控制系统的频率特性
摘要：频域分析法是控制系统设计、分析和参数调整最经典的方法之一。理论上，对象或系统频域特性是通过以正弦波或余弦波频率信号为激励信号的频率响应实验获得。由于实际生产过程条件所限，经典的频率响应实验法难以实施，致过程控制系统频率特性难以发挥其理论指导工业实践的优势。在计算机技术高度发展的今天，传统的频率响应以及系统或对象频率特性获取的方法得到了根本性的突破。该文提出了一种采用数字无源LCR 振荡器从时域过程响应数据提取对象或系统的频率特性的方法，该方法为过程控制系统频率特性分析提供了一种较为简便和有效手段。仿真实验和实际应用结果表明了该方法的正确性和有效性。 关键词：频率特性；频域分析；无源LCR 振荡器；阶跃响
引言
在工业控制实践中，基于时间域的过程控制系统设计、参数调整、参数模型辨识等方法均表现的较为复杂与繁琐[1-8]。经典控制理论表明，系统或对象频率特性分析是完成上面所述工作的根本依据之一[9-11]。多数工业过程对象都具有大惯性、纯迟延和慢时变的特点。长期以来，获取这些过程系统频率特性是一件很困难的事情。在控制工程实践中，工程技术人员通常主要通过系统或对象的时域过渡过程来研究控制系统特性[12]。但是仅仅通过这些时域特性分析手段难以深入掌握对象或系统的本质特性，如系统内在的稳定性裕度。本文提出了一种采用数字无源 LCR 振荡器提取信号频谱分布的算法[13]，通过该算法可相对容易地得到过程系统或对象的频率特性，从而为工业过程控制系统分析与综合提供频域方面的信息。 1 无源LCR 振荡器
如图 1 所示，该电路系统表述的是一种无源 LCR 振荡器。
图1 无源LCR 振荡器
图 1 中元件均用复电抗型式表示，可以用式(1)传递函数表述Y (s ) 、X (s ) 二者之间的关系，即
G f (s ) =
Y (s ) X (s )
=
RT i s T i T d s +RT i s +1
2
（1）
2 系统频率特性获取的仿真 2.1 阶跃响应的频域特质
在控制回路中施加阶跃激励信号获取相应的过程响应是控制工程应用最广泛的一种实验分析方法和手段。本文提出的方法主要是以阶跃响应试验法为前提条件的，主要适用于线性系统或对象频率特性的离线辨识、少量频域信息的在线辨识。 非周期的阶跃信号包含了连续频率的正弦频谱成分[14]，如果将对象或系统看作为线性系统，那么阶跃响应结果必定包含有各种正弦频率下激励的效果[15]。因此，阶跃信号已具备了频率响应实验激励信号的特质。 2.2 系统频率特性一致性
为了论述本文提出方法的正确性，下面给出以下定理和证明。
定理 采用实际LCR 无源振荡器后，分析所得到的在阶跃信号激励下线性系统或对象的频率特性同实际保持一致。证明 假设待分析的系统或对象的传递函数是
G 0(s ) ；实际LCR 无源振荡器的传递函数是G f (s )
；阶跃激励信号为U X (s ) ，阶
跃激励信号经过LCR 算法之后的信号用U f (s ) 表示；系统或对象的阶跃响应 信号用Y (s ) 表示，系统或对象阶跃响应信号经过LCR 算法之后的信号用Y f (s ) 表示。令s=jw ，由信号与系统[14]基本知识可知，阶跃激励信号的频率谱分布为
U x (jw ) =G f (jw )
I jw
(2)
式中I 为阶跃激励信号的幅值，则阶跃激励信号经过LCR 算法之后得到阶跃激励频率信号，可表述为式(9)，即
U f (jw ) =G f (jw )
I jw
(3)
同理，系统或对象的阶跃响应信号经过LCR 算法之后得到系统或对象阶跃响应频率信号，可表
Y f (jw ) =G 0(jw ) G f (jw )
I jw
(4)
述为
