应用图形特征来设计的二次函数题
摘要：抛物线的大小完全由二次函数的二次项系数决定，利用抛物线开口的大小来设计的题目，一方面我们要通过图象来确认问题的答案，另一方面也可以通过图象的分析来引导代数运算及严密的逻辑证明。甚至可以两者相结合，利用图象破解出题者的设计意图，并在解题中结合特殊函数来解决此类问题。 关键词：二次函数的图象；二次函数的两根式、顶点式、一般式；反证法；数形结合。 2010年全国数学联赛的第九题：已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)，当0≤x ≤1时，f '(x )≤1，试求a 的最大值。
这是一道典型的以抛物线的大小来设计的二次函数题，去掉简单的求导，问题转化为：对x ∈[0, 1]，有ax 2+2bx +c ≤1恒成立，求a 的最大值。
我们知道，抛物线的开口大小完全由二次项系数的大小决定，而一次项系数与常数项都只能决定抛物线的位置。而对某一确定的抛物线来讲，在顶点附近的变化率最小，而越偏离对称轴，其变化率越大。因此，作为本题的设计，在一个长度的区间内，要求函数的值的最值差在2个单位之内，显然开口越大的抛物线越能满足条件，因此本题可以说是求开口最小的抛物线。因此，我们可以预先就猜出这个开口最小的抛物线应该是这样的：
1当x=0时，f （x ）=1；当x=时，f （x ）=-1；当x=1时，f （x ）=1。 2
从上面的描述，可以得到：f (x ) =8x 2-8x +1，也就是说此题的答案应该是a max =8。 3
类似的问题在一些模拟题的设计中屡有出现，例如下面几题：
1、（2009年浙江省数学夏令营）已知f (x ) =ax 2+bx +c (a >2) ，求证：最多有两个整数x ，使得f (x ) ≤1。
2、（2010年浙江省数学夏令营）已知f (x ) =5x 2+bx +c (b , c ∈Z ) ，方程f (x ) =0在（2，3）内有两个不等实根，则f (2) ⋅f (3) =_______。
3、已知f (x ) =x 2+x +a (a >0) ，且存在m ，使得f (m )
4、已知f (x ) =x 2+bx +c ，有两个零点满足1
5、已知f (x ) =x 2+bx +c ，且存在m ，使f (m ) ≤
=b 2-4c 的最大值、最小值。 11，f (m +1) ≤，求△44
对于这类问题，我们通常可以先由图象的直观来得到问题的答案，而后才用代数的方法来证明或解决。
一、利用图象的直观解释用来猜出这个问题的答案。
如在上面几题以填空题的形式出现的，可以直接用特殊的图象来得到。
2、分析：f (x ) =5x 2+bx +c (b , c ∈Z ) 中f (2), f (3) 都是整数。
但由f (x ) =5x 2+bx +c (b , c ∈Z ) 所对应的抛物线的大小，可用特殊的函数f 1(x ) =5(x -2)(x -3) 的图象（它的两个零点为2、3）来模拟，只需将它的图象向上、左右微调一下就能得到函数f (x ) 的图象。而f 1(x ) 的图象的最低点的纵坐
5标为-。因此，要向上移动使得f (2), f (3) 成为整数，且最低点仍在x 轴下方，4
则f (2), f (3) 只能是1。
3、分析：f (x ) =x 2+x +a (a >0) 的图象是由f 1(x ) =x 2+x 的图象向上移动得到，而f 1(x ) =x 2+x 的图象的小于零的区间长度只有1个单位，因此上移后的图象的小于的区间长度小于1，所以f (m +1) 是负的。
当然，这种方法，只是用特殊位置来得到答案，只能是一种辅助手段或者是用来解决填空题的一种方法，其它几个题也可用相同的想法来得到其设计思路，但若要严密的证明，还需要用代数方法来解决。
二、结合代数运算与逻辑来得到证明。
