A题:济南旅游景点排名及一日游路线设计

一、问题的重述

济南是举世闻名的“泉城”，既有老舍先生笔下冬天的“温晴”，又有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美景，还有“大明湖畔夏雨荷”的缠绵。但济南却往往扮演着旅游“中转站”的角色，珠三角和长三角地区报的山东旅游线路，基本上是曲阜、泰山、青岛。广东的七日游中也几乎没有济南，最多在济南下飞机，直接奔泰安、曲阜。

1、请阅读材料，并查阅相关材料，分析出现问题的原因。 http://www.sd.xinhuanet.com/news/2010-10/10/content_21087888.htm《济南旅游业已边缘化?沦为青岛泰安等地中转站》 http://www.sdetn.gov.cn/cyzcc/hyzr/webinfo/2011/06/[**************]0.htm《济南旅游感受高铁脉动 泉文化吸引外地游客》

2、济南的旅游景点非常多，现在给出9个景点：趵突泉、大明湖、五龙潭，千佛山，泉城公园，泉城广场，芙蓉街、曲水亭街、王府池子。请自定标准，查阅相关数据，对这9个景点进行排名。

3、假如一个外地游客早上6点在火车站下车，晚上8点坐火车离开济南，请为他设计一条“济南一日游”线路，并给出设计理由。

二、问题的假设

1、假设查阅的数据基本符合事实。

2、假设各景点间的路费及各景点的门票长期基本保持不变。

3、假设中途不发生堵车等交通事故及恶劣天气等影响行程。

4、在限定的时间内，游客最终要返回火车站，并且假设火车站是肯定要去的一个旅游景点。

三、符号与说明

i，j——第i个或第j个景点， i，j=1，2，„„，10；

分别表示火车站、趵突泉、大明湖、五龙潭，千佛山，泉城公园，泉城广场，

芙蓉街、曲水亭街、王府池子

m——每个游客的旅游总花费；

m1——每个游客的交通总费用；

m2——每个游客的旅游景点的花费；

ti——每个游客在第i个景点的逗留时间；

ci——每个游客在i个景点的总消费；

tij——从第i个景点到第j个景点路途中所需时间；

cij——从第i个景点到第j个景点所需的交通费用；

1游客直接从第rij

0i个景点到达第其他j个景点

四、问题的分析与建模准备

问题一：出现这种现象的主要原因：

1、城市功能定位不准确，人文环境整治不力；

2、交通拥挤，相应服务配套欠缺，没有旅游城市应该拥有的干净整洁的市容；

3、景点特色单一，没有良好的软件设施，大型现代娱乐产品短缺，没有完备

的旅游产品吸引外地游客；

4、城市的“活字典”——导游，尤其是外语存在缺口。

问题二：要对景点排名，可以随机统计100名代表对各景点的旅游意向。如下表一：

从上面的数据分析可知，持“无所谓”态度的代表大约占60%——70%，持“去”

态度的代表大约占10%——28%，持“不去”态度代表大约占12%——22%。“无

所谓”是指可能去也可能不去，我们假设去与不去的可能性相同，即可得到如

下排名（由高到低）：趵突泉、大明湖、千佛山、泉城广场、泉城公园、芙蓉

街、五龙潭、王府池子、曲水亭街。

采用层次分析的方法，根据统计数据，选取4个决策准则为9个旅游地点，进

行排名。这4个决策准则分别为：C1 景色，C2 费用，C3 交通，C4 饮食。

问题三：旅行中要考虑的因素很多，我们要追求的目标是在规定的时间内花费最少但

能旅游的景点最多，所以我们在进行问题分析前做了假设，假设不考虑旅游

中发生的一切意外，即旅游按照所设计的路程顺利进行，在旅途中不考虑阴

雨天气给旅游时间滞留带来的麻烦，并且把因为去旅游人员的多少带来门票

打折的因素忽略了，在此基础上，我们通过0—1规划方法，分析并写出了

目标函数，同时对假设中涉及到的问题进行约束，这样寻找不同景点数时的

最优旅游路线，并对路线进行简单分析，最终得到最优的旅游线路。

五、模型建立

问题二：

①准则层对目标的成对生成矩阵：

1

2A

1/3

1/31/211/51/5351135 11

最大特征根： λ=4.004

权向量： w=(0.4674,0.8535,0.1629,0.1629)

