一、比例与齐次式
我们在式的运算中，常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式，这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向；齐次式常常会同除以某一个数，转化过程在本质上起到消元作用，从而会出现整体思想．
例1 已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.
求证：此三角形为直角三角形．
a c 例2
已知：＝. b
d a －b c －d a ＋b c ＋d 求证：(1)(2) b d b d
a c a ＋c (3)＝b d b ＋d
AB AC AD AE 例3 已知△ABC 中，有＝，求证：＝. AD AE DB EC
12例4 已知：a ＋b ＝1且＝，求a 和b . b a
例5 已知y ＝2x (x ≠0) ．
x 2－3xy ＋y 2
(1)求 xy ＋y 3(2)求证：x 2－y 2＝0. 2
例6 已知：x ∶y ∶z ＝1∶2∶3.
x 3－yz 2＋3z 3
求 xyz
二、二次根式 a (a ≥0) 的代数式叫做二次根式．其运算性质如下：
1．a ) 2＝a (a ≥0) ．
2. ＝|a |. 3. ab a b (a ≥0，b ≥0) ． b 4. (a >0，b ≥0) ． a a
例7 将下列式子化为最简根式．
(1)12b ；(2)a b (a ≥0) ； (3)x y (x
例8 试比较下列各组数的大小． (1)－111110；
(2)2和2－6. ＋4例9 化简：(3＋2) 2012·(3－2) 2013.
例10 化简：(1)
例11 已知：x ＝9－45；(2) 1x 2＋2－2(0
求：3x 2－5xy ＋3y 2的值．
例12 已知：x >0，y >0，x ＋2xy －15y ＝0.
求x －y 的值． x xy
例13 化简：x 2＋6x ＋9＋x 2－4x ＋4.
a b c 1＝＝k ，则k ＝________. b ＋c c ＋a a ＋b
x 2．已知：x 2－3xy ＋2y 2＝0，则＝________. y
x 2－3xy ＋4y 2
3．已知x ∶y ＝1∶2，求：的值． x ＋y 2x ＋3y 4．已知：x 2＋5xy －6y 2＝0，求： 2x －y
5．已知三角形的三边之比为5∶12∶13.
求证：此三角形为直角三角形．
6．已知：a 2＝b 2＋c 2(a >0，b >0，c >0)．
b 1c (1) a 2a
b 1c (2) a 2a
7．已知：a 2＋b 2＝c 2(a >0，b >0，c >0)．
c b (1)2，求的值． a a
c b (2)2，求的取值范围． a a
a 2＋b 2－c 2
8．已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，求的值． 2ab
9．化简下列各式．
(1) (2)828； 1111＋＋13＋4＋3100＋99.
3－5x 2
10．已知：x 的值． 2x ＋x ＋1
11．计算：1×6(25)2＋35＋2x ＋2＋x －2112．已知：x ＝a ＋(a >0)，化简：. a x ＋2－x －2
答案精析
例1 证明 设三角形的三边分别为a ，b ，c ，∵a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，k >0，
∵a 2＋b 2＝9k 2＋16k 2＝(5k ) 2＝c 2，
∴三角形为直角三角形．
a －b c －d a c a c 例2 证明 (1)∵＝，∴－1＝－1，＝. b d b d b d a ＋b c ＋d a c (2)∵1＝1，b d b d
a c (3)设＝k ，则a ＝kb ，c ＝kd ， b d
a ＋c kb ＋kd a c a ＋c ＝k ，∴＝. b d b ＋d b ＋d b ＋d
AB －AD AC －AE AB AC DB EC AD AE 例3 证明 ∵＝，由例2可知：＝，∴＝，即＝. AD AE AD AE AD AE DB EC
121＋212例4 解 ∵＝＝＝3，∴b ＝，a ＝. b a a ＋b 33
y y 1－3＋()2x x 1例5 (1)解 原式＝＝－. y y 26＋()x x
3y y (2)证明 原式＝x 2[1＋(－(2]＝0. 2x x
例6 解 设x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k ，
k 3－2k ·(3k )2＋3(3k )332原式＝. k ·2k ·3k 3
例7 解 (1)23b (2)a b (3)－2x 3y .
