科技创新导报2009 NO.30
T ech nol o gy I nno vat i on Her a l d
学 术 论 坛
反常积分的计算
王艳妮
(西安航空职业技术学院 陕西西安 710089)
摘 要:在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 问题之一是考虑无穷区间上的积分。本文讨论了反常积分的牛顿——莱布尼兹公式, 换元积分法, 以及收敛的判别方法。关键词:反常积分 数学分析 换元法中图分类号:G64文献标识码:Ａ文章编号:1674-098X(2009)10(c)-0178-01
Abstrack: There are two most basic restrictions while discussing the improper integral,definitely in the finite interval in improper integral and boundedness of quilt function. Need and break throught these limit,consider infinite improper integral that block pay often among a lot of practical problem.This test provides the definition of the improper integral mainly,has discussed its algorithm, and the discrimination methed to disappear.
Key Words: Improper Integral; Mathematical Analysis; Method of Substitusion
1 计算方法
1. 1牛顿——莱布尼兹公式法
定理1 设F(x)是f(x)在[a , +∞) 的一个原函数(即当 a
+∞
当p ≠1有
∫
a
(x −a ) 1−p b
(b −a ) 1−p
|a =, =1−p 1−p
例如证明瑕积分
∫
1
11
sin d x 当 α＜x αx
1
, 可将t
≤x
且极限lim F (x ) =F (+∞) 存在极限, 则
x →+∞
(p＜1); ∫a
=+∞,(p＞1) 故, ∫a 2时收敛。可以通过置换x =
1
∫∫
a +∞
f (x ) d x 收敛, 且有公式
f (x ) d x =F (+∞) −F (a ) =F (x ) |+∞
a
当p ＜1时收敛,p ≥1时发散。1. 2换元积分法
定理2 设f(x)在[a , b ]上连续, 做代换
a
(1)
换句话说, 对于无穷积分, 牛顿——莱布尼兹公式依然成立。
牛顿——莱布尼兹公式对于瑕积分也类似地成立,
x =ϕ(t ) , 其中ϕ(t ) 在闭区间[α, β]上有连续导数ϕ′(t ) , 当α≤t ≤β时, a ≤ϕ(t ) ≤b ,
且
11sin ∫0x αx d x 化为无穷积分, 即:
+∞sin t 111
=sin d x ∫1t 2−α由前面可知, 当∫0x αx
因2−α＞0时, 上式最末的无穷积分收敛。而瑕积分
ϕ(α) =a , ϕ(β) =b ,
则
∫
b
a
(3)f (x ) d t =∫f [(ϕ(t )]ϕ′(t ) d
α
β
∫
+∞
a
f (x ) d x =F (x ) |b
a (2)
例如:计算积分设
I =∫
+∞
其中, 若a 为瑕点, 则
F (x ) |代表
b a
F (b ) −F (a +0) , F (a +0) 代表极限(假定它存在); 若b 为瑕点, 则
lim F (x )
x →a +
代表F (x ) |b a
1
(a =0, b =0, α=+∞, β=0) , 则t +∞I =∫可化成, 所以I; 现在只要引01+x 4
x =
π22
dx
可以假
1+x ∫
1
11sin d x 也收敛。x αx
参考文献
[1]程其襄. 数学分析[M].高等教育出版
社. 第2版.
[2]程其襄. 数学分析[M].高等教育出版
社. 第3版.
[3]郭大钧, 陈玉妹, 裘卓明. 数学分析[M].
山东科学技术出版社.1982.
[4]沐定夷. 数学分析[M].上海交通大学出
版社.1993.
[5]龚怀云. 数学分析[M].上海交通大学出
版社.2000.
