量子力学导论答案完整版(下)

第六章 中心力场

6.1) 利用6.1.3节中式(17)、(18),证明下列关系式

1

相对动量 prm2p1m1p2 (1)

M

总动量



PMRp1p (2)

总轨迹角动量LL1L2r1p1r2p2RPrp (3) 总动能 T

2p12p22Pp

2











(4)

2m1

2m2

2M

2

反之,有 r

1Rmr, r2Rr 1m2

p1

mPp,p

2

2

mPp 1

以上各式中,Mm1m2, m1m2

m1m2

证: R

m1r1m2r2m , (17) rr1r2, (18)

1m2

相对动量 

pr

m1m2



mrr1m12m2p11p2 1m2

M 

总动量 PMRmmr1m2r2

1m21mmp1p2 12

总轨迹角动量 LL

1L2r1p1r2p2

(5)

uRmrpu

1Rr

p2 1m2Rp1p2

r

1M

m

2

p1m1p2

(1)(2)

RPrp

由(17)、(18)可解出r

1,r2,即(5)式;由(1’)(2’)可解出(6)。

2

2



总动能T

p22Pp

1p6m2m22

mPp1

12m22m1

2m

2

2

2

2

2

u

2

2m2

P

p

uPp

u

2P

p

uPp1m2

2m1

m1m2m2

2

1m2

2m

2

m

1m2

(5)

6)

1’)

2’)

(( (

m1

2m1m22Pp

2

2

P

2

m2

2m1m2

2

P

2

1

11

 p2m1m2

2

(4’)

2M

2

[从(17),(18)式可解出(5)式;从(1),(2)式可解出(6)式].

6.2) 同上题,求坐标表象中p、P和L的算术表示式

pii

rPR,LRPrp

解: p

1M

m

2

p1m1p2

iM

m

2

r1m1r2

其中 

r1

i

xj

k

1

y1

z,1

m1x

X

x1

x1Xx1x

MX

x,

同理,m1

m1y1

MY

yzMZ

z

1

(利用上题(17)(18)式。)

 m1r1

M

Rr;仿此可设 m1r

2

M

Rr 代入(1)中,得 p

iM

m1m2m1m2

MRm2rMRm1r 

ir Pp

1p2i(2)

r1r2

i

R

LRPrp

只要将(3)、(4)式中的p、P以相应的算符代入即可。

6.3)利用氢原子能级公式,讨论下列体系的能谱: (a)电子偶素(positronium,指e

e

束缚体系) (b)u原子(muonic atom)

(c)u子偶素(muonium,指u

u束缚体系) 解:由氢原子光谱理论,能级表达式为:

1)

2)

3)

4)

((( (

4E1n

ue2。

2

n

2

, u

mempmemp4(a)电子偶素能级 Eue1n

4

2

n2

,(u

memem

meeme

2

(b)u原子能级 Ee4

1mumpn

uu2n

2

,(um

2

u

)ump

(c)u子偶素能级Em4

ue1n4(

2

n

2

,u

mumum

mu)

umu

2

6.4)对于氢原子基态,计算xp。

解:

r

氢原子基态波函数为 1

2

100

 a3e

0

宇称为偶。由于均为奇宇称算符,所以 x0, p x0 由于100各向同性,呈球对称分布,显然有

x

2

y

2

z

2

12

3

r p2

2

p2

1xpyz

3

p

2

容易算出 r2

r2

2

100d

r

1e2r

a0

2

 

a3

rsindrdd3a0 0

p2



2



2

2

100

100d



100

100100100d

2



2



2

d2

2

2100

r100rsindrdda

0 因此 x

2

a2

x

x2

x

2

0, a0 2p2

,p2

2

x 3a2

xpxpx

3a 0

xpx

3

测不准关系的普遍结论是 xpx

2

显然式(8)和(9)式是不矛盾的。而且

3

很接近式(9)规定的下限

2

。1)2)(3)4)5)6)

7)8)9) (

( (

6.5)对于氢原子基态,求电子处于经典禁区r2a(即EV0)的几率。 解:氢原子基态波函数为 1

1003

e

r

a

,a

2

a

ue

2

相应的能量 Eue4e

2

1

2

2



2a

2

动能 TrEe

1V

e

22a

r

TEV0是经典不允许区。由上式解出为r2a。

因此,电子处于经典不允许区的几率为

p

1

22ra

a

3

e

r2

drsindd(令2ra)

2a00

4a3

a3e



2

d13e40.2381

2

4

6.6)对于类氢原子(核电荷Ze)的“圆轨迹”(指nr0,ln1的轨迹),计算 (a)最可几半径; (b)平均半径; (c

)涨落r

r

2

r

2

12

解:类氢原子中电子波函数

nlm

可以表示为

1nlm

RnrlrYlm,

r

unrlrYlm, (a) 最可几半径由径向几率分布的极值条件 ddr

unrlr0 决定。ln1时,nr0。

una

0,n1rCrn

e

Zr

代入(2)式,容易求得 rn2

几a0Z 这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。 (b)在

nlm

态下,各r之间有递推关系(Kramers公式)

1a2n

2

r



2r1

Z

r

1

4

2l1

2



2

a2

Z

2

r

0 (参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197) 在(5)式中令

0,注意到r01。可设

1)

2)

(4)(5)

( (

1r

nlm

Zna

2

(6)

依次再取1,2,得到

12

r

nlm

3n

2

ll1

Za

(ln1)

2nZ

n (7)

2a

(c)r2

nlm

Z2

15n3ll12a

n

2



2(ln1)

1Z2

nnn1 (8)

2a

2

因此,r的涨落

r

r

2

r

212

2

n3na

24Z (9)



rr

n2

n

2

n2

12n1

(10)

可见,n

越大,r

r越小,量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。

6.7)设电荷为Ze的原子核突然发生衰变,核电荷变成Z1e,求衰变前原子Z中一个K电子(1s轨迹上的电子)在衰变后仍然保持在新的原子Z1的K轨迹的几率。

解:由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的K电子,其波函

Z

Z,r3

a

2

Zr

数仍未 100

e

(1) Z1

Z1,r3

a

3

2

而新原子中K电子的波函数应为 100

e

Z1r

a

(2)

将100Z,r按新原子的能量本征态作线形展开:

100Z,r

C

nlm

nlm

nlm

Z,r (3)

nlm

则衰变前的1s电子在衰变后处于新原子的

pnlmCnlm

2

Z

2

1,r态的几率为

Znlm1100Z (4)

因此,本题所求的几率为

p100100Z1100Z

2

Z

3

Z

2

1

6

3

a

42e2Z1rar2dr

2

Z

3

Z1

3

1

Z

2

6

11

11

Z2Z

36

(5)

展开时保留到第三项

当Z1,上式可近似取成 p1001例如, Z10, p1000.9932;

Z30, p1000.9992。

34Z

2

(5’)

6.8)设碱金属原子中的价电子所受电子实(原子核+满壳电子)的作用近似表为

Vr

e

2

r



ear

2

2

(01) (1)

a为Bohr半径,求价电子的能级。

118'''

ll1提示:令ll12ll1,解出

222l12

解:取守恒量完全集为H,L2,Lz,其共同本征函数为

r,,RrYlm,

ur满足径向方程

222

eea

ull12uEu (3) 2

2ur2urr

urr

Ylm, (2)

2

"

令 ll12ll1 (4)

'

'

22

''eull1式(3)就可以化为 uEu (3’) 22ur2ur

2

"



'

相当于氢原子径向方程中l换成l。所以式(3’)的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为

En

e

22

2na

'

, nnrl1, nr0,1,2, (5)

将l换成l,即得价电子的能级:

e

2'2

Enl

2na

,nnrl1 (6)

''

'

通常令 lll (7)

nnrll1nl (8)

'

。由于1,可以对式(4)作如下近似处理: l称为量子数l和n的“修正数”

''

ll12ll1llll1ll12l1ll



2

略去l,即得 ll

2

1

 (9) 2

由于1, l1,因此,本题所得能级Enl和氢原子能级仅有较小的差别,但是能级的“l简并”已经消除。式(6)和碱金属光谱的实验资料大体一致,尤其是,修正数 l随l之升高而减小,这一点和实验符合的极好。

18'

式(4)的精确解为 ll1

222l12

1

12

(10)

若对上式作二项式展开,保留项,略去2以上各项,即可得到式(9)。

6.9)在二维谐振子势Vx,y

12Kxx

2

12

Kyy中的粒子,求解其能量本正值。对于二维各向同性

2

(KxKyK)的谐振子,求能级的简并度。(参 书卷ⅠP302-303) 解:

第七章 粒子在电磁场中的运动

7.1)设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场B中运动,求能级本征值和本征。 (参《导论》P225)

解:以电场方向为x轴,磁场方向为z轴,则

,0,0, B0,0,B (1)

去电磁场的标势和矢势为

x, A0,Bx,0 (2)

满足关系 , BA

粒子的Hamiton量为 H12

2up2pqBxp2

qx xyzC

取守恒量完全集为H,py,pz,它们的共同本征函数可写成

x,y,zxe

ipyypzz

其中Py和Pz为本征值,可取任意函数。

x,y,z满足能量本证方程: Hx,y,zEx,y,z

因此x满足方程

12

2qB2upxp2

xpzxqxxEx y

C

亦即,对于x来说,H和F式等价:

2H

2

q2B22ux

2

x2

qqB1222uC

2

uCpyx

2upypz

2

2

2B2222

12ux

2

q2uC

2

xx0

2

qB2uC

2

x0

2u

p

2y

p2

z

 uC

2

其中 xqBuC0

pyq2B2qC

 uCpyqBBu 式(6)相当于一维谐振子能量算符

2



2122ux

2

2

u

2

xx0, 

qBuC

再加上两项函数,因此本题能级为

1q2

B2

En1

22uC2

x202up2yp2

z

3) 4)

(5) 6)

7) ( ( ( (

n1

2BqC22

uCp1p2

uC2B2

By2uz (8) 其中Py和Pz为任意实数, n0,1,2,

式(4)中 为以x为xx0变量的一维谐振子能量本征函数,即

x2

2

nxx0Hne



(9) Hun为厄密多项式,

xxqB

0C

xx0 。

7.2)设带电粒子在均匀磁场B和各向同性谐振子势Vr1

22

r2中运动,求能量本征值。

第八章 自旋

8.1) 在z表象中,求x的本征态。 解:在z表象中,x的矩阵表示为:

01

1 0

1aax

a0

设x的本征矢(在z表象中)为b,则有



10bb 

可得ba及ab 21,1 。

1, 则ab; 1, 则ab 利用归一化条件,可求出x的两个本征态为

1,

111; 1, 11

1 。 22

8.2) 在

z表象中,求n的本征态,nsincos, sinsin, cos 是,方向的单位矢.