例8 解 (1)∵12＋11>11＋10>0，
∴11，∴12－11
2(2)∵22－6＝，又∵4>22， 26
∴22＝22－6. 4622＋6
例9 解 原式＝(3＋2) 2012(3－2) 2012(3－2) ＝3－2.
例10 解 (1)原式＝22－45＋52
＝(25)2＝|2－5|＝5－2.
(2)11(x －)2＝|x －|＝x (∵0
例11 解 xy ＝1，x ＋y ＝10，原式＝289.
2例12 解 x ＋2xy －15y ＝0，(x ＋5y )(x －3y ) ＝0，∵x ＋5y >0，∴x ＝9y ，原式＝. 3
例13 解 原式＝|x ＋3|＋|x －2|
－2x －1 (x ≤－3)⎧⎪＝⎨5(－3
⎪⎩2x ＋1(x ≥2)
强化训练
11. 2.2或1 2
x 2－3x ×(2x )＋4(2x )2113．解 由y ＝2x ，得：原式＝5x ＋(2x )94．解 由条件得：x ＝－6y 或x ＝y ，∴原式＝或5. 13
5．证明 设a ∶b ∶c ＝5∶12∶13，则a ＝5k ，b ＝12k ，
c ＝13k (k >0) a 2＋b 2＝(25＋144) k 2＝(13k ) 2＝c 2. 所以三角形为直角三角形．
c c 6．解 (2)0
c 2b b b 7．解 ＝2,1＋(2＝2，(2＝1，＝1(∵a >0，b >0) a a a a
c 2b 2b b (2)2,1＋≥2，2≥1，≥1(∵a >0，b >0)． a a a a
18．解 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，原式＝－4
9．解 7－1；(2)9
7－517＋352110．解 x 2＝x ＋7，原式＝2x 2x
223－|5－2|＋(5－2) ＝2. 3
(a ＋1211)a x －2＝a －|， a a a
a ＋1＝a . a ＝1时，x ＝2，原式＝1. 1)a 1118x 2＋1x . 11．解 12．解 x ＋2＝1(a －1a >1时，x －2＝a －1a a ＋－(a －a
11a a a 1101
一、比例与齐次式
我们在式的运算中，常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式，这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向；齐次式常常会同除以某一个数，转化过程在本质上起到消元作用，从而会出现整体思想．
例1 已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.
求证：此三角形为直角三角形．
a c 例2
已知：＝. b
d a －b c －d a ＋b c ＋d 求证：(1)(2) b d b d
a c a ＋c (3)＝b d b ＋d
AB AC AD AE 例3 已知△ABC 中，有＝，求证：＝. AD AE DB EC
12例4 已知：a ＋b ＝1且＝，求a 和b . b a
例5 已知y ＝2x (x ≠0) ．
x 2－3xy ＋y 2
(1)求 xy ＋y 3(2)求证：x 2－y 2＝0. 2
例6 已知：x ∶y ∶z ＝1∶2∶3.
x 3－yz 2＋3z 3
求 xyz
二、二次根式 a (a ≥0) 的代数式叫做二次根式．其运算性质如下：
1．a ) 2＝a (a ≥0) ．
2. ＝|a |. 3. ab a b (a ≥0，b ≥0) ． b 4. (a >0，b ≥0) ． a a
例7 将下列式子化为最简根式．
(1)12b ；(2)a b (a ≥0) ； (3)x y (x
例8 试比较下列各组数的大小． (1)－111110；
(2)2和2－6. ＋4例9 化简：(3＋2) 2012·(3－2) 2013.
例10 化简：(1)
例11 已知：x ＝9－45；(2) 1x 2＋2－2(0
求：3x 2－5xy ＋3y 2的值．
例12 已知：x >0，y >0，x ＋2xy －15y ＝0.
求x －y 的值． x xy
例13 化简：x 2＋6x ＋9＋x 2－4x ＋4.
a b c 1＝＝k ，则k ＝________. b ＋c c ＋a a ＋b
x 2．已知：x 2－3xy ＋2y 2＝0，则＝________. y
x 2－3xy ＋4y 2
3．已知x ∶y ＝1∶2，求：的值． x ＋y 2x ＋3y 4．已知：x 2＋5xy －6y 2＝0，求： 2x －y
5．已知三角形的三边之比为5∶12∶13.