②方案层对准则层的成对生成矩阵

1/2

1/7

1/3

A11/5

1/4

1/9

1/8

1/612/72/32/51/29/21/41/37/217/37/57/47/97/87/6

(9)3/23/713/53/41/33/81/25/25/75/315/45/95/85/624/74/34/514/91/22/39/29/739/59/419/83/248/78/38/528/914/336/726/5 3/22/33/41 最大特征根： λ=8.000 权向量： w1=(0.8133,0.4066,0.1162,0.2711,0.1627,0.2033,0.0904,0.1017,0.1024)

1

1/2

1/7

1/3

A21/5

1/4

1/9

1/8

1/6212/72/32/51/29/21/41/377/217/37/57/47/97/87/633/23/713/53/41/33/81/255/25/75/315/45/95/85/6424/74/34/514/91/22/399/29/739/59/419/83/2848/78/38/528/914/3636/726/5 3/22/33/41

最大特征根： λ=8.000

权向量： w2(9)=(0.8133,0.4066,0.1162,0.2711,0.1627,0.2033,0.0904,0.1017,0.1024)

1

1/3

1/4

1/2

A31

1

1/6

1/7

1/8313/43/2331/23/73/844/312442/34/71/222/31/21221/32/71/411/31/41/2111/61/71/811/31/41/2111/61/71/8623/236616/73/477/37/47/2777/617/888/3248 84/38/71

最大特征根： λ=9.000

权向量： w3(9)=(0.5355,0.1785,0.1339,0.2677,0.5355,0.5355,0.0892,0.0765,0.0669)

1

1/2

1/5

A41/3

1/2

3

1/4

1/311/21/51/31/231/41/3212/52/3161/22/3

(9)55/215/33155/45/333/23/51393/41212/52/3161/22/31/31/31/151/91/611/121/9424/54/321214/933/23/513/299/41 最大特征根： λ=9.2412 权向量： w4=(0.2899,0.2899,0.1449,0.0580,0.0966,0.1637,0.8696,0.6868,0.0883)

则方案层对目标的组合权向量为(1.2087,0.6133,0.1989,0.4111,0.3179,0.3824,0.2756,0.1609,0.1605) 根据以上组合权向量地9个景点进行排名：

趵突泉、大明湖、千佛山、泉城广场、泉城公园、芙蓉街、五龙潭、曲水亭街、王府池子

问题三：

1、目标函数的确立：

经过对题目分析，我们可以知道本题所要实现的目标是，使旅游者在最短时间内

花最少的钱游览尽可能多的地方。显然，花费最少和游览的景点尽量多是该问题的两个目标。因此，我们的做法是在满足相应的约束条件下，先确定游览的景点数，然后计算出在这种情况下的最小花费。这样最终会得出几种旅游路线，而组织方可以根据自己的实际情况进行选择。

游览的总费用由2部分组成，分别为交通总费用和在旅游景点的花费。从而得到目标函数： Min mm1m2

（1）交通总花费

因为cij表示从第i个景点到第j个景点所需的交通费用，而rij是判断游客们

是否从第i个景点直接到第j个景点的0—1变量，因此我们可以很容易的得到交通总费用为：

1010

ij m1

（2）旅游景点的花费 ri1j1cij

因为ci表示游客在i个景点的总消费，rij也可以表示出代表们是否到达过

第i个和第j个景点，而整个旅游路线又是一个环形，因此rijcicj实际

i1j11010

上将代表们在所到景点的花费计算了两遍，从而我们可得旅游景点的花费为： m2

从而得到目标函数：

Min mm1m2

1010121010i1rj1ijcicj

=rij

i1j1cij+121010

i1rj1ijcicj

2、约束条件：

①时间约束

假设旅游时间应该不多于12个小时（720分钟），而这些时间包括在路途中的时间和在景点逗留的时间。因为

1010tij表示从第i个景点到第j个景点路途中所需时间，所以路

途中所需总时间为rijtij；ti表示在第i个景点的逗留时间，故游客在旅游景点i1j1

的总逗留时间为rij(titj)。因此，总的时间约束为： 2i1j1

101011010

rijtij

i1j1121010

i1rj1ij(titj)720

②旅游景点数约束

1010

根据假设，整个旅游路线是环形，即游客最终要回到火车站，因此rij即表示旅

i1j1

游的景点数，这里我们假定要旅游的景点数为n（n=2，3，„„，10）。因此旅游景点数约束为：

rijn（n=2，3，„„，10）

i1j11010

③0——1变量约束

我们可以把所有的景点连成一个圈，而把每一个景点看做圈上一个点。对与每个点来

说，只允许最多一条边进入，同样只允许最多一条边出来，并且只要有一条边进入就要有一条边出去。因此可得约束：

rij

irjij1 (i,j1,2,,10)