解:在z表象中,的矩阵表示为

x01

i

10, y0





i0, z

1

0

1

0 (1) 

因此, nnxnxynyznz



nznxinycossine

i

nx

in

yn

cos (2)

zsine

i

设a

n的本征函数表示为b,本征值为,则本征方程为



0,即 

cos

sine

i

n

sicosa

0 (3neib

) 由(3)式的系数行列式0,可解得1。

对于1,代回(3)式,可得

a

sine

i

cos

2i1nxnxinyb1cos sine2n

xiny1nx

归一化本征函数用,表示,通常取为

i



cos



1,2 (4) sinei

2或cose2

i

sin2e



后者形式上更加对称,它和前者相差因子ei2,并无实质差别。若用n

的直角坐标分量来表示,可以取为

111n

1nznxiny

21n

znxiny

或21n

 (4’) z1nz

如n1,二者等价(仅有相因子的差别)。若n0,0,1,应取前者;若n

z0,0,1,应取后者。

对于1,类似地可以求得

a1cose

i

sin



21nxb

sin

einxinycos

2n

xiny1nxi

sin

sin或e

1,

 (5) cosei

2

2i

cose2

2

或 1

1

1n

nxiny1nz

 (5’) 1nz1nz或

221nznxiny

若n

0,0,1,取101,取11; 若n0,0,10。 

8.3) 在s1z本征态1sz0下,求sx2

和s2



y。 2

解:s2

2

xsxsx

2

sxs2

x

但 s22

x

4(常数矩阵)

, sx

2

1

00

101, 

100

 s2



2

s2

2

x

4,类似有y

4。

8.4) (a)在sz本征态下,求n的可能测值及相应的几率。(b)同第2题,若电子处

2

于n1的自旋态下,求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。

解:(a)利用8.2)题求得1

n的本征函数,容易求出:在自旋态中,n1的几率为 2

0

2

2

11cos

(1)

2

2

1nz n1的几率为

2

1sin

2

2

2

z

12

1nz (2)

(b)在自旋态1n1态,

2

2

1的几率为

12

11

2

cos

2

2

1nz (3)

2

z

1的几率为:

12

1

2

sin

2

12

1nz (4)

z

1nz1

2

12

1nz1

2

nz

2

[或

z

cos

2

1sin

2

1cos

2

sin

2

2

cosnz (5’)]

考虑到 nxnxynyznz,

各分量以及n各分量在n的构造中地位对称,所以利用式(3)、(4)、(5),作x,y,z轮换,就可推论出以下

各点:

x

1的几率为

12

1nx, (6)

x

nx (7)

12

y

1的几率为

1n (8)

y

y

ny (9)

将式(5)、(7)、(9)合并写成矢量形式如下:

自旋态1n1中,

n (10) 类似地,容易算出:自旋态1n1中,

解二:(a)在

z

n (11)

1自旋态1中,

2

n

的可能测值为本征值1;设相应的几率为w及w,则

nw1w1ww (12)

由于 nxnxynyznz (13) 考虑到在z的本征态中

x

和

y

的平均值为0,

z

的平均值即为其本征值,因此在态下,

2

nznz1nznzcos (14)

由式(12)、(14),并利用ww1,就可求出

w

12

1nz,

w

12

1nz (15)

此即解一中的式(1)、(2)。

(b)在式(14)中,是z轴和n的夹角。 z轴和n的选取是任意的。完全可以将原来的z轴作为新的n轴,而原来的n取作新的z轴。由此可知:在n1的自旋态中,z的平均值仍为cos,即nz。再令x,y,z轮换,即得自旋态1

n1中,n (10)

在1态下各分量的取值大部分当然均为1,其几率也可估照(a)中计算而写出,即





x

1的几率为1的几率为

121212

1nx (6)

y

1n (8)

y

8.5) 证明e

i

z

z

1的几率为

1nz (3,4)

xe

i

z

cos2

x

sin2y(为常数)[量Ⅱ]

8.7)由两个非全同粒子(自旋均为

2

)组成的体系,设粒子间相互作用表为HAs1s2 (不考虑轨迹运动)。

设初始时刻(t0)粒子1自旋“向上”s1z12,粒子2自旋“向下”s2z12。求时刻t0时,

(a) 粒子1自旋向上的几率(答:cos2At2,取1) (b) 粒子1和2的自旋向上的几率(答:0) (c) 总自旋s=0和1的几率(答:都是2)

(d)

求和的平均值(答:s

1xs1ys2xs2y0,s1z

解:从求体系的自旋波函数入手,由于

HAs1s2

A23

s (1) 22

2

12

cosAt,s2z

12

cosAt)。

易见总自旋s是守恒量,所以定态波函数可以选为s、sz的共同本征函数,按照总自旋量子数s的不同取值,本征函数和能级为

s1,s0,

1M,

s

00,

E1A4,

 (2)

E03A4

t0时,体系的自旋态为

012

因此,t0时波函数为

12

1000 (3)

t

即 t

12

12

10e

iE1t

12

00e

iE0t

(4)

1212eiA4

12

1212e3iA

AtAtiAt

12cosi12sine22

4

(4’)

(a)由式(4’)可知,在时刻t,粒子1自旋“向上”[同时粒子2自旋“向下”,相当于12项]的几率为cos2

At

。

2

(b)粒子1和2自旋均“向上”[相应于12,式(4’)中没有这种项]的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋sz为守恒量,而体系初态sz0,所以任何时刻sz必为0,不可能出现两个粒子均“向上”sz1的情形。

(c)由式(4)可知,总自旋量子数2

s取1和0的几率相等,各为2。由于s守恒,这个几率不随时间改变 (d)利用式(4’)容易算出s1和s2的平均值为

s1xt

s1yts2x

ts2y

t

0, 

s

1

2

At

1zt

2cos

2sin2At21cosAt,2 (5) s2z

t

s1z

t

12cosAt 。



第九章 力学量本征值问题的代数解法

9—1) 在8.2节式(21)中给出了自旋()与轨迹角动量(l)耦合成总角动量j的波函数ljm,这相当于

2

j

j1l,j2s的耦合。试由8.2节中式(21)写出表9.1(a)中的CG系数

12

j1m1

2m2jm

解:8.2节式(21a)(21b):

j

l12 (l0),m

j

m12

1

lm1Ylm

ljmj

2l1lmY lm1



jl12,mjm12

1

jmjYj12,m1j2

2j (21a) 

jmjY



j12,m1j2

l

j2

1

lmYlmljmj

2l1 lm1Ylm1

jl1

2 (l0),mjm1

2

1jmj1Yj1

,m1

(21b) 2j2

2j2jm j1Y1j2,m1

j2

lj2

此二式中的l相当于CG系数中的j1 ,而j2s2

,mj~m,,~m1,m212。

因此,(21a)式可重写为

jm

j

1m1j2m2j1m1j2m2jm

m2

j111m1

22

jm

j111m1

22

j11m1

2

12

jm

j11m1

2

12

jm121111(21a),jl12j11

2

2jj1m11122

 (21a’) j1m12111j1m12j1122

对照CG系数表,可知:当jj1j2j112,m22时 ,

1

j111mj1m12

1

22

jm

2j

1+1

而m22

时,

j1m1

12

12

jm

j1m12

2j1+1

2

对于jl12j112的(21b)式,有

1

j

1m1

112212

j1

12

,m

j1m12

2j1+1j1m122j+11

2

j1m1

12

j1

12

,m

9-2)设两个全同粒子角动量jj1j2,耦合成总角动量J,

jJM

2

m1m2

jm1jm2JMjm1

1

jm2

2 (1)

利用CG系数的对称性,证明

p12

jJM

2



2jJ

jJM

2

由此证明,无论是Bose子或Fermi子,J都必须取偶数

证:由式(1),

p12

jJM

2

m1m2

jm1jm2JMjm2jm1JM2jJ

jm1

22

jm2

1 1 1

jm2

把m1m2,

m1m2

jm2jm1

利用CG系数的对称性 





m1m2

j1m2j2m1JMjm1

2

2jJ

jJM

2

(2)

对于Fermi子,j半奇数,2j奇数,但要求p12, 即要求

2jJ

1,所以J必须为偶数。

Jmax2j1,(Jxam

2j情况,只能构成交换对称态,为什么?)因此

J2j1,2j3,2,0

可验证:态

jJM

2

的总数为j2j1。 [2J1j2j1]。

J0

2j1

对于Bose子,j整数,2j偶数,但要求p12 即

2jJ

1 ,故J也必须为偶数

J2j,2j2,2,0

9-3)设原子中有两个价电子,处于Enl能级上,按LS耦合方案,L1L2L,s1s2s,LsJ(总

角动量)

证明: (a)Ls必为偶数;

(b)JLs,,Ls。当s0时,JL(偶); s1时,JL1,L,L1,J可以为奇,

也可以为偶。

证: 自旋的耦合:s1s21.(对称,三重态)

,s 20.(反对称,单态)

轨迹角动量的耦合:l1l2l,L2l,2l1,,1,0.