2、解：令f (x )=5(x -x 1)(x -x 2), 2
所以f (2) ⋅f (3) =25(2-x 1)(2-x 2)(3-x 1)(3-x 2)
11，(x 2-2)(3-x 2)≤得到 44
25f (2) ⋅f (3) =25(2-x 1)(2-x 2)(3-x 1)(3-x 2) ≤。所以只能是1。 16
上题中由于提到了二次函数的零点，我们应用了两根式，当然，也可以不用这个表达式，如在第4题中，我们采用了顶点式来解。 由(x 1-2)(3-x 1)≤
4、解：令f (x ) =x 2+bx +c =(x -x 0)+m ，m
因为1
所以f (1) 、f (3) 中至少有一个值小于1。
在二次函数的表达式中除了两根式、顶点式，还有一般式，在处理本文开头提到的2010年全国联赛题的解法中我们使用一般式：
解：令g (x ) =3ax 2+2bx +c ，由于对x ∈[0, 1]，有3ax 2+2bx +c ≤1恒成立， ⎧-1≤g (1) =3a +2b +c ≤1⎪13⎪则可以得到⎨-1≤g () =a +b +c ≤1， 24⎪⎪⎩-1≤g (0) =c ≤1
1而3a =2g (1) -4g () +2g (0) ，由不等式的性质得3a 的取值范围是[-8，8]。 2
8所以a max =。此法与题1的解法类似。 3
1、解：f (x ) =ax 2+bx +c (a >2) 假设存在三个整数使得f (x ) ≤1，不妨设这三个整数为n -1，n ，n +1，满足f (n -1) ∈[-1, 1]，f (n ) ∈[-1, 1]，f (n +1) ∈[-1, 1]。
所以2a =f (n -1) +f (n +1) -2f (n ) ∈[-4, 4]与2a >4矛盾。所以得证。
三、从命题者的角度来分析问题，从而找到问题的解法。
结合上面的二种处理策略，我们也可以从另一个角度来分析这组问题的设计以及破解方法。明显地，这组题是利用二次函数的图象的大小来设置的，因而先从图形的变化情况来分析，再结合图形中的所有可能变化以及满足题意的变化或者从中找到特殊函数，利用特殊的函数来解决问题。下面我们用这一思想来分析一下题5的处理过程。
⎡11⎤5、分析：在抛物线上存在两个点，横向相距1个单位，而其值在⎢-, ⎥内。 ⎣44⎦
由于二次函数的二次项系数确定为1，因此，我们用抛物线的移动来满足题意。
设计图1，令函数为y =x ，其图象（抛物线）的大小与目标函数是一致的。 在其中我们发现在这个图中只有线段AB 符合题意，而在图2和图3中我们可以从图中看到由于线段AB 的存在，是符合题意的。但若将图1中的抛物线向2
⎡11⎤上移动，则由于抛物线在⎢-, ⎥内部分的图象所对应的区间长度小于1，因此⎣44⎦
⎡11⎤不符合题意；将图3中的抛物线向下移动，则由于抛物线在⎢-, ⎥内部分的图⎣44⎦
象所对应的区间有两个，每个区间的长度都小于1，而两个区间间的距离超过1，因此不符合题意。
又注意到目标为∆=b 2-4c ，因此函数的表达式可以化为：
∆b ⎫∆⎛f (x ) =x 2+bx +c = x +⎪-。其中-是指函数图象上的最小值点。因42⎭4⎝2
此从上面的讨论中可以得到△的最大值为2，最小值为0。
另一方面，若要用代数方法用严密的逻辑关系来得到，则需用到上面的表达式来进行等价转化。
解：由题意得，要使得不等式组
22⎧1⎛⎧∆-1⎛b ⎫∆1b ⎫∆+1-≤m +-≤≤m +≤ ⎪ ⎪⎪⎪2⎭442⎭4⎪4⎝⎪4⎝有解， ⇔⎨⎨22b ⎫∆1b ⎫∆+1⎪1⎛⎪∆-1⎛-≤m +1+-≤≤m +1+≤⎪ ⎪⎪4 ⎪424424⎝⎭⎝⎭⎩⎩
⎛11⎫构造函数y =(x +1) 2与y =x 2的图象，其中A （-1，0）、B （0，0），C -, ⎪。 ⎝24⎭