当i1时，因为火车站是出发点，所以rij1；j1时，因为游客最终要回到火车

i1

站，所以rij1。

j1

综上可知，



rijrij1

ij rij1

i1rij1j1(i,j1,2,,10)

同样，当i,j2时，根据题意不可能出现rijrji1，既不可能出现游客在两地间往

返旅游，因为这样显然不满足游览景点尽量多的原则。因此我们可得约束：

rijrji0 （i,j=2，3，„„，10）

综上所述，我们可以得到总的模型为：

Min mm1m2

=rijcij+rijcicj

i1j[1**********]i1j1

约束条件：

110101010

rijtijrij(titj)7202i1j11j1i

1010rn(n2,3,10)ij

i1j1(i,j1,2,3,10) rijrij1

ij

rij1

i1

rij1

j1

(i,j2,3,10)rijrji0

原则：实际距离大于1公里时以公交线路为准，否则将以两点间的直线距离为准。

旅游者在第i个景点的最佳逗留时间和他们在第i个景点总消费：

六、模型求解与结果分析

旅游景点数为9

旅游路线：火车西站→趵突泉→五龙潭→泉城广场→芙蓉街→王府池子→曲水亭街→大

明湖→泉城公园→千佛山→火车西站

最少花费：557.5元

七、模型的评价

优点：巧妙的应用里0-1变量控制了对旅游景点出入的设置，有效的避免了一个旅游景

点的多次出现。

缺点：模型太过理想化，没有考虑天气，车次，意外等诸多原因。

参考文献

[1]姜启源等编，《数学模型》，高等教育出版社

[2]周义仓等编，《数学建模竞赛赛题简析与论文点评》，西安交通大学出版社

[3]冯杰等编，《数学建模·原理与案例》，科学出版社

一、问题的重述

济南是举世闻名的“泉城”，既有老舍先生笔下冬天的“温晴”，又有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美景，还有“大明湖畔夏雨荷”的缠绵。但济南却往往扮演着旅游“中转站”的角色，珠三角和长三角地区报的山东旅游线路，基本上是曲阜、泰山、青岛。广东的七日游中也几乎没有济南，最多在济南下飞机，直接奔泰安、曲阜。

1、请阅读材料，并查阅相关材料，分析出现问题的原因。 http://www.sd.xinhuanet.com/news/2010-10/10/content_21087888.htm《济南旅游业已边缘化?沦为青岛泰安等地中转站》 http://www.sdetn.gov.cn/cyzcc/hyzr/webinfo/2011/06/[**************]0.htm《济南旅游感受高铁脉动 泉文化吸引外地游客》

2、济南的旅游景点非常多，现在给出9个景点：趵突泉、大明湖、五龙潭，千佛山，泉城公园，泉城广场，芙蓉街、曲水亭街、王府池子。请自定标准，查阅相关数据，对这9个景点进行排名。