求证：此三角形为直角三角形．
6．已知：a 2＝b 2＋c 2(a >0，b >0，c >0)．
b 1c (1) a 2a
b 1c (2) a 2a
7．已知：a 2＋b 2＝c 2(a >0，b >0，c >0)．
c b (1)2，求的值． a a
c b (2)2，求的取值范围． a a
a 2＋b 2－c 2
8．已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，求的值． 2ab
9．化简下列各式．
(1) (2)828； 1111＋＋13＋4＋3100＋99.
3－5x 2
10．已知：x 的值． 2x ＋x ＋1
11．计算：1×6(25)2＋35＋2x ＋2＋x －2112．已知：x ＝a ＋(a >0)，化简：. a x ＋2－x －2
答案精析
例1 证明 设三角形的三边分别为a ，b ，c ，∵a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，k >0，
∵a 2＋b 2＝9k 2＋16k 2＝(5k ) 2＝c 2，
∴三角形为直角三角形．
a －b c －d a c a c 例2 证明 (1)∵＝，∴－1＝－1，＝. b d b d b d a ＋b c ＋d a c (2)∵1＝1，b d b d
a c (3)设＝k ，则a ＝kb ，c ＝kd ， b d
a ＋c kb ＋kd a c a ＋c ＝k ，∴＝. b d b ＋d b ＋d b ＋d
AB －AD AC －AE AB AC DB EC AD AE 例3 证明 ∵＝，由例2可知：＝，∴＝，即＝. AD AE AD AE AD AE DB EC
121＋212例4 解 ∵＝＝＝3，∴b ＝，a ＝. b a a ＋b 33
y y 1－3＋()2x x 1例5 (1)解 原式＝＝－. y y 26＋()x x
3y y (2)证明 原式＝x 2[1＋(－(2]＝0. 2x x
例6 解 设x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k ，
k 3－2k ·(3k )2＋3(3k )332原式＝. k ·2k ·3k 3
例7 解 (1)23b (2)a b (3)－2x 3y .
例8 解 (1)∵12＋11>11＋10>0，
∴11，∴12－11
2(2)∵22－6＝，又∵4>22， 26
∴22＝22－6. 4622＋6
例9 解 原式＝(3＋2) 2012(3－2) 2012(3－2) ＝3－2.
例10 解 (1)原式＝22－45＋52
＝(25)2＝|2－5|＝5－2.
(2)11(x －)2＝|x －|＝x (∵0
例11 解 xy ＝1，x ＋y ＝10，原式＝289.
2例12 解 x ＋2xy －15y ＝0，(x ＋5y )(x －3y ) ＝0，∵x ＋5y >0，∴x ＝9y ，原式＝. 3
例13 解 原式＝|x ＋3|＋|x －2|
－2x －1 (x ≤－3)⎧⎪＝⎨5(－3
⎪⎩2x ＋1(x ≥2)
强化训练
11. 2.2或1 2
x 2－3x ×(2x )＋4(2x )2113．解 由y ＝2x ，得：原式＝5x ＋(2x )94．解 由条件得：x ＝－6y 或x ＝y ，∴原式＝或5. 13
5．证明 设a ∶b ∶c ＝5∶12∶13，则a ＝5k ，b ＝12k ，
c ＝13k (k >0) a 2＋b 2＝(25＋144) k 2＝(13k ) 2＝c 2. 所以三角形为直角三角形．
c c 6．解 (2)0
c 2b b b 7．解 ＝2,1＋(2＝2，(2＝1，＝1(∵a >0，b >0) a a a a
c 2b 2b b (2)2,1＋≥2，2≥1，≥1(∵a >0，b >0)． a a a a
18．解 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，原式＝－4
9．解 7－1；(2)9
7－517＋352110．解 x 2＝x ＋7，原式＝2x 2x
223－|5－2|＋(5－2) ＝2. 3
(a ＋1211)a x －2＝a －|， a a a
a ＋1＝a . a ＝1时，x ＝2，原式＝1. 1)a 1118x 2＋1x . 11．解 12．解 x ＋2＝1(a －1a >1时，x －2＝a －1a a ＋－(a －a
11a a a 1101