其中L偶是对称态,L奇是反对称态,总的波函数(对于交换全部坐标,包括自旋)要求反对称,所以

s0时,L2l,2l2,,0. s1时,L2l,2l1,,1.

在两种情况下,Ls都为偶数,但 JLs,,Ls

对于s0,JL偶;

s1,JL1,L,L1。 J可以为奇,也可以为偶

[讨论本题结论与题9-2有无矛盾?(按jj耦合方案,似乎J必为偶数)。提示:在本题中,若用jj耦合来分析,j?是否只有一个j值?两种耦合方案得出的态数是否相等?]

9-4)大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态即2j1。 提示:利用

jmjm00

jm

jj00

, 证明j1zj2zj,j1,,j的几率却相等,

) 2j1(P235,式(23)jj00,

j1m1j2m2JM

证:Dirac符号表示,有 

j1j2

JM

JM

jj

00

j1

j2JM

j1m1j2m2

m1

(1)

在本题的情况下,j1j2j,JM0,m1m2m。 则(1)成为

jj00

m

jmjmjmjm00 (2)

其中jmj

m00即为耦合表象中的态jj00用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数,其模即表示体系处于jj00态时,测得j1z取值m(同时J2z取值m,m取j,j1,,j各可能值)的几率。

由提示,jmjm00

jm

2j1 (3)

 jmjm00

2

12j1

(4)

即,对于给定的j1j2j所合成的态2j1。

jj00

,j1zj2zj,j1,,j的几率与m的具体取值无关,皆为

9-5)设J1

J2J,在j1j2jm态下,证明(取1)

j1x

j1y

j2x

j2y0,

j1z

m

jj1j1j11j2j21

2jj1

jj1j2j21j1j11

2jj1

j

2zmmj1z

证:(参剖析,8.68等)

9-6)在L2,Lz表象(

以为lm基矢)中,l1的子空间的维数为3,求Lx在此三维空间中的矩阵表示,再利用矩阵方法求出Lx的本征值和本征态

解:在L2,Lz表象中,l1的子空间中的基矢为lm1m,m1,0,1。由于

J

jm

j

m1jm1

212

jm1

jm1Jxjmjm1JxjmJx

12

jm1

jm jm1jm

JJ1。

对于本题,以上方式中jl,JxLx,JL,JzLz 不难求得

Lxmm

'

Lx11Lx00Lx11Lx11Lx110

Lx10Lx01Lx01Lx10

2

22

 Lx在此三维空间中的矩阵表示为[L,Lz表象]

02

Lx1

100

1 (1) 20

1

0

设Lab

x的本征值为1,本征矢为,则本征方程为

c

10a211

b0 2201

2



c此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零,由此可解得本征值:210,

1,0,1. 将1代入(2),可得

ab

2

0, a

2bc

2

0, b

2

c0。

a由此得 acb

2, bb

1

2 2c1

归一化

b

2

2

1211,取 b2

1 1

122 ~1 1

同理,将0,1分别代入(2),可求得

1 11

222 ~0 ;3

1

2 ~1 。 121

2)3)4)

( (

第十章 定态问题的常用近似方法

10-1) 设非简谐振子的Hamilton量表为HH0H'

2

H0

d

22

2udx

12

22ux

'3

Hx(为实常数)

用微扰论求其能量本征值(准到二级近似)和本征函数(准到一级近似)。 解:已知H0

(0)

(0)

n

En

(0)n(0)

,nNne

2

x

2

Hnx,

En

n

,2

u

x

xn

xn

12

12

2



3

n

n1

n1

n1

n

x

2

nn1

n2

2n1

n1n2n2

3n1n1

x

3

xn

122

(1

)

n

nn1n2

n3

3nn

n1n1

n1n2n3n3计算一

级微扰:En

H

'

n

n

x3

n

0。

(也可由E

(1)

n

Hnn

'



n

x

2

3

xdx=0(奇)直接得出)

计算二级微扰,只有下列四个矩阵元不为0

n3

x3

n

22

3

nn1n2Hn3,n

'

n1

x3

n

22

3

3nnHn1,n

'

n1

x3

n

22

3

3n1n1Hn1,n

'

n3

x3

n

22

2

3

n1n2n3

2

Hn3,n

'

计算H

'

2kn

:H

'

n3,n

nn1n2

8

3

2

6

HH

'

n1,n

2

9n9n

3

88

6

'

n1,n

2

26

Hn3,n

'

2

n1n2n3

2

8

6

)(0)(0)

又En(0)En(03,EnEn1, 3

En

(0)

En1,En

(0)(0)

En33,

(0)

 EnEn

(0)

EnEn

(1)(2)

En

2

(0)

Hnn

'

k

'

HknEn

(0)

'

2

Ek

(0)

130n30n11

n34

28u

22

n



(0)

n



(1)n



(0)n

k

'

HknE

(0)n

'

Ek

(0)

(0)

k



(0)n

13

223

nn1n2

(0)n3

3nn

(0)n1

3n1n1

(0)n1

13

)

n1n2n3n(03



10-2) 考虑耦合振子,HH0H' 参 书.下册§9.2

222222uxx21

H0

12

u2x12x2 2



H'x1x2(为实常数,刻画耦合强度) (a)求出H0的本征值及能级简并度。

(b)以第一激发态为例,用简并微扰论计算H'对能级的影响(一级近似)。 (c)严格求解H的本征值,并与微扰论计算结果比较,进行讨论。 提示:作坐标变换,令x1

12



,x2

12

,则H可化为两个独立的谐振子,,称为简正坐标。

解:(a)H0的本征函数和本征值可分别表为

n1n2

x1,x2nx1nx2 (1)

1

2

11

En1n2n1n2

22

n1n21,n1,n20,1,2, (2)

令 Nn1n2 (3) 则能量表示式可改为 ENN1,N0,1,2, (4) 由式(3)可以看出,对于N0情况。能级是简并的,简并度为N1。 (b)N1为第一激态(基态N0),能级为二重简并,

21

能量本征值为 E12 相应的本征函数为0

,分别记为f1x1,x2和f1x1,x2。x11x2与1x10x2(或考虑它们的线形迭加)

利用

x

n

12

n

n1

n1

n1

不难得出:W11W220 W12W21f1,x1x2f2

x1,x11x11x2,x20x2



12

2



2u

(实) 代入方程 de)uvE(1uv0 得 E(1)



2u

E

(1)

0

2u

解之,得 E(1)



2u

因此,原来二重简并的能级E1变成两条,能量分别为

E2

2u

能级简并被解除,类似还可求出其他能级的分裂,如图所示。 (c)严格求解如下: 令 x1

12



, x12

2

 其逆变换为 11 2

x1+x2,

2

x1-x2 易证:

x2+x2=2

+2

1

1

xx22

122  22x2x222

212

因此,S.eq: 2222u22x

11x22u2x21x2

2

x1x2

E变为 222



1

2u

22u2





2



2



2



E

12

2

2

122

12

2

2

u2

2

12

u21,

2

u

2

2

2

u2

(5)

(6)

(7)

(7’)

(8) (9) (10)

22

1u1u

22

22

2

22

21u

2

(11) 



E (12) 

于是方程(10)变为

2212u1

2u2

22122

u22u2

2

是二彼此独立的谐振子,所以可以取



n1

n

2

n1



n2



12

n1

n1!

n2!

Hn11e

1

22

2

,1

u1

22

n1

Hn22e

2

22

,2

u2

(13)

相应的能量为

11

En1n2n11n22

22

n1,n20,1,2, (13)

当u时,由(11)式,得

2

11u21u

此时 Ennn1

12

2

2

12u

2u

1

1

2

2

 



12

n2

1

n2n1

22u

N1n2n1



2u

(14)

N1(第一激发态)的情况下,可有n1,n21,0与0,1两种情况(二简并态),相应的能量分别为 E102



2u

,E012



2u

能级分裂 EE01E10与微扰论计算结果一致。



u

10-3) 一维无限深势阱0xa中的粒子,受到微扰H'作用

H

'

x

2xa, 0xa2

21xa, a2xa

求基态能量的一级修正。

解:一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为

23

22

E

(0)2nxn

2ua

2

,

(0)n

2asin

na

,n1,2,3,

22基态 E

(0), (0)

21

2ua

2

1

a

sin

xa

基态能量的一级修正为

E

(1)'

1

H11

a

x2

H'

1xdx

2

a2

2

x2x

a

a

sinaadx

2a

a2

sin

2

x

a2

1x

adx 作变换u

x

au

a

a

,x

,dx

du;

vx

,xa

av

a

a

,dx

dv。

代入上式完成积分,

E(1)

42

1

2

sin

2

uudu

4

2



sin

2

vvdv

8

2

uudu1

2

2

0

sin

2。

2

10-4) 实际原子核不是一个点电荷,它具有一定大小,可近似视为半径为R的均匀分球体它产生的电势为

Ze31r2



RrR

r22R2, Zer

,

ra

Ze为核电荷,试把非点电荷效应看成微扰,

Ze231r2Ze2H'

R

22R2

R,rR

0 ,

ra

计算原子的1s能级的一级微扰修正。 解:.类氢离子中1s轨迹电子波函数为

1

1s

Z32

e

Zra

a3



a为波尔半径,1s能级的微扰论一级修正为

E

(1)2'1s

1sH'

