第二十六章 二次函数
1、二次函数定义：
一般地，如果y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 ★易错点：
c 可以为零．二次函数的定义 二次函数和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b ，
2
域是全体实数．
2、二次函数y =ax 2+bx +c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ⑵ a ，
3、二次函数各种形式之间的变换
22
二次函数y =ax +bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )+k 的形式，其中
b 4ac -b 2
h =-，k =.
2a 4a
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y =ax ；②y =a (x -h )+k ；③y =ax +bx +c
2
2
2
二次函数解析式的表示方法
一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）； 顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；
4、二次函数y =ax 2+bx +c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y =ax 2+bx +c 化为顶点式y =a (x -h ) 2+k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们c )、以及(0，c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、选取的五点为：顶点、与y 轴的交点(0，
0)，(x 2，0)（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x 轴的交点(x 1，
★重难点：画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
二次函数y =ax 的性质
2
二次函数y =a (x -h )+k 的性质
2
y =ax +bx +c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 5、抛物线
a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作x =-
b
. 特别地，y 轴记作直线x =0. 2a
b 4ac -b 2
（-）顶点坐标：
2a 4a
6、求抛物线的顶点、对称轴的方法
b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛
（-）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，⎪+
2a 4a 2a 4a ⎝⎭
b
对称轴是直线x =-.
2a
2
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶
2
2
点为(h , k ) ，对称轴是直线x =h .
运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 7、用待定系数法求二次函数的解析式
一般式：y =ax +bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
2
交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2). 8、直线与抛物线的交点
y 轴与抛物线y =ax 2+bx +c 得交点为(0, c ).
与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax +bx +c 有且只有一个交点(h , ah +bh +c ).
2
2
9、抛物线与x 轴的交点
2
二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二
次方程ax +bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；
2
③没有交点⇔∆
10、一次函数与二次函数的交点
2
一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交
⎧y =kx +n
点，由方程组 ⎨的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 2
⎩y =ax +bx +c
有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
11、抛物线与x 轴两交点之间的距离
2
若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是方程
ax 2+bx +c =0的两个根，故
b c
x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=
a a
AB =x 1-x 2=
x 1-x 22
=
x 1-x 22
4c b 2-4ac ∆b ⎫
-4x 1x 2= -⎪-==
a a a ⎝a ⎭
2
12、二次函数图象的平移
平移步骤：
k )； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ，确定其顶点坐标(h ，
k )处，具体平移方法如下：
⑵ 保持抛物线y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，
2
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
★重难点：平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．
13、实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
先用配方法或公式法将一元二次函数变形，然后求最值。
★中考常考题型：
1、用二次函数求最值、销售的最大利润、图形的最大面积问题。
2、给出一条直线的解析式与二次函数的解析式求交点、判断有几个交点情况、判断交点的取值范围。
第二十七章 相似
27.1 图形的相似
1、相似的定义
如果两个图形形状相同, 但大小不一定相等, 那么这两个图形相似。 （相似的符号：∽）
2、相似的判定
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似比
相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。 相似多边形的周长比等于相似比。 相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2 相似三角形
1、相似三角形的判定（★重难点）
（1）. 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似
（2）三边对应成比例
（3） 两边对应成比例, 且夹角相等 （4）两个三角形的两个角对应相等
★常考题型：
利用三角形的相似测量塔高、河宽
2、相似三角形判定的常用模型
A 字型、8字型、三等角模型
3、相似的性质
1. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 2. 相似三角形周长的比等于相似比。
3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
4. 多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
27.3 位似
1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边
互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、位似的相关性质
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比
等于相似比。
（2）位似多边形的对应边平行或共线。 （3）位似可以将一个图形放大或缩小。
（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形, 这两个图形分布在位似中心的两侧, 并且关于位似中心对称。
★易错点
1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心只有一个；
3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
第二十八章 锐角三角函数
28.1锐角三角函数
1、定义：锐角角A 的正弦（sin ）, 余弦（cos ）和正切（tan ）, 都叫做角A 的锐角
三角函数。
正弦（sin ）等于对边比斜边 余弦（cos ）等于邻边比斜边
正切（tan ）等于对边比邻边
2、互余角的三角函数间的关系。
sin (90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
3、同角三角函数间的关系
平方关系： sin(α)+cos(α)=1
2
2
4、特殊角三角函数值
28.2 解直
角三角形
1、勾股定理(只适用于直角三角形)
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方， 即：在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a +b =c ；
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个 三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a +b =c ，则∠C ＝90°。
2
2
2
2
2
2
3、解直角三角形（Rt △ABC, ∠C ＝90°）
⑴三边之间的关系：a +b =c ．
⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA =
2
2
2
∠A 的对边a ∠A 的邻边b
＝． ＝, cosA =
斜边c 斜边c
tanA =
∠A 的对边a
＝．
∠A 的邻边b
利用这些关系，知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
⑷解直角三角形中常见类型：
①已知一边一锐角． ②已知两边．
③解直角三角形的应用
★中考常考题型
解直角三角形的实际应用，如求旗杆的高度、塔的高度、求斜坡的长度，利用仰角、俯角求楼高等
第二十九章 投影与视图
29．1 投影
1、投影相关的定义：
（1）一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
（2）有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影
（3）由同一点（点光源发出的光线，如灯泡）形成的投影叫做中心投影 （4）投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 （5）投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。 2、平行投影
（1）等高的物体垂直地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长
（2）等长的物体平行地面放置时，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度
（3）一天之中，影子的方向变化为：正西——正北——正东 一天之中，影子的长度变化为：长——短——长
29．2 三视图
1、三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状 从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状
从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状特点 2、同一个物体三视图之间的关系：
主视、俯视 长对正 主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等
3、一个物体三视图画法：
根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。 注意：画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。
第二十六章 二次函数
1、二次函数定义：
一般地，如果y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 ★易错点：
c 可以为零．二次函数的定义 二次函数和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b ，
2
域是全体实数．
2、二次函数y =ax 2+bx +c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ⑵ a ，
3、二次函数各种形式之间的变换
22
二次函数y =ax +bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )+k 的形式，其中
b 4ac -b 2
h =-，k =.