将经过LCR 回路运算后得到的阶跃响应频率信号与经过 LCR 回路运算后得到的阶跃激励频率信号在频域中进行比较(幅值相除，相位相减) ， 得到：
Y f (jw ) U f (jw )
G o (jw ) G f (jw ) =
G f (jw )
I jw
I jw
=G o (jw ) (5)
由式(5)可知，经过比较后频率特性同实际系统或对象的频率特性一致，与实际LCR 振荡器的传递函数、阶跃激励信号等无直接关系，定理证明完毕。 依据上面的论述，本文给出一个相应的仿真实验控制系统方框图，如图2 所示
。
图 2 仿真实验方框图
如图2 所示，分别将过程给定信号sp (t ) 、过程偏差信号e (t ) 、过程调节信号u (t ) 、过程输出信号y (t ) 引入4 个LCR 振荡器，分别得到过程给定频率信号sp (j)、过程偏差频率信号E (j)、过程调节频率信号U (j) 、过程输出频率信号Y (j)等。
2.3 仿真实验
将实际 LCR 振荡器频率带宽设为107rad/s(趋于0) ，辨识频率间隔设为0.000rad/s。计算机
1rad/s。依据工业过程特性，确定研究的频率范围为0.001~0.16设备的运算周期设为100ms ，如果为在线运算，则为实际运算周期，如果为离线运算，则设置程序离散化所采用的运算周期为100ms 。设仿真系统为一单位反
馈控制回路，其中对象的传递函数为1/(20s 1)4，对应的调节器PI 参数设为：K p 0.75、T i 50s ，则得到的输入阶跃激励下各输出阶跃响应结果，其
中过程偏差信号e (t ) 、过程输出信号y (t ) ，如图4 所示.
闭环阶跃激励得到的控制回路各输出点阶跃响应在频率域的幅值频率特性，其中过程偏差频率信号幅值E ( ) 、过程输出频率信号幅值Y ( ) ，如图5 所示。
dB ，控制系
图 5 中，将阶跃激励信号在0.001rad/s 频率点的初始幅值定为0统相应各输出点阶跃响应频域的初始值也是相对上述幅值0可知，如果仅是分析单个频率信号幅值
dB 给出的。由图5
图3 控制系统阶跃响应过程
图4 控制回路各输出点阶跃响应频域初始幅值频率特性图 或相位的意义并不大。将任意2 个频率信号进行幅值和相位比较获得的频率特性才是本文研究的起始出发点。相关量的比较结果如下:
1）过程输出频率信号与过程给定频率信号比较得到的调节回路闭环频率特性幅频增G y-sp() ，如图5所示。
图5 调节回路闭环幅值频率特性
2）过程输出频率信号与过程调节频率信号比较得到的对象频率特性幅频增益G y-u( ) ，如图6所示。
3）过程输出频率信号与过程偏差频率信号比较得到的调节回路开环频率特性幅频增益G y-e( ) 、相频相位 y-e( ) 、如图7所示。由图7可知，该仿真
PID 调节回路的相位稳定
图6 控制对象幅值特性
图 7 控制系统开环频率特性
裕度为44 ，幅值稳定裕度为7.9
dB ，这个结果同理论计算几乎相同。因而
本文提出的方法可以方便获取控制系统开环系统频率特性，这对控制系统稳定性和鲁棒性的分析具有十分重要的意义[16-22]。 2.4 频率特性辨识准确度分析
本文以仿真 PID 调节回路的开环频率特性为例对频率特性辨识准确度进行定量分析，结果表10.92%，最大相位误差为0.74 。 2.5 宽频谱高频干扰环境下频率特性辨识
为了验证 LCR 振荡器方法抗干扰的能力，采用一个较高频率的短时余弦波信号作为仿真实验的宽频谱高频干扰信号源，如图8所示。对短时余弦波信号，得到
频谱主值分布在w 0±2π/τ范围的无限长的余弦波信号的频谱，如图9 所示。 具体取单位余弦波信号频率为w o =0.2rad /s 、τ/2=314.15，将该短时余弦波信号乘以0.05，并且加在过程输出信号中。实际仿真得到的过程输出信号y (t ) ，如图10 所示。调节回路的开环频率特性辨识结果，如图11 所示。 由图 11 可见，在频率0.08rad/s 以下，开环频率特性辨识结果基本不受影响。