1⎧2p ≤x ≤p +⎪⎪2从图中可以看出要使得不等式组⎨有解， 1⎪p ≤(x +1)2≤p +⎪2⎩
11≤p +。所以△的取值范围为[0，2]。 42
从上面的解法比较中，用图象法能够看出结果，而用代数严密证明的方法来得到从逻辑上来讲要求挺高。用两者相结合的方法可以减少思考量和计算量，因此用这种想法（数形结合）来处理这类题型我们还可以将解法优化。
四、先猜想极端位置的函数，结合代数式进行论证。
从上面的分析中我们可以看到，我们可以先猜想出一个极端位置的函数，然后再来检验我们猜想的结果，而检验的方法我们也可以换个角度来看。例如：本文开头的题我们可以把它的解法改为：
只要p ≤
⎛1⎫解：由构造，我们知道函数f (x ) =8x 2-8x +1中最小值为f ⎪=-1，最大⎝2⎭
值为f (0)=f (1)=1。所以对x ∈[0, 1]，有8x 2-8x +1≤1恒成立。
由这一点，我们知道3a =8是可能的，下面我们要证明3a >8是不可能的。 构造函数g (x ) =3ax 2+2bx +c -8x 2-8x +1
对x ∈[0, 1]，有3ax 2+2bx +c ≤1恒成立，可得
⎛1⎫g (0)≤0，g ⎪≥0，g (1)≤0。 ⎝2⎭()
而函数g (x ) =3ax 2+2bx +c -8x 2-8x +1是一个开口向上的二次函数，要符合上述条件的话，函数必有三个以上的零点，这是不可能完成的。
所以3a 的最大值是8。
从这个问题的设置来看，决定问题的答案的因素是曲线的大小，所以问题也可以用我们熟悉的三次函数，甚至四次函数来设计。例如下例：
6、已知M 是函数y =x 4+ax 3+bx 2+cx +d 在[-1，1]上的最大值， 求证：M ≥1。
分析：先猜想一个特殊函数，满足上面的要求。由四次函数的特征，我们希望这个四次函数在[-1，1]时最大值为1，最小值为-1，可以得到：
f （-1）=f（0）=f（1）=1，且为偶函数，且在极小值点时的极小值为-1。 令f (x ) =8x 4-bx 2+1，用求导法检验极小值点，可得b =8。
即函数f (x ) =8x 4-8x 2+1满足f （-1）=f（1）=1，且极大值点为f （0）=1，极小值点为f (-22) =f () =-1。 22()
假设M ＜1，即对所有[-1，1]的x 值，有y =8x 4+ax 3+bx 2+cx +d ＜1， 则对于函数g (x ) =8x 4+ax 3+bx 2+cx +d -8x 4-8x 2+1，
一定有g (-1) ＜0，g (-22) ＞0，g (0) ＜0，g () ＞0，g (1) ＜0。 22()
从而得到连续函数至少有四个零点，但函数的次数最高只有三次，即零点最多只有三个，而导致矛盾。因此假设错误，所以M ≥1。
模拟题：
1、已知f (x ) =4x 3-4ax ，若对x ∈[0, 1]有[f (x ) ]>1的解集为空集，则a =__。 2
2、已知f (x ) =x 3-ax -b ，不等式-3对x ∈[0, 1]恒成立，则≤f (x ) ≤99
a =__，b =__。
2-1⎡π⎤3、对任意的θ∈⎢0, ⎥，有不等式sin θ-p cos θ-q ≤恒成立，则22⎣⎦
p +2q =。
解法：先猜测这是极端情形，作出符合条件的图形。然后用极值点来证明这一问题。
1、f （1）=4-4a ≤1得a ≥33⎛1⎫1，f ⎪=-2a ≥-1得a ≤。 44⎝2⎭2
2、f (0) =-b ≤333，f (1) =1-a -b ≤，f () =， -a -b ≥-993939得a ≥1，得a ≤1。
3、令f (θ) =sin θ-p cos θ-q ，则有
1-22-1， ≤f (0) =-p -q ≤22
1-222p 2-1⎛π⎫， ≤f ⎪=--q ≤24222⎝⎭
1-22-1⎛π⎫ ≤f ⎪=1-q ≤22⎝2⎭
所以。
