨论如下:
x +
ƒ (x ) 故
区间的单调性.
–
+
是ƒ(x)的递增区间. [1, 2] 是递减区间.
(端点可包括也可不包括)
83 84
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例2 讨论函数
解：定义域为
的单调性.
二.函数单调性的应用
利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程的根的存在性及其个数. 1.证明不等式: 例3证明不等式
列表讨论如下:
x +
ƒ(x)
故在
0
不存 在
–
+
内ƒ(x)是递增的. 在
内递减.
85 86
例4 解
87
例5. 证明 证: 令
时, 成立不等式
* 证明
令 则
且 证 从而
因此 从而
即
15
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2.讨论方程根的问题: 例6 设ƒ(x)在 内连续, ƒ(a) a 时,有
(其中k 为常数). 求证: 在 有且仅有一个实根. 内, 方程ƒ(x) = 0
y
曲线的凹凸性、拐点 定义
证 因当x >a时, 有
在区间
,则ƒ(x)在
y= ƒ(x)
内单调增加. 上应用拉格朗日中值定理, 得o
a
x
成立 , 则称曲线
在区间 I 上是凸的 ;
由介值定理知方程ƒ(x) = 0 在 内至少有一个实根. 故结论得证.
91
成立 , 则称曲线
在区间 I 上是
凹的 .
等价定义：曲线上任意一点的切线都在曲线的上（下）方， 曲线为凸（凹）函数。
定理
选讲
证
在运用该定理时要注意： 但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 .
例1 解
例2 解
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例3 解
2. 曲线拐点的定义及判别法
连续曲线上凸弧与凹弧度分界点 , 称为曲线的拐点.
只是使
的孤立点,
不是曲线凹凸性 的分界点.
定理 ( 判别拐点的必要条件 )
例4 解
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
拐点
拐点
内容小结
1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别
二、曲线的渐近线 水平渐近线
曲线的渐近线
垂直渐近线
+ –
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
斜渐近线
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水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
这里的极限可以是 这里的极限过程可以是 以上的极限实际是
斜渐近线证明
若
( P76 题14)
例1
斜渐近线
解
曲线无水平渐近线
18
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§3.5 函数的极值与最值
设函数 y = ƒ(x)在(a ‚ b)内图形如下图:
y M y= ƒ(x)
一.函数的极值
1.极值的定义 定义1 设 y =ƒ(x) 在邻域 , 则称
b
内有定义， 为函数ƒ(x)的极大值. 为函数ƒ(x)的极小值.
恒有
称为ƒ(x)的极大值点.
x
a
o
, 则称
m
称为ƒ(x)的极小值点. 比它附近各点的函数值都要小; 比它附近各点的函数值都要大; 将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点.
在 处的函数值 而在 处的函数值
但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者, 而且 将这样的点称为极小值点、极大值点.
109 110
问题:请指出右图中的极值及极值点. 2.极值与最值 由极值定义知: 极值是函数 的局部性态. 即只是函数在一个
a
y M y= ƒ(x)
3.驻点的定义 导数为零的点 (即方程
b
的实根), 称为函数ƒ(x)的驻点.
o
x
m
邻域内最大的值和最小的值,故它只可能在(a, b)的内点处取得. 而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间[a , b]的整 体性态, 不仅可在[a, b]的内点取得,也可在[a, b]的端点取得. 一个函数可能有若干个极小值或极大值.而且 处极小值却比 处的极大值还大. 但在定义区间内却最多只有一个最大最小值.
111
4. 极值的必要条件 定理1(极值的必要条件)设函数 y =ƒ(x) 在点 处可导.若 为极值点.(即 为极值). 则 为函数的驻点(即 证 设 为极值(不妨设为极大值),则必存在 的一个邻域 当 时有
)
注1.可导函数的极值点必是它的驻点. 几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是与 x 轴平行的.
112
注2. 对可导函数来说, 驻点不一定是极值点. 即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值. 如
y
寻求极值点的方法: 在导数为0的点或者是连续不可
导点中去寻找. 5.判定极值的第一充分条件
o x
定理2(判定极值的第一充分条件)设函数y =ƒ(x)在 内连续,在 (或 ) 内可导.