表1 开环频率特性辨识准确度分析表
图8 短时余弦波信号图
图 9 短时余弦波信号频谱图
图 10 在过程输出信号中加入短时余弦干扰信号
图11 干扰环境下调节回路开环频率特性
2.6 抗随机干扰仿真实验 本文对一个传递函数为 1/(1
20s )2 的二阶惯性环节对象进行抗随机干扰
仿真试验，在仿真对象的输出端加入随机干扰信号，干扰信号幅值为阶跃激励信号幅值的1/4。由于随机干扰信号包含了全频谱成分，而且幅值和相位都不稳定，因此对仿真获得的频率特性曲线进行了滤波平滑处理。限于篇幅，本文仅给出随机干扰条件下对象频率特性辨识结果，对象阶跃响应过程输出信号y (t ) 如图13，
对象频率特性幅频增益G ( ) 、相频相( )
所示。
图 12 加随机干扰信号后二阶惯性环节阶跃响应图
图13 随机干扰环境下频率特性辨识结果图
图 13 中密布的黑点为未加滤波平滑前的对象频率特性辨识结果，实线为加滤波平滑后的效果。滤波平滑后误差计算结果为：幅频增益相对误差不大于1%，相频相位误差不大于1, 从工程的角度看完全可以接受。 3 实际应用
3.1 实际应用系统选择
将本文提出的方法运用于某电厂 600MW 超临界机组高压旁路温度控制系统
频率特性的离线辨识，这里我们仅给出开环系统频率特性辨识结果。该 600MW 机组高压旁路温度控制系统闭环阶跃响应趋势如图15 所示，其中时间横坐标每格为300s ，温度纵坐标每格为15℃。
图14 高压旁路温度控制系统闭环阶跃响应趋势图
3.2 开环频率特性辨识系统
将图 14 中的过程给定、高压旁路温度离线数据分别进行时间延拓处理，目的是将离线数据截止后的时间尺度延拓到足够长，以满足离线计算的需要。该离线数据的时间间隔为1s. 实际的辨识使用了 2 个LCR 振荡器，开环频率特性辨识系统如图16 所示。在图16 中，过程给定时间延拓数据减过程输出时间延拓数据得到过程偏差时间延拓数据。通过2 个LCR 振荡器分别得到过程输出频率信号，过程偏差频率信号。将过程输出频率信号与过程偏差频率信号进行幅值和相位比较，得到了控制系统的开环频率特性。实际 LCR 振荡器的频率带宽设为10rad /s ，实际的辨识频率范围为0.001~0.08 7rad/s，连续辨识频率的间隔为0.0001rad/s。
图 15 开环频率特性分析系统图
3.3 开环频率特性辨识结果
开环频率特性辨识结果如图 17 所示。
11
图 16 开环频率特性
由图16 可知，该高压旁路温度控制系统的相位稳定裕度为62o ，幅值稳定裕度为
8.4dB ，这些所得的结果与现场调试整定的现状基本接近。
4 结论
无源 LCR 滤波器或振荡器方法是实现过程控制系统频域性能分析的简单有效工具，本文通过仿真试验和实际应用证明了该方法的简便性、正确性和有效性。本文所提出的方法将在频域范围的控制系统性能分析、参数模型辨识等方面有重要用途。
参考文献
[1] 李萌，沈炯．基于自适应遗传算法的过热器温PID 参数优化控制仿真研究
[J]．中国电机工程学报，2002，
[2] 刘志远，吕剑虹，陈来九．基于神经网络在线学习的过热汽温自适应控制系统[J]．中国电机工程学报2004，
[3] 王国玉，梅华，韩璞，等．主汽温系统模糊自适应预测函数控制[J]．中国电机工程学报．2003
[4] 陈彦桥，郑亚锋，刘吉臻，等．基于动态解耦的模糊多模型协调控制系统应用研究[J]．中国电机工程学报，2006
[5] 刘建民，韩璞，董双梅，等．一种新型控制器的设计方案和仿真研究[J]．系统仿真学报
12
控制系统的频率特性