应用图形特征来设计的二次函数题
摘要：抛物线的大小完全由二次函数的二次项系数决定，利用抛物线开口的大小来设计的题目，一方面我们要通过图象来确认问题的答案，另一方面也可以通过图象的分析来引导代数运算及严密的逻辑证明。甚至可以两者相结合，利用图象破解出题者的设计意图，并在解题中结合特殊函数来解决此类问题。 关键词：二次函数的图象；二次函数的两根式、顶点式、一般式；反证法；数形结合。 2010年全国数学联赛的第九题：已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)，当0≤x ≤1时，f '(x )≤1，试求a 的最大值。
这是一道典型的以抛物线的大小来设计的二次函数题，去掉简单的求导，问题转化为：对x ∈[0, 1]，有ax 2+2bx +c ≤1恒成立，求a 的最大值。
我们知道，抛物线的开口大小完全由二次项系数的大小决定，而一次项系数与常数项都只能决定抛物线的位置。而对某一确定的抛物线来讲，在顶点附近的变化率最小，而越偏离对称轴，其变化率越大。因此，作为本题的设计，在一个长度的区间内，要求函数的值的最值差在2个单位之内，显然开口越大的抛物线越能满足条件，因此本题可以说是求开口最小的抛物线。因此，我们可以预先就猜出这个开口最小的抛物线应该是这样的：
1当x=0时，f （x ）=1；当x=时，f （x ）=-1；当x=1时，f （x ）=1。 2
从上面的描述，可以得到：f (x ) =8x 2-8x +1，也就是说此题的答案应该是a max =8。 3
类似的问题在一些模拟题的设计中屡有出现，例如下面几题：
1、（2009年浙江省数学夏令营）已知f (x ) =ax 2+bx +c (a >2) ，求证：最多有两个整数x ，使得f (x ) ≤1。
2、（2010年浙江省数学夏令营）已知f (x ) =5x 2+bx +c (b , c ∈Z ) ，方程f (x ) =0在（2，3）内有两个不等实根，则f (2) ⋅f (3) =_______。
3、已知f (x ) =x 2+x +a (a >0) ，且存在m ，使得f (m )
4、已知f (x ) =x 2+bx +c ，有两个零点满足1
5、已知f (x ) =x 2+bx +c ，且存在m ，使f (m ) ≤
=b 2-4c 的最大值、最小值。 11，f (m +1) ≤，求△44
对于这类问题，我们通常可以先由图象的直观来得到问题的答案，而后才用代数的方法来证明或解决。
一、利用图象的直观解释用来猜出这个问题的答案。
如在上面几题以填空题的形式出现的，可以直接用特殊的图象来得到。
2、分析：f (x ) =5x 2+bx +c (b , c ∈Z ) 中f (2), f (3) 都是整数。
但由f (x ) =5x 2+bx +c (b , c ∈Z ) 所对应的抛物线的大小，可用特殊的函数f 1(x ) =5(x -2)(x -3) 的图象（它的两个零点为2、3）来模拟，只需将它的图象向上、左右微调一下就能得到函数f (x ) 的图象。而f 1(x ) 的图象的最低点的纵坐
5标为-。因此，要向上移动使得f (2), f (3) 成为整数，且最低点仍在x 轴下方，4
则f (2), f (3) 只能是1。
3、分析：f (x ) =x 2+x +a (a >0) 的图象是由f 1(x ) =x 2+x 的图象向上移动得到，而f 1(x ) =x 2+x 的图象的小于零的区间长度只有1个单位，因此上移后的图象的小于的区间长度小于1，所以f (m +1) 是负的。
当然，这种方法，只是用特殊位置来得到答案，只能是一种辅助手段或者是用来解决填空题的一种方法，其它几个题也可用相同的想法来得到其设计思路，但若要严密的证明，还需要用代数方法来解决。
二、结合代数运算与逻辑来得到证明。