极限F (b −0) −F (a ) , F (b -0代表极限lim F (x ) (假定它存在) 。
x →b
−
用替换, 就可得I=
例如可以判断瑕积分敛, 当p ＝1时, 有（上接177页）
∫
是否收
2 收敛的判别
定理:(阿贝尔判别法) 若
∫
b
a
d x
=+∞(x −a )
∫
+∞
a
f (x ) 收敛,g(x)在[a , +∞) 上单调有界, 则科研态度水平和从事科学研究的能力。但也
并非“知识渊博, 就能教好课”, 教学方法与策略是保证教学质量的关键因素。
高校应为青年教师提供更多展示自己的机会, 例如举办先进教师科研专题讲座, 汇报他们的科研成果及科研方法。开放的环境和氛围也有助于知识的丰富和教学能力的提高, 高校可以组织青年教师外出培训、观摩学习、加强与优秀院校之间的交流。安徽医科大学鼓励、支持青年教师进一步攻读硕士、博士研究生, 开展青年教师教学基本功大赛, 通过竞赛的方式, 强化青年教师教学基本功训练, 提高教学水平。
力、语言表达能力、教学反思能力, 而且要不断完善知识结构, 保持工作热情, 形成独特的教学风格, 努力在人民教师这一平凡的岗位上展现风采、实现人生价值。
管理学院组织与人力资源研究所和新浪教育频道对近9000名高校教师进行压力和心理健康调查, 结果显示82.2%的教师感觉压力大, 有49.70%的被调查教师有较明显的情绪衰竭, 有64.40%的被调查教师的工作满意度比较低[5]。高校应完善青年教师奖励制度, 这不仅能改善青年教师的生活条件, 而且激励青年教师不断进取, 促进青年教师全心全意投入教学、科研活动, 也是青年教师专心从事教学、科学研究的保障。3. 2教学与科研
目前绝大多数高校都在向教学科研型或综合型大学转变, 与科研能力相比, 高校往往轻视或忽视了教学能力。从长期职业发展上来讲, 青年教师既要不断提高教学能力, 也要积极参加科研项目, 掌握科学研究的方法, 培养严谨的态度, 奋斗的精神和坚定的毅力, 将新成果反映在教学内容中, 培养学生的
参考文献
[1]h t t p ://w w w. m o e. e d u. c n [2]薛天祥．高等教育学[M]．桂林:广西师
范大学出版社,2001．
[3]姚本先, 江立成, 何更生. 高等教育心理
学[M].合肥工业大学出版社,2008,8. [4]杨震, 张金隆. 高校青年教师人力资源
现状的个案调查与分析研究[J].经济师,2005(03).
[5]h t t p ://w w w. x i c i. n e t /b 568260/
d49015527.htm. [6]栾野梅，等. 加强高校教师素质建设是
提高大学生素质教育质量的关键[J]．科技创新导报,2007，31：150.
4 结语
青年教师的自我学习是根本途径, 高
校的培养是保障。青年教师不仅要通过自主学习提升对教学任务的认知能力、教案的设计能力、课堂教学活动的组织管理能
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学 术 论 坛
反常积分的计算
王艳妮
(西安航空职业技术学院 陕西西安 710089)
摘 要:在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 问题之一是考虑无穷区间上的积分。本文讨论了反常积分的牛顿——莱布尼兹公式, 换元积分法, 以及收敛的判别方法。关键词:反常积分 数学分析 换元法中图分类号:G64文献标识码:Ａ文章编号:1674-098X(2009)10(c)-0178-01
Abstrack: There are two most basic restrictions while discussing the improper integral,definitely in the finite interval in improper integral and boundedness of quilt function. Need and break throught these limit,consider infinite improper integral that block pay often among a lot of practical problem.This test provides the definition of the improper integral mainly,has discussed its algorithm, and the discrimination methed to disappear.
Key Words: Improper Integral; Mathematical Analysis; Method of Substitusion
1 计算方法
1. 1牛顿——莱布尼兹公式法
定理1 设F(x)是f(x)在[a , +∞) 的一个原函数(即当 a
+∞
当p ≠1有
∫
a
(x −a ) 1−p b
(b −a ) 1−p
|a =, =1−p 1−p
例如证明瑕积分
∫
1
11
sin d x 当 α＜x αx
1
, 可将t
≤x
且极限lim F (x ) =F (+∞) 存在极限, 则
x →+∞
(p＜1); ∫a
=+∞,(p＞1) 故, ∫a 2时收敛。可以通过置换x =
1
∫∫
a +∞
f (x ) d x 收敛, 且有公式
f (x ) d x =F (+∞) −F (a ) =F (x ) |+∞
a
当p ＜1时收敛,p ≥1时发散。1. 2换元积分法
定理2 设f(x)在[a , b ]上连续, 做代换
a
(1)
换句话说, 对于无穷积分, 牛顿——莱布尼兹公式依然成立。
牛顿——莱布尼兹公式对于瑕积分也类似地成立,
x =ϕ(t ) , 其中ϕ(t ) 在闭区间[α, β]上有连续导数ϕ′(t ) , 当α≤t ≤β时, a ≤ϕ(t ) ≤b ,
且
11sin ∫0x αx d x 化为无穷积分, 即:
+∞sin t 111
=sin d x ∫1t 2−α由前面可知, 当∫0x αx
因2−α＞0时, 上式最末的无穷积分收敛。而瑕积分
ϕ(α) =a , ϕ(β) =b ,
则
∫
b
a
(3)f (x ) d t =∫f [(ϕ(t )]ϕ′(t ) d
α
β
∫
+∞
a
f (x ) d x =F (x ) |b
a (2)
例如:计算积分设
I =∫
+∞
其中, 若a 为瑕点, 则
F (x ) |代表
b a
F (b ) −F (a +0) , F (a +0) 代表极限(假定它存在); 若b 为瑕点, 则
lim F (x )
x →a +
代表F (x ) |b a
1
(a =0, b =0, α=+∞, β=0) , 则t +∞I =∫可化成, 所以I; 现在只要引01+x 4
x =
π22
dx
可以假
1+x ∫
1
11sin d x 也收敛。x αx
参考文献
[1]程其襄. 数学分析[M].高等教育出版
社. 第2版.