摘要：频域分析法是控制系统设计、分析和参数调整最经典的方法之一。理论上，对象或系统频域特性是通过以正弦波或余弦波频率信号为激励信号的频率响应实验获得。由于实际生产过程条件所限，经典的频率响应实验法难以实施，致过程控制系统频率特性难以发挥其理论指导工业实践的优势。在计算机技术高度发展的今天，传统的频率响应以及系统或对象频率特性获取的方法得到了根本性的突破。该文提出了一种采用数字无源LCR 振荡器从时域过程响应数据提取对象或系统的频率特性的方法，该方法为过程控制系统频率特性分析提供了一种较为简便和有效手段。仿真实验和实际应用结果表明了该方法的正确性和有效性。 关键词：频率特性；频域分析；无源LCR 振荡器；阶跃响
引言
在工业控制实践中，基于时间域的过程控制系统设计、参数调整、参数模型辨识等方法均表现的较为复杂与繁琐[1-8]。经典控制理论表明，系统或对象频率特性分析是完成上面所述工作的根本依据之一[9-11]。多数工业过程对象都具有大惯性、纯迟延和慢时变的特点。长期以来，获取这些过程系统频率特性是一件很困难的事情。在控制工程实践中，工程技术人员通常主要通过系统或对象的时域过渡过程来研究控制系统特性[12]。但是仅仅通过这些时域特性分析手段难以深入掌握对象或系统的本质特性，如系统内在的稳定性裕度。本文提出了一种采用数字无源 LCR 振荡器提取信号频谱分布的算法[13]，通过该算法可相对容易地得到过程系统或对象的频率特性，从而为工业过程控制系统分析与综合提供频域方面的信息。 1 无源LCR 振荡器
如图 1 所示，该电路系统表述的是一种无源 LCR 振荡器。
图1 无源LCR 振荡器
图 1 中元件均用复电抗型式表示，可以用式(1)传递函数表述Y (s ) 、X (s ) 二者之间的关系，即
G f (s ) =
Y (s ) X (s )
=
RT i s T i T d s +RT i s +1
2
（1）
2 系统频率特性获取的仿真 2.1 阶跃响应的频域特质
在控制回路中施加阶跃激励信号获取相应的过程响应是控制工程应用最广泛的一种实验分析方法和手段。本文提出的方法主要是以阶跃响应试验法为前提条件的，主要适用于线性系统或对象频率特性的离线辨识、少量频域信息的在线辨识。 非周期的阶跃信号包含了连续频率的正弦频谱成分[14]，如果将对象或系统看作为线性系统，那么阶跃响应结果必定包含有各种正弦频率下激励的效果[15]。因此，阶跃信号已具备了频率响应实验激励信号的特质。 2.2 系统频率特性一致性
为了论述本文提出方法的正确性，下面给出以下定理和证明。
定理 采用实际LCR 无源振荡器后，分析所得到的在阶跃信号激励下线性系统或对象的频率特性同实际保持一致。证明 假设待分析的系统或对象的传递函数是
G 0(s ) ；实际LCR 无源振荡器的传递函数是G f (s )
；阶跃激励信号为U X (s ) ，阶
跃激励信号经过LCR 算法之后的信号用U f (s ) 表示；系统或对象的阶跃响应 信号用Y (s ) 表示，系统或对象阶跃响应信号经过LCR 算法之后的信号用Y f (s ) 表示。令s=jw ，由信号与系统[14]基本知识可知，阶跃激励信号的频率谱分布为
U x (jw ) =G f (jw )
I jw
(2)
式中I 为阶跃激励信号的幅值，则阶跃激励信号经过LCR 算法之后得到阶跃激励频率信号，可表述为式(9)，即
U f (jw ) =G f (jw )
I jw
(3)
同理，系统或对象的阶跃响应信号经过LCR 算法之后得到系统或对象阶跃响应频率信号，可表
Y f (jw ) =G 0(jw ) G f (jw )
I jw
(4)
述为
将经过LCR 回路运算后得到的阶跃响应频率信号与经过 LCR 回路运算后得到的阶跃激励频率信号在频域中进行比较(幅值相除，相位相减) ， 得到：
