第一章特殊平行四边形拔高复习
一 特殊平行四边形知识汇总
矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.性质：（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.性质：（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3）四边相等的四边形是菱形
正方形
1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.性质： （1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
（2）内角：四个角都是90°；
（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组 对角；
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
（5）形状：正方形也属于长方形的一种。
（6）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
3.判定： （1）对角线相等的菱形是正方形。
（2）有一个角为直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（4）一组邻边相等的矩形是正方形。
（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
（7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
（8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
1
二 专题整合与拔高
专题一特殊四边形的综合应用
1、（2013•白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
2
2、（13年山东青岛、21）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点
（1）求证：△ABM≌△DCM （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=____________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
解析：
（1）因为四边形ABCD是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°，DAB＝DC，又MA＝MD，
所以，△ABM≌△DCM
（2）四边形MENF是菱形； 理由：因为CE＝EM，CN＝
NB，
所以，FN∥MB，同理可得：EN∥MC，
所以，四边形MENF为平行四边形， N又△ABM≌△DCM
（3）2：1
3.（2012珠海，18，7分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形
A’B’CD’（此时，点B’落在对角线AC上，点A’落在CD的延长线上），A’B’交AD于点E，连结
AA’、CE.
求证：（1）△ADA’ ≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【解析】（1）由题设可得AD＝DC, ∠ADA′＝∠CDE＝90°, DA′＝DE.
∴△ADA′≌△CDE.
（2）证CE是∠ACA′的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA’的垂直
平分线.
【答案】（1）由正方形的性质及旋转,得AD＝DC,∠ADC=90°,AC＝A′C,∠DA′E＝45°,
∠ADA′＝∠CDE＝90°,
∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°. ∴DA′＝
DE.
3
∴△ADA′≌△CDE.
（2）由正方形的性质及旋转,得CD＝CB′, ∠CB′E＝∠CDE＝90°,CE＝CE,
∴Rt△CB′E≌Rt△CDE.∵AC＝A′C,∴直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【点评】本题要求综合应用正方形的性质,旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线
合一”, 线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例.
第18题图
D'
专题二构造特殊四边形解决问题
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°
，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点
O，连接OC，已知AC=5，OC=6
，则另一直角边BC的长为 7 ．
4
求证：AE=CE．
考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，
解答：证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°，
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中，，
5
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．
专题三特殊四边形中的动态与变换
1、（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= 5 ．
6
2.（2014•襄阳，第12题3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△
PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
7
3. （2014•扬州，第23题，10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
8
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
（第5题图）
9
4.（2012河南省）18.（9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN。
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为_____时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为_______时，四边形AMDN是菱形。
D N
第18题 C
专题四方法与技巧
数形结合
1．如图(1)
所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.
10
(1)求证：MD＝MN.
(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
2．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F， （1）求证：AE=EP；
（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？ 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
分类讨论
1.（2014•孝感，第9题3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，
3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
2.（2011河南省）22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC
C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
类比、从特殊到一般思想
1、（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；
（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同． 解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF=BE；
（2）解：MP与NQ相等．
理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E， 则与（1）的情况完全相同．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
2、（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
3、（2011·牡丹江中考）已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN．
（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想
方程思想
1．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于(
)
A．3 B．3 C．42 D．8 2、（2013达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分
别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。设AE=x，则x 的取值范围是 . 答案：2≤x≤6
解析：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中，
x2＋y2＝（6－y）2，
即x(0y)，当y＝0时，x取最大值为6；当y＝时,x取最小值2，故有2≤x≤
6
8
383
第一章特殊平行四边形拔高复习
一 特殊平行四边形知识汇总
矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.性质：（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.性质：（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3）四边相等的四边形是菱形
正方形
1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.性质： （1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
（2）内角：四个角都是90°；
（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组 对角；
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
（5）形状：正方形也属于长方形的一种。
（6）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
3.判定： （1）对角线相等的菱形是正方形。
（2）有一个角为直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（4）一组邻边相等的矩形是正方形。
（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
（7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
（8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
1
二 专题整合与拔高
专题一特殊四边形的综合应用
1、（2013•白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
2
2、（13年山东青岛、21）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点
（1）求证：△ABM≌△DCM （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=____________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
解析：
（1）因为四边形ABCD是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°，DAB＝DC，又MA＝MD，
所以，△ABM≌△DCM
（2）四边形MENF是菱形； 理由：因为CE＝EM，CN＝
NB，
所以，FN∥MB，同理可得：EN∥MC，
所以，四边形MENF为平行四边形， N又△ABM≌△DCM
（3）2：1
3.（2012珠海，18，7分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形
A’B’CD’（此时，点B’落在对角线AC上，点A’落在CD的延长线上），A’B’交AD于点E，连结
AA’、CE.
求证：（1）△ADA’ ≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【解析】（1）由题设可得AD＝DC, ∠ADA′＝∠CDE＝90°, DA′＝DE.
∴△ADA′≌△CDE.
（2）证CE是∠ACA′的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA’的垂直
平分线.
【答案】（1）由正方形的性质及旋转,得AD＝DC,∠ADC=90°,AC＝A′C,∠DA′E＝45°,
∠ADA′＝∠CDE＝90°,
∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°. ∴DA′＝
DE.
3
∴△ADA′≌△CDE.
（2）由正方形的性质及旋转,得CD＝CB′, ∠CB′E＝∠CDE＝90°,CE＝CE,
∴Rt△CB′E≌Rt△CDE.∵AC＝A′C,∴直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【点评】本题要求综合应用正方形的性质,旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线
合一”, 线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例.
第18题图
D'
专题二构造特殊四边形解决问题
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°
，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点
O，连接OC，已知AC=5，OC=6
，则另一直角边BC的长为 7 ．
4
求证：AE=CE．
考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，
解答：证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°，
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中，，
5
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．
专题三特殊四边形中的动态与变换
1、（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= 5 ．
6
2.（2014•襄阳，第12题3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△
PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
7
3. （2014•扬州，第23题，10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
8
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
（第5题图）
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4.（2012河南省）18.（9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN。
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为_____时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为_______时，四边形AMDN是菱形。
D N
第18题 C
专题四方法与技巧
数形结合
1．如图(1)
所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.
10
(1)求证：MD＝MN.
(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
2．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F， （1）求证：AE=EP；
（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？ 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
分类讨论
1.（2014•孝感，第9题3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，
3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
2.（2011河南省）22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC
C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
类比、从特殊到一般思想
1、（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；
（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同． 解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF=BE；
（2）解：MP与NQ相等．
理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E， 则与（1）的情况完全相同．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
2、（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
3、（2011·牡丹江中考）已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN．
（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想
方程思想
1．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于(
)
A．3 B．3 C．42 D．8 2、（2013达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分
别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。设AE=x，则x 的取值范围是 . 答案：2≤x≤6
解析：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中，
x2＋y2＝（6－y）2，
即x(0y)，当y＝0时，x取最大值为6；当y＝时,x取最小值2，故有2≤x≤
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