全等三角形难题突破

重点例题：

（一）截长补短型

如图,RT△CDA ≌RT△CDB,

①、若∠ACD=30°，∠MDN=60°,当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿

②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式为：＿＿＿＿＿＿

③、由①②猜想：在上述条件下，当∠ACD与∠MDN满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。 C C

M B

(二)、中点线段倍长问题：

如图△ABC中，点D是BC边中点，过点D作直线交AB、CA延长线于点E、F。当AE=AF时，求证BE=CF。

C D

（三），蝴蝶形图案解决定值问题：

1、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,CA=CB,D是斜边AB的中点，E是DA上一点，过点B作BH⊥CE于点H，交CD于点F。

（1）求证：DE=DF.（2）若E是线段BA的延长线上一点，其它条件不变，

DE=DF成立吗？画图说明。

2在△ABC中，AB=AC,AD和CE是高，它们所在的直线相交于H。 (1)如图1,°，求证：AH=2BD.

C B

(2)（1）中的结论是否依然成立？请你在图2中画出图形并加以证明。

3，如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D.求证BE=2CD.

（2）连接AD，求证：∠ADB=45°. D

C C

(四）角平分线与轴对称 1、（1）如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,CD平分∠ACB，点E为AB上一点，且CE=BE，PE⊥AB交CD的延长线于P，求∠PAC+∠PBC的度数。

（2）如图②，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°,CD平分∠ACB,点E为AB上一点，且CE=BE,PE⊥AB交CD的延长线于P。（1）中结论是否成立，说明理由。

（五）等腰直角三角形，等边三角形

1、如图①OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC。

(2)如图②，P为y点向y轴负半轴向下运动时，若以

P点为顶点，PA为腰作等腰Rt△，过点作DE⊥x轴于E点，求OP-DE

的值。

（3）如图③，已知点F坐标为(-4，-4)，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G(o,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,o)，当G点在y轴负半轴沿负方向运动时，求m+n的值。

（七）双重直图案与全等三角形：

1、Rt△ABC中，AB=AC,M为BC边上一点，连接AM，过B点作BN⊥AM交AC于E点，交AM于D点，在AC上截取CF=AE,连接MF并延长交BN于N点。求证：∠AMB=∠CMF.

课后巩固：

（一）本次巩固题型

1、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A

E C 图1

E C 图2

图3

C E G

2、已知Rt△ABC中，ACBC，∠C90，D为AB边的中点，EDF90°，

EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证S△DEFS△CEF

S△ABC．

当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

3．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

E C

图2

图3

F 图1

图1

（第22题）

图2

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE．

即DC⊥BE。

4、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且



MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，

BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时



（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还

成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q= （用x、L表示）．



5、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，



∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于

E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

E M

CFD

E M

（图1）（图2）（图3）

6、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全

等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

P 图①

D A

图② (第23题图)

图③