1s

R

1sH4r2

dr

由于核半径R远小于原子半径aZ,积分时可取

e

2Zra

1

24

从而求出 E1(s1)

4Zea

3

42

2

R

42

r3rr32R2R422

2ZeR4ZR(0)drE1s3

55aa

2

2

其中 E

(0)

1s



Ze2a

2

为类氢离子的基态能级。

10-5) 设氢原子处n3能级,求它的Stark分裂。

提示:参阅10.2节中例1。注意n3能级简并度为9,考虑到微扰H'eZ相应的选择定则,此9维空间可以分解为若干个不变子空间。

解:加电场前,能级共对应有9个状态。零级波函数形式为

nlm

RnlrYlm, (1)

n3的9个态分别记为:

1320,

2

310

3

300,m

0;

4

321,5311,m1;

63217311m1;8322m

2;9322

视外电场为微扰,微扰作用势

m2; (2)

HereZercos (3)

'

R32 3

8130a2

2

8rrar

R311  (4) e3

a6a2276a

222r2rr3a

R30e13

3a27a33a2

4

rrea

2

a

将H'写成 Hea

'

'

ra

cosW,W

ra

cos。 (5)

由于H,Lz0,所以H'作用于

nlm

的结果,磁量子数m不变。又因为

cosYlmalmYl1,mal1,mYl1,m (6)

alm

l12m2



2l12l3

(6’)

H作用于

'

nlm

,量子数l将改变1。因此在计算微扰矩阵元Wuv中,只有W12W21,W23W32,W45W54,

W67W76不为零。

先算径向积分:

R32

ra

R31rdr

2

92

5,R31

ra

R30rdr92

2

25

再求出: W12W2133,W23W3236,

W45W54

92

, W67W76

92

再代入方程 deuvE(1)uv0,得

{

E

(1)

330000000m0

33E

(1)

36000000036E(1)

000000m1

{000E

(1)

92000000092E(1)

00000m1{

00000E

(1)

92000000092E(1)

00m2

{0000000E(1)

0m 2

{

E

(1)

E(1)3

E(1)

2

9

2

E

(1)

2

92

2

2

0

 E(1)

93

0,0,0,2

ea,

92

ea,9ea。

E

(1)

330

(由33

E

(1)

360,解得E(1)

0,9,9)

36

E

(1)

E(1)

(由

92092

E

(1)

 ,解得E(1)92,92)

结果,n3的能级分裂成五条:

E0)

(0)

31E(3

9ea,E0)

32E(3

92

ea,E(0)33E3,E34E(0)

3

92

ea,E35E3

9ea。

10-6) 设HH'

0H,

HE(0)0

10b

0E(0)

,H'

a

a(a,b为实数) 2

b

用微扰论求解能级修正(准到二级近似),并与严格解(把H矩阵对角化)比较。 解:(1)由H'表达式可见,微扰哈密顿的矩阵元为

H'

'

'

'

11H22a,H12H21b

代入能量的微扰论二级近似公式

'

2

E(0)

'

HknnEn

H'

nn

k

E(0)

n

E(0)

k

即26

得 E1E

(0)1

a

bE

(0)2

2

(0)1

E

,E2E

(0)2

a

bE

(0)2

2

(0)1

E



(2)直接求能量。设H的本征矢为,对应的本征值为E,则本征方程为



E1(0)ab

E1(0)aE

即 

b

bE2

(0)



ab



E 

0 

E2

(0)



aE

,有非零解的条件为

E1

(0)

aEb

E2

(0)

baE

0

即 E1(0)aEE2(0)aEb20 这是关于aE的二次方程,其解为

1(0)(0)

E1E22

aE

E

1

(0)

1

E2

(0)



2

4b

2

 

2



12

12

E

E

(0)

1

E2

(0)

E

2

(0)2

E1

(0)

1

2b

E(0)E(0)

12





(0)1

E

(0)2

E

2

1

(0)2

E

(0)1

22b

1

(0)(0)E2E1



2







12

E

(0)

1

E

(0)2

2

1b(0)(0)

E2E1(0) (0)

E2E12



以上的近似符合定态微扰论的要求,

bE

(0)

2

E

(0)1

1,

即微扰矩阵元小于能级差。上式分开号再写一步,得能级的二级近似

E1E

(0)1

a

bE2

(0)

2

(0)

E1

, E2E

(0)2

a

bE2

(0)

2

(0)

E1

这与(1)中用微扰论公式求得的结果完全一致。

10-7) 对于一维谐振子,取基态试探波函数形式为e解:设基态波函数Ce

x

2

x

2

,为参数,用变分法求基态能量,并与严格解比较。

,归一化,得

27



Ce

x

2

2

dxC

2



e

2x

2



dxC

2

2

2

1,

2

取 C



2

,    



2

e

x

2

Hx



d

22

2udx

*

12

ux

22

2



x

2

2d2122

x2

E



Hdx



e



2udx2

2uxe



22



2x

2



12xdx

12

x

2

x2

dxu

e



2

u

e

2

2



2

2u

u8

E

2

u2

2u

2

, 得 8

0

u2

考虑x在x处要求有限的条件,取 u12

2

2

代入式(1),得谐振子(一维)基态能量

E0

12

与严格解求得的结果完全一致。

10-8) 对于非谐振子,H

2

d

24

2u2

dx

x,取试探波函数为

e

2

x

2

x

(与谐振子基态波函数形式相同),为参数,用变分法求基态能量。

2

222

解:

*d3

2

2u



e



2

x

2

1

2

x

2

dx

dx

2

0dx2u

4u







x4

2

dx

x4

e



2

x

2

dx

3 



4

4

2

E

TV

2

4u

34

4

E

2



0,得



2u

3

5

0,

dx (1) (2) (1)

(2) (3)28

解得 

2

6u

2

3

(4)

2

233

代入(3),得基态能量 E042u

(5)

10-9) 氢原子基态试探波函数取为e严格解比较。

解: 10-10)

设在氘核中的质子与中子的相互作用表成VrAera,(A32Mve

a

ra

2

,a

ue

22

(Bohr半径),为参数,用变分法求基态能量,并与

,a2.210

15

。m)

设质子与中子相对运动波函取为er

解:取 Ne归一化,2

r2a

,为变分参数,用变分法计算氘核得基态能量。

, (1)

2

ra

d4Ne

03

1

rdr1,

2



得 N8a3



(2)

212r

rAe(而Hamilton量为 H2ur2rr

TV

d

Td 2udr2u2a

AN

2

2

2

2

2

4

e

ra

e

r

2

rdrA

18ua

2

22

3

因此 E

V

A (3)

1

3

其中u为质子-中子体系的约化质量,即

u

E

mpmmpm

469.45Mevc

2

由极值条件0,求得最佳值满足的方程:

1

4

22

12uaA

(4)

给定了上式右端各参数值之后,可用数值法求出的最佳值,相应的E最小值可以表成

29

E

22

4ua

2

1 (5) 23

11

式(4)中,

22

12uaA

c2

12ucaA

2

2

0.04531

由式(4)求得最佳值为 1.326 (6)

代入(5)式,即得 E2.15Mev (7)

氘核基态能级的实验值为E2.23Mev,二者相差约3.6% 。

式(1)作为基态波函数的近似表达式,虽不十分准确,但简明易算。例如,由式(1)易得基态最可几半径为

r02a3.26 (fm) [fm:10

15

m] (8)

和公认的数值基本一致。最可几半径由径向几率密度的极值条件决定,即满足

ddr

r

2

2

0 rr0

由式(1)还可求出基态平均半径为

r

r

2

d3a4.89 (fm) (9)

10)

30

第十一章 量子跃迁

11—1)荷电q的离子在平衡位置附近作小振动(简谐振动)。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为(a)跃迁选择定则;(b)设离子原来处于基态,求每秒跃迁到第一激发态的几率。 ,波长较长。求:

11—2)氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用t0t。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率(取0沿z轴方向来计算)。 解:令r,t



Ct

n

n

n

re

iEnt

(6)

初始条件(5)亦即 Cn0n1 (5) 用式(6)代入式(4),但微扰项H'中取初值1(这是微扰论的实质性要点!)即得

n

i

dCn

n

dt

e

iEnt

H1e0z1t

'

*以n左乘上式两端并全空间积分,得

i

dCdt

n

e

zn1te

iEnt

再对积分,由t0t0,即得

Cnt

e0i

zn1 n1 (7)

因此t0时(即脉冲电场作用后)电子已跃迁到n态的几率为[可直接代入 P291式(23)、P321式(15)而得下式]

PnCnt

2

2e

0zn1 (8) 

2

根据选择定则l1,m0,终态量子数必须是

nlmn10

即电子只能跃迁到各np态l1,而且磁量子数m0。 跃迁到各激发态的几率总和为

n

e'

Pn0



2

n

'

zn1

2

e

0zn1

n

2

2

z11

2

 (9) 

其中

z111z10 ( z为奇宇称)

n

zn1

2

n

1z

n

n

z11z1

2

13

1r1a (10)

22

a为Bohr半径,代入式(9)即得

n

ea'

Pn0 (11)



2

电场作用后电子仍留在基态的几率为

1

'

ea

Pn10 (12)

2

n



11—3)考虑一个二能级体系,Hamilton量H0表为(能量表象)

HE1

00E , EE

12 , 2

设t0时刻体系处于基态,后受微扰H'作用,

H'





 , 

求t时刻体系处于激发态的几率。

解:t0时,体系HH'

0H ,其矩阵表示(H0表象)为

HH'