2a 4a
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y =ax ；②y =a (x -h )+k ；③y =ax +bx +c
2
2
2
二次函数解析式的表示方法
一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）； 顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；
4、二次函数y =ax 2+bx +c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y =ax 2+bx +c 化为顶点式y =a (x -h ) 2+k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们c )、以及(0，c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、选取的五点为：顶点、与y 轴的交点(0，
0)，(x 2，0)（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x 轴的交点(x 1，
★重难点：画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
二次函数y =ax 的性质
2
二次函数y =a (x -h )+k 的性质
2
y =ax +bx +c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 5、抛物线
a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作x =-
b
. 特别地，y 轴记作直线x =0. 2a
b 4ac -b 2
（-）顶点坐标：
2a 4a
6、求抛物线的顶点、对称轴的方法
b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛
（-）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，⎪+
2a 4a 2a 4a ⎝⎭
b
对称轴是直线x =-.
2a
2
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶
2
2
点为(h , k ) ，对称轴是直线x =h .
运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 7、用待定系数法求二次函数的解析式
一般式：y =ax +bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
2
交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2). 8、直线与抛物线的交点
y 轴与抛物线y =ax 2+bx +c 得交点为(0, c ).
与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax +bx +c 有且只有一个交点(h , ah +bh +c ).
2
2
9、抛物线与x 轴的交点
2
二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二
次方程ax +bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；
2
③没有交点⇔∆
10、一次函数与二次函数的交点
2
一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交
⎧y =kx +n
点，由方程组 ⎨的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 2
⎩y =ax +bx +c
有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
11、抛物线与x 轴两交点之间的距离
2
若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是方程
ax 2+bx +c =0的两个根，故
b c
x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=
a a
AB =x 1-x 2=
x 1-x 22
=
x 1-x 22
4c b 2-4ac ∆b ⎫
-4x 1x 2= -⎪-==
a a a ⎝a ⎭
2
12、二次函数图象的平移
平移步骤：
k )； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ，确定其顶点坐标(h ，
k )处，具体平移方法如下：
⑵ 保持抛物线y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，
2
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
★重难点：平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．
13、实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
先用配方法或公式法将一元二次函数变形，然后求最值。
★中考常考题型：
1、用二次函数求最值、销售的最大利润、图形的最大面积问题。
2、给出一条直线的解析式与二次函数的解析式求交点、判断有几个交点情况、判断交点的取值范围。
第二十七章 相似
27.1 图形的相似
1、相似的定义
如果两个图形形状相同, 但大小不一定相等, 那么这两个图形相似。 （相似的符号：∽）
2、相似的判定
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似比
相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。 相似多边形的周长比等于相似比。 相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2 相似三角形
1、相似三角形的判定（★重难点）
（1）. 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似
（2）三边对应成比例
（3） 两边对应成比例, 且夹角相等 （4）两个三角形的两个角对应相等
★常考题型：
利用三角形的相似测量塔高、河宽
2、相似三角形判定的常用模型
A 字型、8字型、三等角模型
3、相似的性质
1. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 2. 相似三角形周长的比等于相似比。
3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
4. 多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
27.3 位似
1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边
互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、位似的相关性质
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比
等于相似比。
（2）位似多边形的对应边平行或共线。 （3）位似可以将一个图形放大或缩小。
（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形, 这两个图形分布在位似中心的两侧, 并且关于位似中心对称。
★易错点
1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心只有一个；
3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
第二十八章 锐角三角函数
28.1锐角三角函数
1、定义：锐角角A 的正弦（sin ）, 余弦（cos ）和正切（tan ）, 都叫做角A 的锐角
三角函数。
正弦（sin ）等于对边比斜边 余弦（cos ）等于邻边比斜边
正切（tan ）等于对边比邻边
2、互余角的三角函数间的关系。
sin (90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
3、同角三角函数间的关系
平方关系： sin(α)+cos(α)=1
2
2
4、特殊角三角函数值
28.2 解直
角三角形
1、勾股定理(只适用于直角三角形)
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方， 即：在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a +b =c ；
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个 三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a +b =c ，则∠C ＝90°。
2
2
2
2
2
2
3、解直角三角形（Rt △ABC, ∠C ＝90°）
⑴三边之间的关系：a +b =c ．
⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA =
2
2
2
∠A 的对边a ∠A 的邻边b
＝． ＝, cosA =
斜边c 斜边c
tanA =
∠A 的对边a
＝．
∠A 的邻边b
利用这些关系，知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
⑷解直角三角形中常见类型：
①已知一边一锐角． ②已知两边．
③解直角三角形的应用
★中考常考题型
解直角三角形的实际应用，如求旗杆的高度、塔的高度、求斜坡的长度，利用仰角、俯角求楼高等
第二十九章 投影与视图
29．1 投影
1、投影相关的定义：
（1）一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
（2）有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影
（3）由同一点（点光源发出的光线，如灯泡）形成的投影叫做中心投影 （4）投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 （5）投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。 2、平行投影
（1）等高的物体垂直地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长
（2）等长的物体平行地面放置时，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度
（3）一天之中，影子的方向变化为：正西——正北——正东 一天之中，影子的长度变化为：长——短——长
29．2 三视图
1、三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状 从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状
从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状特点 2、同一个物体三视图之间的关系：
主视、俯视 长对正 主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等
3、一个物体三视图画法：
根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。 注意：画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。