二次函数的常见题型
朝阳区特级教师丁益祥工作室 周明芝
二次函数是高中数学的重要内容，在高考中所占比例很大．它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
例1．二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
解法1：∵抛物线顶点为（4，－3）且过点（1，0） ∴有方程组：
1⎧b ⎧
-=4a =⎪2a ⎪3⎪⎪
8⎪4ac -b 2⎪
=-3 解得： ⎨b =- ⎨
4a 3⎪⎪
7⎪0=a +b +c ⎪c =
⎪⎪3⎩⎩
解法2：∵抛物线与x 轴两个交点的坐标分别是（1，0）和（7，0） ∴设二次函数解析式为y ＝a(x－1)(x－7)
把顶点（4，-3）代入得 －3＝a(4－1) （4－7）， 解得：a= ∴y ＝
13
13
（x －1）（x －7） 即y ＝
13
x －
2
83
x ＋
73
解法3：物线的顶点为（4，－3）且过点（1，0）
2
∴设y ＝a(x－4) －3
将（1，0）代入得0＝a(1－4) －3, 解得 a＝ ∴y ＝
13
2
13
(x－4) －3 即y ＝
2
13
x －13
2
83
2
x ＋83
73
73
∴ 所求二次函数解析式为：y ＝x －x ＋
点评：因为二次函数当x ＝4时有最小值－3，所以顶点坐标为（4，－3），对称轴为直线x ＝4，抛物线开口向上。由于图象与x 轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x 轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。此题可用一般式解，也可以用双根式或顶点式或顶点坐标公式来解。 例2．如图，二次函数y =ax +bx +c 的图象开口向上，图象经过点(－1，2) 和(1，0) ，且与y 轴相交于负半轴．
给出四个结论：① abc 0；③ a +c =1； ④a >1．其中正确结论的序号是 ．
解：由图象可知：a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0； ∵对称轴x ＝-
b 2a
2
在(1，0) 的左侧，∴-
b 2a
＜1，∴2a +b >0；
⎧a -b +c =2
∵图象过点(－1，2) 和(1，0) ，∴⎨，∴a +c =1，b ＝－1；
a +b +c =0⎩
∴a ＝1－c ＞1.
∴正确的序号为：②③④． 点评：函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用. 本题通过形(图象及其位置
)
的条件得出数(相等和不等关系) 的结论. 在复习总要加强这种思想方法的渗透.
例3．已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的图象与直线y =25有公共点，且不等式ax 2+bx +c >0的解是－
12
＜x ＜
13
，求a 、b 、c 的取值范围.
2
解：依题意ax 2+bx +c =0有解，故Δ=b －4a （c －25）≥0. 又不等式ax 2+bx +c >0的解是－
12
＜
x ＜，
3
1
∴a ＜0且有－∴b =
16
b a 16
=－
16
，
c a
=－
16
.
a ，c =－a .
2
∴b =－c ，代入Δ≥0得c +24c （c －25）≥0.
∴c ≥24. 故得a 、b 、c 的取值范围为a ≤－144，b ≤－24，c ≥24.
点评：二次方程ax 2+bx +c =0，二次不等式ax 2+bx +c >0（或＜0）与二次函数y =ax +bx +c 的图
2
象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.
例4已知函数f (x ) =x 2-(2a -1) x +a 2-2与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围
⎧f (0)>0⎪
9⎪-(2a -1)
解：由题知f (0)≤0或⎨- >0，得≤a ≤
24⎪
⎪⎩
∆≥0
点评：此题属于利用y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象和性质，讨论解决二次方程ax 2+bx +c =0实根分布的问题。其方法可概括为：首先根据题设画出有关抛物线，然后写出问题成立的不等式（组）再解之。在分析时要抓住四点：开口方向、判别式∆、对称轴与区间的相对位置和区间端点函数值的正负。
2
二次函数的常见题型
朝阳区特级教师丁益祥工作室 周明芝
二次函数是高中数学的重要内容，在高考中所占比例很大．它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
例1．二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
解法1：∵抛物线顶点为（4，－3）且过点（1，0） ∴有方程组：
1⎧b ⎧
-=4a =⎪2a ⎪3⎪⎪
8⎪4ac -b 2⎪
=-3 解得： ⎨b =- ⎨
4a 3⎪⎪
7⎪0=a +b +c ⎪c =
⎪⎪3⎩⎩
解法2：∵抛物线与x 轴两个交点的坐标分别是（1，0）和（7，0） ∴设二次函数解析式为y ＝a(x－1)(x－7)
把顶点（4，-3）代入得 －3＝a(4－1) （4－7）， 解得：a= ∴y ＝
13
13
（x －1）（x －7） 即y ＝
13
x －
2
83
x ＋
73
解法3：物线的顶点为（4，－3）且过点（1，0）
2
∴设y ＝a(x－4) －3
将（1，0）代入得0＝a(1－4) －3, 解得 a＝ ∴y ＝
13
2
13
(x－4) －3 即y ＝
2
13
x －13
2
83
2
x ＋83
73
73
∴ 所求二次函数解析式为：y ＝x －x ＋
点评：因为二次函数当x ＝4时有最小值－3，所以顶点坐标为（4，－3），对称轴为直线x ＝4，抛物线开口向上。由于图象与x 轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x 轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。此题可用一般式解，也可以用双根式或顶点式或顶点坐标公式来解。 例2．如图，二次函数y =ax +bx +c 的图象开口向上，图象经过点(－1，2) 和(1，0) ，且与y 轴相交于负半轴．
给出四个结论：① abc 0；③ a +c =1； ④a >1．其中正确结论的序号是 ．
解：由图象可知：a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0； ∵对称轴x ＝-
b 2a
2
在(1，0) 的左侧，∴-
b 2a
＜1，∴2a +b >0；
⎧a -b +c =2
∵图象过点(－1，2) 和(1，0) ，∴⎨，∴a +c =1，b ＝－1；
a +b +c =0⎩
∴a ＝1－c ＞1.
∴正确的序号为：②③④． 点评：函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用. 本题通过形(图象及其位置
)
的条件得出数(相等和不等关系) 的结论. 在复习总要加强这种思想方法的渗透.
例3．已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的图象与直线y =25有公共点，且不等式ax 2+bx +c >0的解是－
12
＜x ＜
13
，求a 、b 、c 的取值范围.
2
解：依题意ax 2+bx +c =0有解，故Δ=b －4a （c －25）≥0. 又不等式ax 2+bx +c >0的解是－
12
＜
x ＜，
3
1
∴a ＜0且有－∴b =
16
b a 16
=－
16
，
c a
=－
16
.
a ，c =－a .
2
∴b =－c ，代入Δ≥0得c +24c （c －25）≥0.
∴c ≥24. 故得a 、b 、c 的取值范围为a ≤－144，b ≤－24，c ≥24.
点评：二次方程ax 2+bx +c =0，二次不等式ax 2+bx +c >0（或＜0）与二次函数y =ax +bx +c 的图
2
象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.
例4已知函数f (x ) =x 2-(2a -1) x +a 2-2与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围
⎧f (0)>0⎪
9⎪-(2a -1)
解：由题知f (0)≤0或⎨- >0，得≤a ≤
24⎪
⎪⎩
∆≥0
点评：此题属于利用y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象和性质，讨论解决二次方程ax 2+bx +c =0实根分布的问题。其方法可概括为：首先根据题设画出有关抛物线，然后写出问题成立的不等式（组）再解之。在分析时要抓住四点：开口方向、判别式∆、对称轴与区间的相对位置和区间端点函数值的正负。
2