E1

0H

E 

2

设H的本征函数为

E

C11C2

C1

2

 C 2

代入本征方程 HE

E

E

得到

E1E

C1C20

C1

E2EC 20上式存在非平庸解的条件为

E1E

EE1EE2E

2

0

2E

由此解出 E

1

2

2

E1E2E2

E1

2

4



E

令 E11

,,

2

E2

21 式(5)可以写成 E

2



1

2

2

4

2

2

 当EE,由式(4)求得

1) (2) (3)

(4) (5)

6)

5’)

( ((

C2

2

4

22

2

C

1

取C11,即得相应的能量本征函数(未归一化)为

E

1

2

4

22

2

2 (7)

当EE,类似可求得

E

1

2

2

2

4

22

2

2 (8)

t0时,体系的初始状态为

t01

2

E

2

E

(9)

其中 因此t0时波函数为

t

2

4

2

 (10)

eE

iEt

2

E

e

iEt

(11)

以式(5’)、(7)、(8)代入上式,即得

tt

t1cosisin

22

2t212t

2isine

2

i

212t

(12) e

i

体系处于2态的几率为

2t

2

2sin

2

2

t2

(13)

11—4)自旋为2的粒子,磁矩为u,处于沿z轴方向的常磁场B0中,初始时刻粒子自旋向下

z

1。后来

加上沿x轴方向的常磁场B1B0 。求t时刻粒子测得自旋向上的几率。(磁矩算符uu,与外磁场的的作用HuBB1xB0z. )

'

解:粒子的磁矩算符可表示成 uu (1) 为泡利算符,磁场对粒子的作用势为

HuBB1xB0z. (2)

'

在z表象中,H的矩阵表示为

0

HuB11

11uB000

0B0

uB11

B1

 (2’) B0

以下求H的本征值和本征函数,设本征函数为

10C1

C10C21C (3)

2

本征方程为HE,则

B0

uB1C1

C1

E (4) B1

B0C2

C2

能级方程为

detEH

EuB0

uB1uB0 1

EuB0

令 uB2

2

00, uB11, 01 由式(5)容易解出 E 将E之值代回式(4),即可求出如下本征函数:

EE

C1

1

C1C1

 2

C 20

1



1



0



0注意,这两个本征函数并未归一化。

将t0时的初始波函数按能量本征函数展开,

t0011

2



 因此,t0时波函数

t

1it

2



e

e

it

i

1

sint10costi0sint0

1 

注意t满足归一化条件 tt1 在时刻t0,测得粒子自旋“向上”

z

1的几率为

2

2P

2

z

1i

1

sint

1

2

sint

2

2

B1

B2

2

sinu

B22

 0B1

0B1t

本题可以视为11—3)题的一个实例。

(5)

(6)

(7)(8) (9)

10) 11)

((

第十二章 散射

12-1)对低能粒子散射,设只考虑s波和p波,写出散射截面的一般形式。 

2

解: 

1il

k

2

2l1e

sinlPlcos

l0

只考虑s波和p波,则只取l0,1,于是 

10

k

2

e

isin0P0cos3e

i1

sin1P1cos

2

P0cos1, P1coscos,代入上式,得



1i0

1

k

2

e

sin03e

isin1cos

2

1k2sin

2

sin2

2

2

060cos1cos01cos9sin1cos

1A2

2

k

2

A0A1cos2cos

其中 A0sin20,A16sin0cos1cos01,A29sin21。

12-2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面: (a) Vrra;

V0,0,

ra.

(b) VrVr

2

0e

(c) Vre



r

(d) Vrr.

解:本题的势场皆为中心势场,故有

f

2u2

q

'

rVr'

sinqr'dr'

,q2ksin

2

22f

4u

'

'

'

4

q

2

rV0

r

2

'

sinqrdr

(a)a

r'

V'

'

0sinqrdr

V0qa0

q

2

sinqaqacos

22

 

4uV04

q

6

sinqaqacosqa2

(b)

r'

Vr'2''V0'r

'2

0esinqrdr

2i

re

e

iqr

'

e

iqr

'

dr

'

(1)1)

22

22

V

r'iq

qr'iq

q

4

i0r'e22dr'

2

40

r'

e

dr'



 

2

2

r

V0q

2

4r'

iq



22i

e

r'e20dr'

'iq'

re

dr'



 

V0q

2

4

2i

e

I1I2 (3)

2

2

2

r'iq

其中 I

2

r'iq

'

2



r'iq

2

1

'

re

dr

'

0

r

iq2

e

dr'

iq2

e

dr'



2

e

d

iq

2

2

e

d

1iq2

(4)

4

2

r'iq

类似地可求得 I

2

2

r'

e

dr'

12

iq (5)

4

32

(4)、(5)代入(3),得

r'Vr'2V0q2

4

iqV0qq2

4

0esinqr'dr'2i

e (6)2

43e2

代入(2),得

22

uV0q

2

2

4 (7)4

3

e

(c)

r'

er'

'

'r

'

r'sinqr'dr'er0

sinqr'dr'

I

sinqrde



'r

'

r

'



sinqre

qcosqr'dr

'

q0



0

e





1'r

'cosqrde



q'r

'

r

'

'

2

cosqre

q0

e

0

sinqr'

dr





q2

1qI

 

由此解得 I

r'

0

er'

r'sinqr'dr'

q2q

2

(8) 代入(2),解得 

4u

2q

24u224

q2

2

q

2

(9)

4

2

q

2

2

将Vrr.代入§12.3.2式(18),

f,f,

u2u2

2

d

3

re

'

'

'

iqr

'Vr,得 

'

u r22

'

2

dre

2

3iqr

 f,

u

2

224

2

(10)

可见,与,均无关,是各项同性的,

u

224



12-3)计算低能粒子散射截面(只考虑 波),设粒子自旋为2,相互作用为

V2,01

Vr

0,

rara

(1)

V00,入射粒子和靶粒子均未极化。

提示:计及粒子的全同性,对于s态(l0,空间波函数对称),两粒子自旋之和必为s0(单态),所以

3V

Vr

0,

,rara

(1’)

解:自旋为12的二全同粒子体系的总波函数必须是交换反对称的,s波(l0)波函数是两粒子空间坐标的对

称函数,所以自旋波函数必须是反对称的,即为自旋单态,因此,体系总自旋为0, 123

亦即,对于低能s波散射,式(1)等价于球方势阱

3V0,

Vr

0,

rara

(1’)

在质心系中,s波空间波函数可以写成

rurr (2) 其中r

为两粒子的相对距离,即r

2

"

E0时。径向方程为

亦即

2u

uVru0 (3)

uk0u0,rau0,

"

"2

ra

E0 (3’)

其中 k06uV03mV0 (4)

m为粒子质量,m2为两粒子体系的约化质量。

方程(3’)满足边界条件u00的解为

Asink0r

rur

C1a0

,,

rara

(5)

其中a0为散射密度(待定),a0即散射振幅,利用ra处u'u的连续条件,求得

tank0a

 (6) 1a0aka

0tank0a

 (7) 1fa0aka

0

由于是全同粒子散射,s波微分截面为

2

ff4a0 (8)

2

总截面(自旋单态,s波)为

t416a0 (9)

2

考虑到入射粒子和靶粒子都是未极化的,自旋指向取随机分布,两粒子形成自旋单态s0的几率为,形成

4

自旋三重态s1的几率为,后若对s波散射无贡献。因此,有效的总截面为

4

14

tank0a2

 (10) 4a1ka

0

2

有效t4a0

2

在不发生共振散射的条件下,散射振幅和散射截面均和入射能量无关,这是低能散射的特点。 共振散射的条件为a0,亦即(参考式(6))

k0a

2

,

32

,

52

, (11)

这正是势阱的“阱口”出现束缚能级E0

2

的条件,这时式(9)和(10)应改为

2

t16f

16k

2

8

2

uEc

32mE

(12)

有效

14

t

8mE

2

22

其中E为实验室坐标系中入射中子动能,EcE2为质心系中总动能,Eck2u。

第六章 中心力场

6.1) 利用6.1.3节中式(17)、(18),证明下列关系式

1

相对动量 prm2p1m1p2 (1)

M

总动量



PMRp1p (2)

总轨迹角动量LL1L2r1p1r2p2RPrp (3) 总动能 T

2p12p22Pp

2











(4)

2m1

2m2

2M

2

反之,有 r

1Rmr, r2Rr 1m2

p1

mPp,p

2

2

mPp 1

以上各式中,Mm1m2, m1m2

m1m2

证: R

m1r1m2r2m , (17) rr1r2, (18)

1m2

相对动量 

pr

m1m2



mrr1m12m2p11p2 1m2

M 

总动量 PMRmmr1m2r2

1m21mmp1p2 12

总轨迹角动量 LL

1L2r1p1r2p2

(5)

uRmrpu

1Rr

p2 1m2Rp1p2

r

1M

m

2

p1m1p2

(1)(2)

RPrp

由(17)、(18)可解出r

1,r2,即(5)式;由(1’)(2’)可解出(6)。

2

2



总动能T

p22Pp

1p6m2m22

mPp1

12m22m1

2m

2

2

2

2

2

u

2

2m2

P

p

uPp

u

2P

p

uPp1m2

2m1

m1m2m2

2

1m2

2m

2

m

1m2

(5)

6)

1’)

2’)

(( (

m1

2m1m22Pp

2

2

P

2

m2

2m1m2

2

P

2

1

11

 p2m1m2

2

(4’)

2M

2

[从(17),(18)式可解出(5)式;从(1),(2)式可解出(6)式].