结论: 对于可微函数来讲“极值点一定是驻点, 但驻点却不一定 是极值点 ”.从而 其极值点必在其导数为0的那些点之中. 注3.函数y=|x|. 我们已知 x = 0是函数的连续不可导点.但x = 0 是函数的极小值点. 实际上, 连续不可导点也可能是极值点. 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.
y
y=|x|
o
x
证 由极值的定义及定理1可证.
113
114
19
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例1 求函数
的极值.
例2. 求函数 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 3) 列表判别 得
的极值 .
令
得
x + ƒ(x)
1 0 – 0 +
2 0 + 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为
115
故函数有极大值ƒ(1) = 0. 函数有极小值
当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时,也可用 下面定理来判定ƒ(x)在驻点处取得极大值还是极小值. 6.函数极值的第二充分条件
证
定理3.设函数 y = ƒ(x)在点
且 为函数的极值. 且 则
处的二阶导数存在, 若 是函数ƒ(x)的极值点;
117
118
例 3 求函数
的极值.
注：运用定理3求极值也有它的局限性.
因为若ƒ(x)在驻点 在 如 这三个函数在x = 0处就分别属于这三种情况. 从而当 时, 定理3失效, 只能改用定理2确定. 处的二阶导数 时, ƒ(x)
处可能有极大值, 也可能有极小值, 也可能没有极值.
故定理2比定理3更普遍.(只需点连续即可)
119
120
20
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例 4 求函数
的单调区间和极值.
二.函数的最值
在实际生活中常常遇到这样一类问题: 在一定条件下, 怎样使:“产品最省”“用料最省”“效率最低”等问题. 这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最 小值问题. 1.闭区间上连续函数的最大小值 由前知: 闭区间[a, b]上连续函数ƒ(x)的极值与最值是两个 不同的概念.由定义 1与第二章定理知, 此函数ƒ(x) 在 [a , b] 上 一定有最大值和最小值.
x
0
(1)如果最大值和最小值在区间的内部取得, 那么这个最大值
–
ƒ(x)
不存在 极小值
+
121
(或最小值)一定也是函数的极大值(或极小值). 从而
122
(i)对可微函数来讲, 极值点一定是驻点, 那么可微函数的最大 值点和最小值点在ƒ(x)的驻点之中; (ii)若遇到不可微的点, 也可能是极值点,故不可微点也可能是
最值点. (2) ƒ(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得. 因而可 用如下的方法求ƒ(x)在[a , b]上的最大值和最小值: (i)求出ƒ(x)的全部驻点 (ii)比较 上的最小值.
123
例 5 求函数
在[0, 3]上的最大值和最小值.
解 ƒ(x)在[0, 3]上连续, 且其导数为
从而函数 ƒ(x)的驻点为 x = 1, 不可导点为 x = 2和 x = 0. 计算这三个点与端点的函数值得 ƒ(0) = 0, ƒ(1) = 1
, ƒ(2) = 0, 比较这些函数值的大小,有maxƒ(x) = ƒ(3) =
以及连续不可导点 的大小
Min ƒ(x) = ƒ(0) = ƒ(2) = 0
其中最大的便是ƒ(x)在[a , b]上的最大值, 最小的便是ƒ(x)在[a , b]
注:若ƒ(x)在[a , b]上为单调函数,则其最值只能在端点上达到.
124
2. 实际问题中的最大(小)值 在解决实际问题时应注意两点：
例 6 求乘积为常数a >0, 而其和为最小的两个正数.
(1)若ƒ(x)在某区间内仅有一个可能极值点 ,则当 为极大(小)
值点时, 就是该函数在此区间上的最大(小)值;
解 设两个正数为x , y ( x >0, y > 0 ), 其和为s = x + y
则由x y = a 得 从而目标函数为 得驻点
(2)在实际问题中, 若由分析得知确实存在最大值或最小值, 而
所讨论的区间内仅有一个可能的极值点, 那么这个点的函数值 一定是最大值或最小值.
解决实际问题的步骤：
建立目标函数及其取值区间 求目标函数的最值.
当
时
当
时
所以, 乘积为常数a而和最小的两个正数为
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和
.