[2]程其襄. 数学分析[M].高等教育出版
社. 第3版.
[3]郭大钧, 陈玉妹, 裘卓明. 数学分析[M].
山东科学技术出版社.1982.
[4]沐定夷. 数学分析[M].上海交通大学出
版社.1993.
[5]龚怀云. 数学分析[M].上海交通大学出
版社.2000.
极限F (b −0) −F (a ) , F (b -0代表极限lim F (x ) (假定它存在) 。
x →b
−
用替换, 就可得I=
例如可以判断瑕积分敛, 当p ＝1时, 有（上接177页）
∫
是否收
2 收敛的判别
定理:(阿贝尔判别法) 若
∫
b
a
d x
=+∞(x −a )
∫
+∞
a
f (x ) 收敛,g(x)在[a , +∞) 上单调有界, 则科研态度水平和从事科学研究的能力。但也
并非“知识渊博, 就能教好课”, 教学方法与策略是保证教学质量的关键因素。
高校应为青年教师提供更多展示自己的机会, 例如举办先进教师科研专题讲座, 汇报他们的科研成果及科研方法。开放的环境和氛围也有助于知识的丰富和教学能力的提高, 高校可以组织青年教师外出培训、观摩学习、加强与优秀院校之间的交流。安徽医科大学鼓励、支持青年教师进一步攻读硕士、博士研究生, 开展青年教师教学基本功大赛, 通过竞赛的方式, 强化青年教师教学基本功训练, 提高教学水平。
力、语言表达能力、教学反思能力, 而且要不断完善知识结构, 保持工作热情, 形成独特的教学风格, 努力在人民教师这一平凡的岗位上展现风采、实现人生价值。
管理学院组织与人力资源研究所和新浪教育频道对近9000名高校教师进行压力和心理健康调查, 结果显示82.2%的教师感觉压力大, 有49.70%的被调查教师有较明显的情绪衰竭, 有64.40%的被调查教师的工作满意度比较低[5]。高校应完善青年教师奖励制度, 这不仅能改善青年教师的生活条件, 而且激励青年教师不断进取, 促进青年教师全心全意投入教学、科研活动, 也是青年教师专心从事教学、科学研究的保障。3. 2教学与科研
目前绝大多数高校都在向教学科研型或综合型大学转变, 与科研能力相比, 高校往往轻视或忽视了教学能力。从长期职业发展上来讲, 青年教师既要不断提高教学能力, 也要积极参加科研项目, 掌握科学研究的方法, 培养严谨的态度, 奋斗的精神和坚定的毅力, 将新成果反映在教学内容中, 培养学生的
参考文献
[1]h t t p ://w w w. m o e. e d u. c n [2]薛天祥．高等教育学[M]．桂林:广西师
范大学出版社,2001．
[3]姚本先, 江立成, 何更生. 高等教育心理
学[M].合肥工业大学出版社,2008,8. [4]杨震, 张金隆. 高校青年教师人力资源
现状的个案调查与分析研究[J].经济师,2005(03).
[5]h t t p ://w w w. x i c i. n e t /b 568260/
d49015527.htm. [6]栾野梅，等. 加强高校教师素质建设是
提高大学生素质教育质量的关键[J]．科技创新导报,2007，31：150.
4 结语
青年教师的自我学习是根本途径, 高
校的培养是保障。青年教师不仅要通过自主学习提升对教学任务的认知能力、教案的设计能力、课堂教学活动的组织管理能
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