3、假如一个外地游客早上6点在火车站下车，晚上8点坐火车离开济南，请为他设计一条“济南一日游”线路，并给出设计理由。

二、问题的假设

1、假设查阅的数据基本符合事实。

2、假设各景点间的路费及各景点的门票长期基本保持不变。

3、假设中途不发生堵车等交通事故及恶劣天气等影响行程。

4、在限定的时间内，游客最终要返回火车站，并且假设火车站是肯定要去的一个旅游景点。

三、符号与说明

i，j——第i个或第j个景点， i，j=1，2，„„，10；

分别表示火车站、趵突泉、大明湖、五龙潭，千佛山，泉城公园，泉城广场，

芙蓉街、曲水亭街、王府池子

m——每个游客的旅游总花费；

m1——每个游客的交通总费用；

m2——每个游客的旅游景点的花费；

ti——每个游客在第i个景点的逗留时间；

ci——每个游客在i个景点的总消费；

tij——从第i个景点到第j个景点路途中所需时间；

cij——从第i个景点到第j个景点所需的交通费用；

1游客直接从第rij

0i个景点到达第其他j个景点

四、问题的分析与建模准备

问题一：出现这种现象的主要原因：

1、城市功能定位不准确，人文环境整治不力；

2、交通拥挤，相应服务配套欠缺，没有旅游城市应该拥有的干净整洁的市容；

3、景点特色单一，没有良好的软件设施，大型现代娱乐产品短缺，没有完备

的旅游产品吸引外地游客；

4、城市的“活字典”——导游，尤其是外语存在缺口。

问题二：要对景点排名，可以随机统计100名代表对各景点的旅游意向。如下表一：

从上面的数据分析可知，持“无所谓”态度的代表大约占60%——70%，持“去”

态度的代表大约占10%——28%，持“不去”态度代表大约占12%——22%。“无

所谓”是指可能去也可能不去，我们假设去与不去的可能性相同，即可得到如

下排名（由高到低）：趵突泉、大明湖、千佛山、泉城广场、泉城公园、芙蓉

街、五龙潭、王府池子、曲水亭街。

采用层次分析的方法，根据统计数据，选取4个决策准则为9个旅游地点，进

行排名。这4个决策准则分别为：C1 景色，C2 费用，C3 交通，C4 饮食。

问题三：旅行中要考虑的因素很多，我们要追求的目标是在规定的时间内花费最少但

能旅游的景点最多，所以我们在进行问题分析前做了假设，假设不考虑旅游

中发生的一切意外，即旅游按照所设计的路程顺利进行，在旅途中不考虑阴

雨天气给旅游时间滞留带来的麻烦，并且把因为去旅游人员的多少带来门票

打折的因素忽略了，在此基础上，我们通过0—1规划方法，分析并写出了

目标函数，同时对假设中涉及到的问题进行约束，这样寻找不同景点数时的

最优旅游路线，并对路线进行简单分析，最终得到最优的旅游线路。

五、模型建立

问题二：

①准则层对目标的成对生成矩阵：

1

2A

1/3

1/31/211/51/5351135 11

最大特征根： λ=4.004

权向量： w=(0.4674,0.8535,0.1629,0.1629)

②方案层对准则层的成对生成矩阵

1/2

1/7

1/3

A11/5

1/4

1/9

1/8

1/612/72/32/51/29/21/41/37/217/37/57/47/97/87/6

(9)3/23/713/53/41/33/81/25/25/75/315/45/95/85/624/74/34/514/91/22/39/29/739/59/419/83/248/78/38/528/914/336/726/5 3/22/33/41 最大特征根： λ=8.000 权向量： w1=(0.8133,0.4066,0.1162,0.2711,0.1627,0.2033,0.0904,0.1017,0.1024)

1

1/2

1/7

1/3

A21/5

1/4

1/9

1/8

1/6212/72/32/51/29/21/41/377/217/37/57/47/97/87/633/23/713/53/41/33/81/255/25/75/315/45/95/85/6424/74/34/514/91/22/399/29/739/59/419/83/2848/78/38/528/914/3636/726/5 3/22/33/41

最大特征根： λ=8.000

权向量： w2(9)=(0.8133,0.4066,0.1162,0.2711,0.1627,0.2033,0.0904,0.1017,0.1024)

1

1/3

1/4

1/2

A31

1

1/6

1/7

1/8313/43/2331/23/73/844/312442/34/71/222/31/21221/32/71/411/31/41/2111/61/71/811/31/41/2111/61/71/8623/236616/73/477/37/47/2777/617/888/3248 84/38/71

最大特征根： λ=9.000

权向量： w3(9)=(0.5355,0.1785,0.1339,0.2677,0.5355,0.5355,0.0892,0.0765,0.0669)

1

1/2

1/5

A41/3

1/2

3

1/4

1/311/21/51/31/231/41/3212/52/3161/22/3

(9)55/215/33155/45/333/23/51393/41212/52/3161/22/31/31/31/151/91/611/121/9424/54/321214/933/23/513/299/41 最大特征根： λ=9.2412 权向量： w4=(0.2899,0.2899,0.1449,0.0580,0.0966,0.1637,0.8696,0.6868,0.0883)

则方案层对目标的组合权向量为(1.2087,0.6133,0.1989,0.4111,0.3179,0.3824,0.2756,0.1609,0.1605) 根据以上组合权向量地9个景点进行排名：