126
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例 7. 设圆柱形有盖茶缸容积V为常数, 求表面积为最小时, 底半径 r 与高 h 之比.
解 设表面积为S,则目标函数为
注：介绍最值与极值在不等式证明中 的应用. 例8 证
h
r
127
128
内容小结
1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : (2) 第一充分条件 过 过 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 (4) 判别法的推广 由正变负 由负变正 为极大值 为极小值 使导数为0 或不存在的点
2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
1. 设
的导数存在 , 取得极大值 ; 的导数不存在. 提示: 利用极限的保号性 . 取得极小值; 则在点 a 处(
B
).
2. 设
在
的某邻域内连续, 且 则在点 处 D
3. 设 若 且
是方程 则 在
的一个解,
A
(A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:
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3.6函数图形的描绘 作函数图形的一般步骤如下：
(1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , 确定极值可疑点和拐点可疑点 . (3) 列表 , 确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点 . (4) 求曲线的渐近线 . (5) 作出函数的图形 .
例 解
拐点
极大
曲线无水平渐近线 .
内容小结
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 斜渐近线 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行
选讲第七节
平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
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一、 弧微分
设 弧长
在(a , b)
内有连续导数, 其图形为 AB, 或 若曲线由参数方程表示: 则弧长微分公式为 几何意义:
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 转角为 弧段 定义 上的平均曲率 对应切线
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 ,
点 M 处的曲率
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
曲率K 的计算公式
设曲线弧 二阶可导,
则由
说明: (1) 若曲线由参数方程 给出, 则
又 故曲率计算公式为 有曲率近似计算公式
(2) 若曲线方程为
则
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例2. 求椭圆 解: 故曲率为
在何处曲率最大?
计算驻点处的函数值:
设
K 最大
求驻点: 最小 这说明椭圆在点 最大. 从而 K 取最大值 . 处曲率
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点
设曲线方程为 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为
且
求曲线上点M 处的 的坐标公式 .
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
的凹向一侧法线上取点 D 使
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) ,
R 叫做曲率半径,
D 叫做 曲率中心.
满足方程组
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
由此可得曲率中心公式
内容小结
1. 弧长微分 2. 曲率公式 异号 ) 3. 曲率圆 曲率半径
或
(注意 当点 M (x , y) 沿曲线 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程(参数为 x ).
与
移动时, 相应的曲率中心
曲率中心
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选讲第八节 方程的近似解
一、根的隔离与二分法
两种情形
可求精确根 (有时计算很繁) 无法求精确根 求近似根
1. 求隔根区间的一般方法 (1) 作图法
本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形
三、一般迭代法 (补充)
可转化为 由图可见只有一个实根
2. 二分法
取中点
(2) 逐步收索法 以定步长 h 一步步向右 搜索,若 对新的隔根区间 重复以上步骤, 反复进行, 得
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h
则误差满足
二、牛顿切线法及其变形
牛顿切线法的基本思想: 程的近似根 . 记纵坐标与
用切线近似代替曲线弧求方
同号的端点为 其方程为 其中 可得近似根
在此点作切线 , 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 再在点 作切线 ,
有如下四种情况:
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :
称为牛顿迭代公式
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牛顿法的误差估计:
由微分中值定理得
牛顿法的变形: (1) 简化牛顿法
若用一常数代替 线代替切线, 即用平行 则得简化牛顿迭代公式. 得 则
得
说明: 用牛顿法时,
若过纵坐标与
异号的端点作
优点: 缺点: 逼近根的速度慢一些.
因而节省计算量.
切线 , 则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在
(2) 割线法
为避免求导运算 , 例如用差商 从而得迭代公式: 用割线代替切线, 代替
三. 一般迭代法
(补充) 在隔根区
按递推公式
①
则 即为原方程的根 . (双点割线法) ①称为迭代格式 , 初值 . 否则称为发散 .
特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法. 则为单点割线法, 逼近 说明: 若将上式中 根的速度与简化牛顿法相当.
迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关. 可以证明 下述定理:
内容小结
1. 隔根方法 作图法 二分法 二分法 牛顿切线法 2. 求近似根的方法 简化牛顿法 割线法 一般迭代法 …… 思考与练习
定理.
(证明略)
比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 .
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