6.2) 同上题,求坐标表象中p、P和L的算术表示式

pii

rPR,LRPrp

解: p

1M

m

2

p1m1p2

iM

m

2

r1m1r2

其中 

r1

i

xj

k

1

y1

z,1

m1x

X

x1

x1Xx1x

MX

x,

同理,m1

m1y1

MY

yzMZ

z

1

(利用上题(17)(18)式。)

 m1r1

M

Rr;仿此可设 m1r

2

M

Rr 代入(1)中,得 p

iM

m1m2m1m2

MRm2rMRm1r 

ir Pp

1p2i(2)

r1r2

i

R

LRPrp

只要将(3)、(4)式中的p、P以相应的算符代入即可。

6.3)利用氢原子能级公式,讨论下列体系的能谱: (a)电子偶素(positronium,指e

e

束缚体系) (b)u原子(muonic atom)

(c)u子偶素(muonium,指u

u束缚体系) 解:由氢原子光谱理论,能级表达式为:

1)

2)

3)

4)

((( (

4E1n

ue2。

2

n

2

, u

mempmemp4(a)电子偶素能级 Eue1n

4

2

n2

,(u

memem

meeme

2

(b)u原子能级 Ee4

1mumpn

uu2n

2

,(um

2

u

)ump

(c)u子偶素能级Em4

ue1n4(

2

n

2

,u

mumum

mu)

umu

2

6.4)对于氢原子基态,计算xp。

解:

r

氢原子基态波函数为 1

2

100

 a3e

0

宇称为偶。由于均为奇宇称算符,所以 x0, p x0 由于100各向同性,呈球对称分布,显然有

x

2

y

2

z

2

12

3

r p2

2

p2

1xpyz

3

p

2

容易算出 r2

r2

2

100d

r

1e2r

a0

2

 

a3

rsindrdd3a0 0

p2



2



2

2

100

100d



100

100100100d

2



2



2

d2

2

2100

r100rsindrdda

0 因此 x

2

a2

x

x2

x

2

0, a0 2p2

,p2

2

x 3a2

xpxpx

3a 0

xpx

3

测不准关系的普遍结论是 xpx

2

显然式(8)和(9)式是不矛盾的。而且

3

很接近式(9)规定的下限

2

。1)2)(3)4)5)6)

7)8)9) (

( (

6.5)对于氢原子基态,求电子处于经典禁区r2a(即EV0)的几率。 解:氢原子基态波函数为 1

1003

e

r

a

,a

2

a

ue

2

相应的能量 Eue4e

2

1

2

2



2a

2

动能 TrEe

1V

e

22a

r

TEV0是经典不允许区。由上式解出为r2a。

因此,电子处于经典不允许区的几率为

p

1

22ra

a

3

e

r2

drsindd(令2ra)

2a00

4a3

a3e



2

d13e40.2381

2

4

6.6)对于类氢原子(核电荷Ze)的“圆轨迹”(指nr0,ln1的轨迹),计算 (a)最可几半径; (b)平均半径; (c

)涨落r

r

2

r

2

12

解:类氢原子中电子波函数

nlm

可以表示为

1nlm

RnrlrYlm,

r

unrlrYlm, (a) 最可几半径由径向几率分布的极值条件 ddr

unrlr0 决定。ln1时,nr0。

una

0,n1rCrn

e

Zr

代入(2)式,容易求得 rn2

几a0Z 这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。 (b)在

nlm

态下,各r之间有递推关系(Kramers公式)

1a2n

2

r



2r1

Z

r

1

4

2l1

2



2

a2

Z

2

r

0 (参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197) 在(5)式中令

0,注意到r01。可设

1)

2)

(4)(5)

( (

1r

nlm

Zna

2

(6)

依次再取1,2,得到

12

r

nlm

3n

2

ll1

Za

(ln1)

2nZ

n (7)

2a

(c)r2

nlm

Z2

15n3ll12a

n

2



2(ln1)

1Z2

nnn1 (8)

2a

2

因此,r的涨落

r

r

2

r

212

2

n3na

24Z (9)



rr

n2

n

2

n2

12n1

(10)

可见,n

越大,r

r越小,量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。

6.7)设电荷为Ze的原子核突然发生衰变,核电荷变成Z1e,求衰变前原子Z中一个K电子(1s轨迹上的电子)在衰变后仍然保持在新的原子Z1的K轨迹的几率。

解:由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的K电子,其波函

Z

Z,r3

a

2

Zr

数仍未 100

e

(1) Z1

Z1,r3

a

3

2

而新原子中K电子的波函数应为 100

e

Z1r

a

(2)

将100Z,r按新原子的能量本征态作线形展开:

100Z,r

C

nlm

nlm

nlm

Z,r (3)

nlm

则衰变前的1s电子在衰变后处于新原子的

pnlmCnlm

2

Z

2

1,r态的几率为

Znlm1100Z (4)

因此,本题所求的几率为

p100100Z1100Z

2

Z

3

Z

2

1

6

3

a

42e2Z1rar2dr

2

Z

3

Z1

3

1

Z

2

6

11

11

Z2Z

36

(5)

展开时保留到第三项

当Z1,上式可近似取成 p1001例如, Z10, p1000.9932;

Z30, p1000.9992。

34Z

2

(5’)

6.8)设碱金属原子中的价电子所受电子实(原子核+满壳电子)的作用近似表为

Vr

e

2

r



ear

2

2

(01) (1)

a为Bohr半径,求价电子的能级。

118'''

ll1提示:令ll12ll1,解出

222l12

解:取守恒量完全集为H,L2,Lz,其共同本征函数为

r,,RrYlm,

ur满足径向方程

222

eea

ull12uEu (3) 2

2ur2urr

urr

Ylm, (2)

2

"

令 ll12ll1 (4)

'

'

22

''eull1式(3)就可以化为 uEu (3’) 22ur2ur

2

"



'

相当于氢原子径向方程中l换成l。所以式(3’)的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为

En

e

22

2na

'

, nnrl1, nr0,1,2, (5)

将l换成l,即得价电子的能级:

e

2'2

Enl

2na

,nnrl1 (6)

''

'

通常令 lll (7)

nnrll1nl (8)

'

。由于1,可以对式(4)作如下近似处理: l称为量子数l和n的“修正数”

''

ll12ll1llll1ll12l1ll



2

略去l,即得 ll

2

1

 (9) 2

由于1, l1,因此,本题所得能级Enl和氢原子能级仅有较小的差别,但是能级的“l简并”已经消除。式(6)和碱金属光谱的实验资料大体一致,尤其是,修正数 l随l之升高而减小,这一点和实验符合的极好。

18'

式(4)的精确解为 ll1

222l12

1

12

(10)

若对上式作二项式展开,保留项,略去2以上各项,即可得到式(9)。

6.9)在二维谐振子势Vx,y

12Kxx

2

12

Kyy中的粒子,求解其能量本正值。对于二维各向同性

2

(KxKyK)的谐振子,求能级的简并度。(参 书卷ⅠP302-303) 解:

第七章 粒子在电磁场中的运动

7.1)设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场B中运动,求能级本征值和本征。 (参《导论》P225)

解:以电场方向为x轴,磁场方向为z轴,则

,0,0, B0,0,B (1)

去电磁场的标势和矢势为

x, A0,Bx,0 (2)

满足关系 , BA

粒子的Hamiton量为 H12

2up2pqBxp2

qx xyzC

取守恒量完全集为H,py,pz,它们的共同本征函数可写成

x,y,zxe

ipyypzz

其中Py和Pz为本征值,可取任意函数。

x,y,z满足能量本证方程: Hx,y,zEx,y,z

因此x满足方程

12

2qB2upxp2

xpzxqxxEx y

C

亦即,对于x来说,H和F式等价:

2H

2

q2B22ux

2

x2

qqB1222uC

2

uCpyx

2upypz

2

2

2B2222

12ux

2

q2uC

2

xx0

2

qB2uC

2

x0

2u

p

2y

p2

z

 uC

2

其中 xqBuC0

pyq2B2qC

 uCpyqBBu 式(6)相当于一维谐振子能量算符

2



2122ux

2

2

u

2

xx0, 

qBuC

再加上两项函数,因此本题能级为

1q2

B2

En1

22uC2

x202up2yp2

z

3) 4)

(5) 6)

7) ( ( ( (

n1

2BqC22

uCp1p2

uC2B2

By2uz (8) 其中Py和Pz为任意实数, n0,1,2,

式(4)中 为以x为xx0变量的一维谐振子能量本征函数,即

x2

2

nxx0Hne



(9) Hun为厄密多项式,

xxqB

0C

xx0 。

7.2)设带电粒子在均匀磁场B和各向同性谐振子势Vr1

22

r2中运动,求能量本征值。

第八章 自旋

8.1) 在z表象中,求x的本征态。 解:在z表象中,x的矩阵表示为:

01

1 0

1aax

a0

设x的本征矢(在z表象中)为b,则有



10bb 

可得ba及ab 21,1 。

1, 则ab; 1, 则ab 利用归一化条件,可求出x的两个本征态为

1,

111; 1, 11

1 。 22

8.2) 在

z表象中,求n的本征态,nsincos, sinsin, cos 是,方向的单位矢.

