直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题

一、点关于点的对称问题

例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.

练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.

2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.

二、点关于直线的对称问题

这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.

例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.

练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.

4已知直线l:3xy30,求p(4,5)关于l的对称点。

三、直线关于某点对称的问题

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.

例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.

练习：2若直线l1:3x-y-4=0关于点P（2，-1）对称的直线方程l2.求l2的方程

四、直线关于直线的对称问题

直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.

例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.

例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.

练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程

五最值问题

1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的面积最小时直线l的方程;

2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条

A 1 B 2 C 3 D 4

（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）

3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。

4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.

5.位于第一象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求△OAC面积的最小值，并求此时A点坐标

6．已知点M(1,3),N(5,-2),在x轴上取一点P，使得||PM|-|PN||最大，则P点坐标是（）

A （5,0） B （13,0） C （0,13） D （3.4,0）

变式：若使||PM|+|PN||最小呢？

7．函数y=x2＋9 ＋x2－8x＋41 的最小值是

六过定点

6．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )

A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)

17．当0＜k＜l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( ) 2

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

4．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点( )

A．(0,0)

C．(3,1) B．(0,1) D．(2,1)

9．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )

A．(0,0)

21C． 7712B．(，) 7711D．(714课后作业：

1.已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。

2 光线由点P(2,3)射到直线x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1,1)，求反射光线所在的直线方程．

3．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．

4．试求直线l1:xy20关于直线l:3xy30对称的直线l的方程. 2

5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )

A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)

6．直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是(

A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0 )

一、点关于点的对称问题

例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.

练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.

2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.

二、点关于直线的对称问题

这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.

例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.

练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.

4已知直线l:3xy30,求p(4,5)关于l的对称点。

三、直线关于某点对称的问题

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.

例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.

练习：2若直线l1:3x-y-4=0关于点P（2，-1）对称的直线方程l2.求l2的方程

四、直线关于直线的对称问题

直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.

例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.

例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.

练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程

五最值问题

1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的面积最小时直线l的方程;

2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条

A 1 B 2 C 3 D 4

（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）

3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。

4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.

5.位于第一象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求△OAC面积的最小值，并求此时A点坐标

6．已知点M(1,3),N(5,-2),在x轴上取一点P，使得||PM|-|PN||最大，则P点坐标是（）

A （5,0） B （13,0） C （0,13） D （3.4,0）

变式：若使||PM|+|PN||最小呢？

7．函数y=x2＋9 ＋x2－8x＋41 的最小值是

六过定点

6．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )

A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)

17．当0＜k＜l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( ) 2

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

4．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点( )

A．(0,0)

C．(3,1) B．(0,1) D．(2,1)

9．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )

A．(0,0)

21C． 7712B．(，) 7711D．(714课后作业：

1.已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。

2 光线由点P(2,3)射到直线x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1,1)，求反射光线所在的直线方程．

3．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．

4．试求直线l1:xy20关于直线l:3xy30对称的直线l的方程. 2

5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )

A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)

6．直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是(

A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0 )