趵突泉、大明湖、千佛山、泉城广场、泉城公园、芙蓉街、五龙潭、曲水亭街、王府池子

问题三：

1、目标函数的确立：

经过对题目分析，我们可以知道本题所要实现的目标是，使旅游者在最短时间内

花最少的钱游览尽可能多的地方。显然，花费最少和游览的景点尽量多是该问题的两个目标。因此，我们的做法是在满足相应的约束条件下，先确定游览的景点数，然后计算出在这种情况下的最小花费。这样最终会得出几种旅游路线，而组织方可以根据自己的实际情况进行选择。

游览的总费用由2部分组成，分别为交通总费用和在旅游景点的花费。从而得到目标函数： Min mm1m2

（1）交通总花费

因为cij表示从第i个景点到第j个景点所需的交通费用，而rij是判断游客们

是否从第i个景点直接到第j个景点的0—1变量，因此我们可以很容易的得到交通总费用为：

1010

ij m1

（2）旅游景点的花费 ri1j1cij

因为ci表示游客在i个景点的总消费，rij也可以表示出代表们是否到达过

第i个和第j个景点，而整个旅游路线又是一个环形，因此rijcicj实际

i1j11010

上将代表们在所到景点的花费计算了两遍，从而我们可得旅游景点的花费为： m2

从而得到目标函数：

Min mm1m2

1010121010i1rj1ijcicj

=rij

i1j1cij+121010

i1rj1ijcicj

2、约束条件：

①时间约束

假设旅游时间应该不多于12个小时（720分钟），而这些时间包括在路途中的时间和在景点逗留的时间。因为

1010tij表示从第i个景点到第j个景点路途中所需时间，所以路

途中所需总时间为rijtij；ti表示在第i个景点的逗留时间，故游客在旅游景点i1j1

的总逗留时间为rij(titj)。因此，总的时间约束为： 2i1j1

101011010

rijtij

i1j1121010

i1rj1ij(titj)720

②旅游景点数约束

1010

根据假设，整个旅游路线是环形，即游客最终要回到火车站，因此rij即表示旅

i1j1

游的景点数，这里我们假定要旅游的景点数为n（n=2，3，„„，10）。因此旅游景点数约束为：

rijn（n=2，3，„„，10）

i1j11010

③0——1变量约束

我们可以把所有的景点连成一个圈，而把每一个景点看做圈上一个点。对与每个点来

说，只允许最多一条边进入，同样只允许最多一条边出来，并且只要有一条边进入就要有一条边出去。因此可得约束：

rij

irjij1 (i,j1,2,,10)

当i1时，因为火车站是出发点，所以rij1；j1时，因为游客最终要回到火车

i1

站，所以rij1。

j1

综上可知，



rijrij1

ij rij1

i1rij1j1(i,j1,2,,10)

同样，当i,j2时，根据题意不可能出现rijrji1，既不可能出现游客在两地间往

返旅游，因为这样显然不满足游览景点尽量多的原则。因此我们可得约束：

rijrji0 （i,j=2，3，„„，10）

综上所述，我们可以得到总的模型为：

Min mm1m2

=rijcij+rijcicj

i1j[1**********]i1j1

约束条件：

110101010

rijtijrij(titj)7202i1j11j1i

1010rn(n2,3,10)ij

i1j1(i,j1,2,3,10) rijrij1

ij

rij1

i1

rij1

j1

(i,j2,3,10)rijrji0

原则：实际距离大于1公里时以公交线路为准，否则将以两点间的直线距离为准。

旅游者在第i个景点的最佳逗留时间和他们在第i个景点总消费：

六、模型求解与结果分析

旅游景点数为9

旅游路线：火车西站→趵突泉→五龙潭→泉城广场→芙蓉街→王府池子→曲水亭街→大

明湖→泉城公园→千佛山→火车西站

最少花费：557.5元

七、模型的评价

优点：巧妙的应用里0-1变量控制了对旅游景点出入的设置，有效的避免了一个旅游景

点的多次出现。

缺点：模型太过理想化，没有考虑天气，车次，意外等诸多原因。

参考文献

[1]姜启源等编，《数学模型》，高等教育出版社

[2]周义仓等编，《数学建模竞赛赛题简析与论文点评》，西安交通大学出版社

[3]冯杰等编，《数学建模·原理与案例》，科学出版社