2、解：令f (x )=5(x -x 1)(x -x 2), 2
所以f (2) ⋅f (3) =25(2-x 1)(2-x 2)(3-x 1)(3-x 2)
11，(x 2-2)(3-x 2)≤得到 44
25f (2) ⋅f (3) =25(2-x 1)(2-x 2)(3-x 1)(3-x 2) ≤。所以只能是1。 16
上题中由于提到了二次函数的零点，我们应用了两根式，当然，也可以不用这个表达式，如在第4题中，我们采用了顶点式来解。 由(x 1-2)(3-x 1)≤
4、解：令f (x ) =x 2+bx +c =(x -x 0)+m ，m
因为1
所以f (1) 、f (3) 中至少有一个值小于1。
在二次函数的表达式中除了两根式、顶点式，还有一般式，在处理本文开头提到的2010年全国联赛题的解法中我们使用一般式：
解：令g (x ) =3ax 2+2bx +c ，由于对x ∈[0, 1]，有3ax 2+2bx +c ≤1恒成立， ⎧-1≤g (1) =3a +2b +c ≤1⎪13⎪则可以得到⎨-1≤g () =a +b +c ≤1， 24⎪⎪⎩-1≤g (0) =c ≤1
1而3a =2g (1) -4g () +2g (0) ，由不等式的性质得3a 的取值范围是[-8，8]。 2
8所以a max =。此法与题1的解法类似。 3
1、解：f (x ) =ax 2+bx +c (a >2) 假设存在三个整数使得f (x ) ≤1，不妨设这三个整数为n -1，n ，n +1，满足f (n -1) ∈[-1, 1]，f (n ) ∈[-1, 1]，f (n +1) ∈[-1, 1]。
所以2a =f (n -1) +f (n +1) -2f (n ) ∈[-4, 4]与2a >4矛盾。所以得证。
三、从命题者的角度来分析问题，从而找到问题的解法。
结合上面的二种处理策略，我们也可以从另一个角度来分析这组问题的设计以及破解方法。明显地，这组题是利用二次函数的图象的大小来设置的，因而先从图形的变化情况来分析，再结合图形中的所有可能变化以及满足题意的变化或者从中找到特殊函数，利用特殊的函数来解决问题。下面我们用这一思想来分析一下题5的处理过程。
⎡11⎤5、分析：在抛物线上存在两个点，横向相距1个单位，而其值在⎢-, ⎥内。 ⎣44⎦
由于二次函数的二次项系数确定为1，因此，我们用抛物线的移动来满足题意。
设计图1，令函数为y =x ，其图象（抛物线）的大小与目标函数是一致的。 在其中我们发现在这个图中只有线段AB 符合题意，而在图2和图3中我们可以从图中看到由于线段AB 的存在，是符合题意的。但若将图1中的抛物线向2
⎡11⎤上移动，则由于抛物线在⎢-, ⎥内部分的图象所对应的区间长度小于1，因此⎣44⎦
⎡11⎤不符合题意；将图3中的抛物线向下移动，则由于抛物线在⎢-, ⎥内部分的图⎣44⎦
象所对应的区间有两个，每个区间的长度都小于1，而两个区间间的距离超过1，因此不符合题意。
又注意到目标为∆=b 2-4c ，因此函数的表达式可以化为：
∆b ⎫∆⎛f (x ) =x 2+bx +c = x +⎪-。其中-是指函数图象上的最小值点。因42⎭4⎝2
此从上面的讨论中可以得到△的最大值为2，最小值为0。
另一方面，若要用代数方法用严密的逻辑关系来得到，则需用到上面的表达式来进行等价转化。
解：由题意得，要使得不等式组
22⎧1⎛⎧∆-1⎛b ⎫∆1b ⎫∆+1-≤m +-≤≤m +≤ ⎪ ⎪⎪⎪2⎭442⎭4⎪4⎝⎪4⎝有解， ⇔⎨⎨22b ⎫∆1b ⎫∆+1⎪1⎛⎪∆-1⎛-≤m +1+-≤≤m +1+≤⎪ ⎪⎪4 ⎪424424⎝⎭⎝⎭⎩⎩
⎛11⎫构造函数y =(x +1) 2与y =x 2的图象，其中A （-1，0）、B （0，0），C -, ⎪。 ⎝24⎭