解:在z表象中,的矩阵表示为

x01

i

10, y0





i0, z

1

0

1

0 (1) 

因此, nnxnxynyznz



nznxinycossine

i

nx

in

yn

cos (2)

zsine

i

设a

n的本征函数表示为b,本征值为,则本征方程为



0,即 

cos

sine

i

n

sicosa

0 (3neib

) 由(3)式的系数行列式0,可解得1。

对于1,代回(3)式,可得

a

sine

i

cos

2i1nxnxinyb1cos sine2n

xiny1nx

归一化本征函数用,表示,通常取为

i



cos



1,2 (4) sinei

2或cose2

i

sin2e



后者形式上更加对称,它和前者相差因子ei2,并无实质差别。若用n

的直角坐标分量来表示,可以取为

111n

1nznxiny

21n

znxiny

或21n

 (4’) z1nz

如n1,二者等价(仅有相因子的差别)。若n0,0,1,应取前者;若n

z0,0,1,应取后者。

对于1,类似地可以求得

a1cose

i

sin



21nxb

sin

einxinycos

2n

xiny1nxi

sin

sin或e

1,

 (5) cosei

2

2i

cose2

2

或 1

1

1n

nxiny1nz

 (5’) 1nz1nz或

221nznxiny

若n

0,0,1,取101,取11; 若n0,0,10。 

8.3) 在s1z本征态1sz0下,求sx2

和s2



y。 2

解:s2

2

xsxsx

2

sxs2

x

但 s22

x

4(常数矩阵)

, sx

2

1

00

101, 

100

 s2



2

s2

2

x

4,类似有y

4。

8.4) (a)在sz本征态下,求n的可能测值及相应的几率。(b)同第2题,若电子处

2

于n1的自旋态下,求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。

解:(a)利用8.2)题求得1

n的本征函数,容易求出:在自旋态中,n1的几率为 2

0

2

2

11cos

(1)

2

2

1nz n1的几率为

2

1sin

2

2

2

z

12

1nz (2)

(b)在自旋态1n1态,

2

2

1的几率为

12

11

2

cos

2

2

1nz (3)

2

z

1的几率为:

12

1

2

sin

2

12

1nz (4)

z

1nz1

2

12

1nz1

2

nz

2

[或

z

cos

2

1sin

2

1cos

2

sin

2

2

cosnz (5’)]

考虑到 nxnxynyznz,

各分量以及n各分量在n的构造中地位对称,所以利用式(3)、(4)、(5),作x,y,z轮换,就可推论出以下

各点:

x

1的几率为

12

1nx, (6)

x

nx (7)

12

y

1的几率为

1n (8)

y

y

ny (9)

将式(5)、(7)、(9)合并写成矢量形式如下:

自旋态1n1中,

n (10) 类似地,容易算出:自旋态1n1中,

解二:(a)在

z

n (11)

1自旋态1中,

2

n

的可能测值为本征值1;设相应的几率为w及w,则

nw1w1ww (12)

由于 nxnxynyznz (13) 考虑到在z的本征态中

x

和

y

的平均值为0,

z

的平均值即为其本征值,因此在态下,

2

nznz1nznzcos (14)

由式(12)、(14),并利用ww1,就可求出

w

12

1nz,

w

12

1nz (15)

此即解一中的式(1)、(2)。

(b)在式(14)中,是z轴和n的夹角。 z轴和n的选取是任意的。完全可以将原来的z轴作为新的n轴,而原来的n取作新的z轴。由此可知:在n1的自旋态中,z的平均值仍为cos,即nz。再令x,y,z轮换,即得自旋态1

n1中,n (10)

在1态下各分量的取值大部分当然均为1,其几率也可估照(a)中计算而写出,即





x

1的几率为1的几率为

121212

1nx (6)

y

1n (8)

y

8.5) 证明e

i

z

z

1的几率为

1nz (3,4)

xe

i

z

cos2

x

sin2y(为常数)[量Ⅱ]

8.7)由两个非全同粒子(自旋均为

2

)组成的体系,设粒子间相互作用表为HAs1s2 (不考虑轨迹运动)。

设初始时刻(t0)粒子1自旋“向上”s1z12,粒子2自旋“向下”s2z12。求时刻t0时,

(a) 粒子1自旋向上的几率(答:cos2At2,取1) (b) 粒子1和2的自旋向上的几率(答:0) (c) 总自旋s=0和1的几率(答:都是2)

(d)

求和的平均值(答:s

1xs1ys2xs2y0,s1z

解:从求体系的自旋波函数入手,由于

HAs1s2

A23

s (1) 22

2

12

cosAt,s2z

12

cosAt)。

易见总自旋s是守恒量,所以定态波函数可以选为s、sz的共同本征函数,按照总自旋量子数s的不同取值,本征函数和能级为

s1,s0,

1M,

s

00,

E1A4,

 (2)

E03A4

t0时,体系的自旋态为

012

因此,t0时波函数为

12

1000 (3)

t

即 t

12

12

10e

iE1t

12

00e

iE0t

(4)

1212eiA4

12

1212e3iA

AtAtiAt

12cosi12sine22

4

(4’)

(a)由式(4’)可知,在时刻t,粒子1自旋“向上”[同时粒子2自旋“向下”,相当于12项]的几率为cos2

At

。

2

(b)粒子1和2自旋均“向上”[相应于12,式(4’)中没有这种项]的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋sz为守恒量,而体系初态sz0,所以任何时刻sz必为0,不可能出现两个粒子均“向上”sz1的情形。

(c)由式(4)可知,总自旋量子数2

s取1和0的几率相等,各为2。由于s守恒,这个几率不随时间改变 (d)利用式(4’)容易算出s1和s2的平均值为

s1xt

s1yts2x

ts2y

t

0, 

s

1

2

At

1zt

2cos

2sin2At21cosAt,2 (5) s2z

t

s1z

t

12cosAt 。



第九章 力学量本征值问题的代数解法

9—1) 在8.2节式(21)中给出了自旋()与轨迹角动量(l)耦合成总角动量j的波函数ljm,这相当于

2

j

j1l,j2s的耦合。试由8.2节中式(21)写出表9.1(a)中的CG系数

12

j1m1

2m2jm

解:8.2节式(21a)(21b):

j

l12 (l0),m

j

m12

1

lm1Ylm

ljmj

2l1lmY lm1



jl12,mjm12

1

jmjYj12,m1j2

2j (21a) 

jmjY



j12,m1j2

l

j2

1

lmYlmljmj

2l1 lm1Ylm1

jl1

2 (l0),mjm1

2

1jmj1Yj1

,m1

(21b) 2j2

2j2jm j1Y1j2,m1

j2

lj2

此二式中的l相当于CG系数中的j1 ,而j2s2

,mj~m,,~m1,m212。

因此,(21a)式可重写为

jm

j

1m1j2m2j1m1j2m2jm

m2

j111m1

22

jm

j111m1

22

j11m1

2

12

jm

j11m1

2

12

jm121111(21a),jl12j11

2

2jj1m11122

 (21a’) j1m12111j1m12j1122

对照CG系数表,可知:当jj1j2j112,m22时 ,

1

j111mj1m12

1

22

jm

2j

1+1

而m22

时,

j1m1

12

12

jm

j1m12

2j1+1

2

对于jl12j112的(21b)式,有

1

j

1m1

112212

j1

12

,m

j1m12

2j1+1j1m122j+11

2

j1m1

12

j1

12

,m

9-2)设两个全同粒子角动量jj1j2,耦合成总角动量J,

jJM

2

m1m2

jm1jm2JMjm1

1

jm2

2 (1)

利用CG系数的对称性,证明

p12

jJM

2



2jJ

jJM

2

由此证明,无论是Bose子或Fermi子,J都必须取偶数

证:由式(1),

p12

jJM

2

m1m2

jm1jm2JMjm2jm1JM2jJ

jm1

22

jm2

1 1 1

jm2

把m1m2,

m1m2

jm2jm1

利用CG系数的对称性 





m1m2

j1m2j2m1JMjm1

2

2jJ

jJM

2

(2)

对于Fermi子,j半奇数,2j奇数,但要求p12, 即要求

2jJ

1,所以J必须为偶数。

Jmax2j1,(Jxam

2j情况,只能构成交换对称态,为什么?)因此

J2j1,2j3,2,0

可验证:态

jJM

2

的总数为j2j1。 [2J1j2j1]。

J0

2j1

对于Bose子,j整数,2j偶数,但要求p12 即

2jJ

1 ,故J也必须为偶数

J2j,2j2,2,0

9-3)设原子中有两个价电子,处于Enl能级上,按LS耦合方案,L1L2L,s1s2s,LsJ(总

角动量)

证明: (a)Ls必为偶数;

(b)JLs,,Ls。当s0时,JL(偶); s1时,JL1,L,L1,J可以为奇,

也可以为偶。

证: 自旋的耦合:s1s21.(对称,三重态)

,s 20.(反对称,单态)

轨迹角动量的耦合:l1l2l,L2l,2l1,,1,0.

其中L偶是对称态,L奇是反对称态,总的波函数(对于交换全部坐标,包括自旋)要求反对称,所以

s0时,L2l,2l2,,0. s1时,L2l,2l1,,1.

在两种情况下,Ls都为偶数,但 JLs,,Ls

对于s0,JL偶;

s1,JL1,L,L1。 J可以为奇,也可以为偶

[讨论本题结论与题9-2有无矛盾?(按jj耦合方案,似乎J必为偶数)。提示:在本题中,若用jj耦合来分析,j?是否只有一个j值?两种耦合方案得出的态数是否相等?]