Y f (jw ) U f (jw )
G o (jw ) G f (jw ) =
G f (jw )
I jw
I jw
=G o (jw ) (5)
由式(5)可知，经过比较后频率特性同实际系统或对象的频率特性一致，与实际LCR 振荡器的传递函数、阶跃激励信号等无直接关系，定理证明完毕。 依据上面的论述，本文给出一个相应的仿真实验控制系统方框图，如图2 所示
。
图 2 仿真实验方框图
如图2 所示，分别将过程给定信号sp (t ) 、过程偏差信号e (t ) 、过程调节信号u (t ) 、过程输出信号y (t ) 引入4 个LCR 振荡器，分别得到过程给定频率信号sp (j)、过程偏差频率信号E (j)、过程调节频率信号U (j) 、过程输出频率信号Y (j)等。
2.3 仿真实验
将实际 LCR 振荡器频率带宽设为107rad/s(趋于0) ，辨识频率间隔设为0.000rad/s。计算机
1rad/s。依据工业过程特性，确定研究的频率范围为0.001~0.16设备的运算周期设为100ms ，如果为在线运算，则为实际运算周期，如果为离线运算，则设置程序离散化所采用的运算周期为100ms 。设仿真系统为一单位反
馈控制回路，其中对象的传递函数为1/(20s 1)4，对应的调节器PI 参数设为：K p 0.75、T i 50s ，则得到的输入阶跃激励下各输出阶跃响应结果，其
中过程偏差信号e (t ) 、过程输出信号y (t ) ，如图4 所示.
闭环阶跃激励得到的控制回路各输出点阶跃响应在频率域的幅值频率特性，其中过程偏差频率信号幅值E ( ) 、过程输出频率信号幅值Y ( ) ，如图5 所示。
dB ，控制系
图 5 中，将阶跃激励信号在0.001rad/s 频率点的初始幅值定为0统相应各输出点阶跃响应频域的初始值也是相对上述幅值0可知，如果仅是分析单个频率信号幅值
dB 给出的。由图5
图3 控制系统阶跃响应过程
图4 控制回路各输出点阶跃响应频域初始幅值频率特性图 或相位的意义并不大。将任意2 个频率信号进行幅值和相位比较获得的频率特性才是本文研究的起始出发点。相关量的比较结果如下:
1）过程输出频率信号与过程给定频率信号比较得到的调节回路闭环频率特性幅频增G y-sp() ，如图5所示。
图5 调节回路闭环幅值频率特性
2）过程输出频率信号与过程调节频率信号比较得到的对象频率特性幅频增益G y-u( ) ，如图6所示。
3）过程输出频率信号与过程偏差频率信号比较得到的调节回路开环频率特性幅频增益G y-e( ) 、相频相位 y-e( ) 、如图7所示。由图7可知，该仿真
PID 调节回路的相位稳定
图6 控制对象幅值特性
图 7 控制系统开环频率特性
裕度为44 ，幅值稳定裕度为7.9
dB ，这个结果同理论计算几乎相同。因而
本文提出的方法可以方便获取控制系统开环系统频率特性，这对控制系统稳定性和鲁棒性的分析具有十分重要的意义[16-22]。 2.4 频率特性辨识准确度分析
本文以仿真 PID 调节回路的开环频率特性为例对频率特性辨识准确度进行定量分析，结果表10.92%，最大相位误差为0.74 。 2.5 宽频谱高频干扰环境下频率特性辨识
为了验证 LCR 振荡器方法抗干扰的能力，采用一个较高频率的短时余弦波信号作为仿真实验的宽频谱高频干扰信号源，如图8所示。对短时余弦波信号，得到
频谱主值分布在w 0±2π/τ范围的无限长的余弦波信号的频谱，如图9 所示。 具体取单位余弦波信号频率为w o =0.2rad /s 、τ/2=314.15，将该短时余弦波信号乘以0.05，并且加在过程输出信号中。实际仿真得到的过程输出信号y (t ) ，如图10 所示。调节回路的开环频率特性辨识结果，如图11 所示。 由图 11 可见，在频率0.08rad/s 以下，开环频率特性辨识结果基本不受影响。