1⎧2p ≤x ≤p +⎪⎪2从图中可以看出要使得不等式组⎨有解， 1⎪p ≤(x +1)2≤p +⎪2⎩
11≤p +。所以△的取值范围为[0，2]。 42
从上面的解法比较中，用图象法能够看出结果，而用代数严密证明的方法来得到从逻辑上来讲要求挺高。用两者相结合的方法可以减少思考量和计算量，因此用这种想法（数形结合）来处理这类题型我们还可以将解法优化。
四、先猜想极端位置的函数，结合代数式进行论证。
从上面的分析中我们可以看到，我们可以先猜想出一个极端位置的函数，然后再来检验我们猜想的结果，而检验的方法我们也可以换个角度来看。例如：本文开头的题我们可以把它的解法改为：
只要p ≤
⎛1⎫解：由构造，我们知道函数f (x ) =8x 2-8x +1中最小值为f ⎪=-1，最大⎝2⎭
值为f (0)=f (1)=1。所以对x ∈[0, 1]，有8x 2-8x +1≤1恒成立。
由这一点，我们知道3a =8是可能的，下面我们要证明3a >8是不可能的。 构造函数g (x ) =3ax 2+2bx +c -8x 2-8x +1
对x ∈[0, 1]，有3ax 2+2bx +c ≤1恒成立，可得
⎛1⎫g (0)≤0，g ⎪≥0，g (1)≤0。 ⎝2⎭()
而函数g (x ) =3ax 2+2bx +c -8x 2-8x +1是一个开口向上的二次函数，要符合上述条件的话，函数必有三个以上的零点，这是不可能完成的。
所以3a 的最大值是8。
从这个问题的设置来看，决定问题的答案的因素是曲线的大小，所以问题也可以用我们熟悉的三次函数，甚至四次函数来设计。例如下例：
6、已知M 是函数y =x 4+ax 3+bx 2+cx +d 在[-1，1]上的最大值， 求证：M ≥1。
分析：先猜想一个特殊函数，满足上面的要求。由四次函数的特征，我们希望这个四次函数在[-1，1]时最大值为1，最小值为-1，可以得到：
f （-1）=f（0）=f（1）=1，且为偶函数，且在极小值点时的极小值为-1。 令f (x ) =8x 4-bx 2+1，用求导法检验极小值点，可得b =8。
即函数f (x ) =8x 4-8x 2+1满足f （-1）=f（1）=1，且极大值点为f （0）=1，极小值点为f (-22) =f () =-1。 22()
假设M ＜1，即对所有[-1，1]的x 值，有y =8x 4+ax 3+bx 2+cx +d ＜1， 则对于函数g (x ) =8x 4+ax 3+bx 2+cx +d -8x 4-8x 2+1，
一定有g (-1) ＜0，g (-22) ＞0，g (0) ＜0，g () ＞0，g (1) ＜0。 22()
从而得到连续函数至少有四个零点，但函数的次数最高只有三次，即零点最多只有三个，而导致矛盾。因此假设错误，所以M ≥1。
模拟题：
1、已知f (x ) =4x 3-4ax ，若对x ∈[0, 1]有[f (x ) ]>1的解集为空集，则a =__。 2
2、已知f (x ) =x 3-ax -b ，不等式-3对x ∈[0, 1]恒成立，则≤f (x ) ≤99
a =__，b =__。
2-1⎡π⎤3、对任意的θ∈⎢0, ⎥，有不等式sin θ-p cos θ-q ≤恒成立，则22⎣⎦
p +2q =。
解法：先猜测这是极端情形，作出符合条件的图形。然后用极值点来证明这一问题。
1、f （1）=4-4a ≤1得a ≥33⎛1⎫1，f ⎪=-2a ≥-1得a ≤。 44⎝2⎭2
2、f (0) =-b ≤333，f (1) =1-a -b ≤，f () =， -a -b ≥-993939得a ≥1，得a ≤1。
3、令f (θ) =sin θ-p cos θ-q ，则有
1-22-1， ≤f (0) =-p -q ≤22
1-222p 2-1⎛π⎫， ≤f ⎪=--q ≤24222⎝⎭
1-22-1⎛π⎫ ≤f ⎪=1-q ≤22⎝2⎭
所以。