解线性方程组用克莱姆法则

矩阵在线性方程组AXb求解的应用

一、利用克拉默法则

1. 若含有n个变量和n个方程的线性方程组

的系数行列式D不为零，则该方程组有且仅有惟一解xj=Dj/D,j=1,2,...,n

局限性:

(1)Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组；

(2)Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解；

即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数行列式等于零，则Crammer法则失效。

(3）计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。

2.改进:

当系数矩阵A行列式不为零时，逆矩阵存在,此时X=A-1.b

二、Gauss消元法

一般的n元线性方程组

(或写成矩阵形式AX=B)解法是首先将其通过化为，这样方程组就等价于一个阶梯形的方程组，然后再把不处于每行中第一个非零系数的变元xj挪到方程的右边，令它们为任意参数，则方程组就可以解出了．

定理.设A与

程组无解；若秩当分别是n元线性方程组系数矩阵与增广矩阵．若秩，则方程组有解．当，则方时，方程组有惟一解；时，有无穷多个解，且通解一定含n―r个任意常数．

在Mathcad中求解,我们首先利用上述定理判断是否有解,有解时调用rref函数，计算出

rref(

说明: rref(M) 返回对矩阵M的行施行初等变换后化简的矩阵

问题:

1.求解线性方程组

),所得结果最右面的列就是该方程组的解

2.求解下列线性方程组

题

题B

题