表1 开环频率特性辨识准确度分析表
图8 短时余弦波信号图
图 9 短时余弦波信号频谱图
图 10 在过程输出信号中加入短时余弦干扰信号
图11 干扰环境下调节回路开环频率特性
2.6 抗随机干扰仿真实验 本文对一个传递函数为 1/(1
20s )2 的二阶惯性环节对象进行抗随机干扰
仿真试验，在仿真对象的输出端加入随机干扰信号，干扰信号幅值为阶跃激励信号幅值的1/4。由于随机干扰信号包含了全频谱成分，而且幅值和相位都不稳定，因此对仿真获得的频率特性曲线进行了滤波平滑处理。限于篇幅，本文仅给出随机干扰条件下对象频率特性辨识结果，对象阶跃响应过程输出信号y (t ) 如图13，
对象频率特性幅频增益G ( ) 、相频相( )
所示。
图 12 加随机干扰信号后二阶惯性环节阶跃响应图
图13 随机干扰环境下频率特性辨识结果图
图 13 中密布的黑点为未加滤波平滑前的对象频率特性辨识结果，实线为加滤波平滑后的效果。滤波平滑后误差计算结果为：幅频增益相对误差不大于1%，相频相位误差不大于1, 从工程的角度看完全可以接受。 3 实际应用
3.1 实际应用系统选择
将本文提出的方法运用于某电厂 600MW 超临界机组高压旁路温度控制系统
频率特性的离线辨识，这里我们仅给出开环系统频率特性辨识结果。该 600MW 机组高压旁路温度控制系统闭环阶跃响应趋势如图15 所示，其中时间横坐标每格为300s ，温度纵坐标每格为15℃。
图14 高压旁路温度控制系统闭环阶跃响应趋势图
3.2 开环频率特性辨识系统
将图 14 中的过程给定、高压旁路温度离线数据分别进行时间延拓处理，目的是将离线数据截止后的时间尺度延拓到足够长，以满足离线计算的需要。该离线数据的时间间隔为1s. 实际的辨识使用了 2 个LCR 振荡器，开环频率特性辨识系统如图16 所示。在图16 中，过程给定时间延拓数据减过程输出时间延拓数据得到过程偏差时间延拓数据。通过2 个LCR 振荡器分别得到过程输出频率信号，过程偏差频率信号。将过程输出频率信号与过程偏差频率信号进行幅值和相位比较，得到了控制系统的开环频率特性。实际 LCR 振荡器的频率带宽设为10rad /s ，实际的辨识频率范围为0.001~0.08 7rad/s，连续辨识频率的间隔为0.0001rad/s。
图 15 开环频率特性分析系统图
3.3 开环频率特性辨识结果
开环频率特性辨识结果如图 17 所示。
11
图 16 开环频率特性
由图16 可知，该高压旁路温度控制系统的相位稳定裕度为62o ，幅值稳定裕度为
8.4dB ，这些所得的结果与现场调试整定的现状基本接近。
4 结论
无源 LCR 滤波器或振荡器方法是实现过程控制系统频域性能分析的简单有效工具，本文通过仿真试验和实际应用证明了该方法的简便性、正确性和有效性。本文所提出的方法将在频域范围的控制系统性能分析、参数模型辨识等方面有重要用途。
参考文献
[1] 李萌，沈炯．基于自适应遗传算法的过热器温PID 参数优化控制仿真研究
[J]．中国电机工程学报，2002，
[2] 刘志远，吕剑虹，陈来九．基于神经网络在线学习的过热汽温自适应控制系统[J]．中国电机工程学报2004，
[3] 王国玉，梅华，韩璞，等．主汽温系统模糊自适应预测函数控制[J]．中国电机工程学报．2003
[4] 陈彦桥，郑亚锋，刘吉臻，等．基于动态解耦的模糊多模型协调控制系统应用研究[J]．中国电机工程学报，2006
[5] 刘建民，韩璞，董双梅，等．一种新型控制器的设计方案和仿真研究[J]．系统仿真学报
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