9-4)大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态即2j1。 提示:利用

jmjm00

jm

jj00

, 证明j1zj2zj,j1,,j的几率却相等,

) 2j1(P235,式(23)jj00,

j1m1j2m2JM

证:Dirac符号表示,有 

j1j2

JM

JM

jj

00

j1

j2JM

j1m1j2m2

m1

(1)

在本题的情况下,j1j2j,JM0,m1m2m。 则(1)成为

jj00

m

jmjmjmjm00 (2)

其中jmj

m00即为耦合表象中的态jj00用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数,其模即表示体系处于jj00态时,测得j1z取值m(同时J2z取值m,m取j,j1,,j各可能值)的几率。

由提示,jmjm00

jm

2j1 (3)

 jmjm00

2

12j1

(4)

即,对于给定的j1j2j所合成的态2j1。

jj00

,j1zj2zj,j1,,j的几率与m的具体取值无关,皆为

9-5)设J1

J2J,在j1j2jm态下,证明(取1)

j1x

j1y

j2x

j2y0,

j1z

m

jj1j1j11j2j21

2jj1

jj1j2j21j1j11

2jj1

j

2zmmj1z

证:(参剖析,8.68等)

9-6)在L2,Lz表象(

以为lm基矢)中,l1的子空间的维数为3,求Lx在此三维空间中的矩阵表示,再利用矩阵方法求出Lx的本征值和本征态

解:在L2,Lz表象中,l1的子空间中的基矢为lm1m,m1,0,1。由于

J

jm

j

m1jm1

212

jm1

jm1Jxjmjm1JxjmJx

12

jm1

jm jm1jm

JJ1。

对于本题,以上方式中jl,JxLx,JL,JzLz 不难求得

Lxmm

'

Lx11Lx00Lx11Lx11Lx110

Lx10Lx01Lx01Lx10

2

22

 Lx在此三维空间中的矩阵表示为[L,Lz表象]

02

Lx1

100

1 (1) 20

1

0

设Lab

x的本征值为1,本征矢为,则本征方程为

c

10a211

b0 2201

2



c此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零,由此可解得本征值:210,

1,0,1. 将1代入(2),可得

ab

2

0, a

2bc

2

0, b

2

c0。

a由此得 acb

2, bb

1

2 2c1

归一化

b

2

2

1211,取 b2

1 1

122 ~1 1

同理,将0,1分别代入(2),可求得

1 11

222 ~0 ;3

1

2 ~1 。 121

2)3)4)

( (

第十章 定态问题的常用近似方法

10-1) 设非简谐振子的Hamilton量表为HH0H'

2

H0

d

22

2udx

12

22ux

'3

Hx(为实常数)

用微扰论求其能量本征值(准到二级近似)和本征函数(准到一级近似)。 解:已知H0

(0)

(0)

n

En

(0)n(0)

,nNne

2

x

2

Hnx,

En

n

,2

u

x

xn

xn

12

12

2



3

n

n1

n1

n1

n

x

2

nn1

n2

2n1

n1n2n2

3n1n1

x

3

xn

122

(1

)

n

nn1n2

n3

3nn

n1n1

n1n2n3n3计算一

级微扰:En

H

'

n

n

x3

n

0。

(也可由E

(1)

n

Hnn

'



n

x

2

3

xdx=0(奇)直接得出)

计算二级微扰,只有下列四个矩阵元不为0

n3

x3

n

22

3

nn1n2Hn3,n

'

n1

x3

n

22

3

3nnHn1,n

'

n1

x3

n

22

3

3n1n1Hn1,n

'

n3

x3

n

22

2

3

n1n2n3

2

Hn3,n

'

计算H

'

2kn

:H

'

n3,n

nn1n2

8

3

2

6

HH

'

n1,n

2

9n9n

3

88

6

'

n1,n

2

26

Hn3,n

'

2

n1n2n3

2

8

6

)(0)(0)

又En(0)En(03,EnEn1, 3

En

(0)

En1,En

(0)(0)

En33,

(0)

 EnEn

(0)

EnEn

(1)(2)

En

2

(0)

Hnn

'

k

'

HknEn

(0)

'

2

Ek

(0)

130n30n11

n34

28u

22

n



(0)

n



(1)n



(0)n

k

'

HknE

(0)n

'

Ek

(0)

(0)

k



(0)n

13

223

nn1n2

(0)n3

3nn

(0)n1

3n1n1

(0)n1

13

)

n1n2n3n(03



10-2) 考虑耦合振子,HH0H' 参 书.下册§9.2

222222uxx21

H0

12

u2x12x2 2



H'x1x2(为实常数,刻画耦合强度) (a)求出H0的本征值及能级简并度。

(b)以第一激发态为例,用简并微扰论计算H'对能级的影响(一级近似)。 (c)严格求解H的本征值,并与微扰论计算结果比较,进行讨论。 提示:作坐标变换,令x1

12



,x2

12

,则H可化为两个独立的谐振子,,称为简正坐标。

解:(a)H0的本征函数和本征值可分别表为

n1n2

x1,x2nx1nx2 (1)

1

2

11

En1n2n1n2

22

n1n21,n1,n20,1,2, (2)

令 Nn1n2 (3) 则能量表示式可改为 ENN1,N0,1,2, (4) 由式(3)可以看出,对于N0情况。能级是简并的,简并度为N1。 (b)N1为第一激态(基态N0),能级为二重简并,

21

能量本征值为 E12 相应的本征函数为0

,分别记为f1x1,x2和f1x1,x2。x11x2与1x10x2(或考虑它们的线形迭加)

利用

x

n

12

n

n1

n1

n1

不难得出:W11W220 W12W21f1,x1x2f2

x1,x11x11x2,x20x2



12

2



2u

(实) 代入方程 de)uvE(1uv0 得 E(1)



2u

E

(1)

0

2u

解之,得 E(1)



2u

因此,原来二重简并的能级E1变成两条,能量分别为

E2

2u

能级简并被解除,类似还可求出其他能级的分裂,如图所示。 (c)严格求解如下: 令 x1

12



, x12

2

 其逆变换为 11 2

x1+x2,

2

x1-x2 易证:

x2+x2=2

+2

1

1

xx22

122  22x2x222

212

因此,S.eq: 2222u22x

11x22u2x21x2

2

x1x2

E变为 222



1

2u

22u2





2



2



2



E

12

2

2

122

12

2

2

u2

2

12

u21,

2

u

2

2

2

u2

(5)

(6)

(7)

(7’)

(8) (9) (10)

22

1u1u

22

22

2

22

21u

2

(11) 



E (12) 

于是方程(10)变为

2212u1

2u2

22122

u22u2

2

是二彼此独立的谐振子,所以可以取



n1

n

2

n1



n2



12

n1

n1!

n2!

Hn11e

1

22

2

,1

u1

22

n1

Hn22e

2

22

,2

u2

(13)

相应的能量为

11

En1n2n11n22

22

n1,n20,1,2, (13)

当u时,由(11)式,得

2

11u21u

此时 Ennn1

12

2

2

12u

2u

1

1

2

2

 



12

n2

1

n2n1

22u

N1n2n1



2u

(14)

N1(第一激发态)的情况下,可有n1,n21,0与0,1两种情况(二简并态),相应的能量分别为 E102



2u

,E012



2u

能级分裂 EE01E10与微扰论计算结果一致。



u

10-3) 一维无限深势阱0xa中的粒子,受到微扰H'作用

H

'

x

2xa, 0xa2

21xa, a2xa

求基态能量的一级修正。

解:一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为

23

22

E

(0)2nxn

2ua

2

,

(0)n

2asin

na

,n1,2,3,

22基态 E

(0), (0)

21

2ua

2

1

a

sin

xa

基态能量的一级修正为

E

(1)'

1

H11

a

x2

H'

1xdx

2

a2

2

x2x

a

a

sinaadx

2a

a2

sin

2

x

a2

1x

adx 作变换u

x

au

a

a

,x

,dx

du;

vx

,xa

av

a

a

,dx

dv。

代入上式完成积分,

E(1)

42

1

2

sin

2

uudu

4

2



sin

2

vvdv

8

2

uudu1

2

2

0

sin

2。

2

10-4) 实际原子核不是一个点电荷,它具有一定大小,可近似视为半径为R的均匀分球体它产生的电势为

Ze31r2



RrR

r22R2, Zer

,

ra

Ze为核电荷,试把非点电荷效应看成微扰,

Ze231r2Ze2H'

R

22R2

R,rR

0 ,

ra

计算原子的1s能级的一级微扰修正。 解:.类氢离子中1s轨迹电子波函数为

1

1s

Z32

e

Zra

a3



a为波尔半径,1s能级的微扰论一级修正为

E

(1)2'1s

1sH'

1s

R

1sH4r2

dr

由于核半径R远小于原子半径aZ,积分时可取

e

2Zra

1

24

从而求出 E1(s1)

4Zea

3

42

2

R

42

r3rr32R2R422

2ZeR4ZR(0)drE1s3

55aa

2

2

其中 E

(0)

1s



Ze2a

2

为类氢离子的基态能级。

10-5) 设氢原子处n3能级,求它的Stark分裂。

提示:参阅10.2节中例1。注意n3能级简并度为9,考虑到微扰H'eZ相应的选择定则,此9维空间可以分解为若干个不变子空间。

解:加电场前,能级共对应有9个状态。零级波函数形式为

nlm

RnlrYlm, (1)

n3的9个态分别记为:

1320,

2

310

3

300,m

0;

4

321,5311,m1;

63217311m1;8322m

2;9322

视外电场为微扰,微扰作用势

m2; (2)

HereZercos (3)

'

R32 3

8130a2

2

8rrar

R311  (4) e3

a6a2276a

222r2rr3a

R30e13

3a27a33a2

4

rrea

2

a

将H'写成 Hea

'

'

ra

cosW,W

ra

cos。 (5)

由于H,Lz0,所以H'作用于

nlm

的结果,磁量子数m不变。又因为

cosYlmalmYl1,mal1,mYl1,m (6)

alm

l12m2



2l12l3

(6’)

H作用于

'

nlm

,量子数l将改变1。因此在计算微扰矩阵元Wuv中,只有W12W21,W23W32,W45W54,

W67W76不为零。

先算径向积分:

R32

ra

R31rdr

2

92

5,R31

ra

R30rdr92

2

25

再求出: W12W2133,W23W3236,

W45W54

92

, W67W76

92

再代入方程 deuvE(1)uv0,得

{

E

(1)

330000000m0

33E

(1)

36000000036E(1)

000000m1

{000E

(1)

92000000092E(1)

00000m1{

00000E

(1)

92000000092E(1)

00m2

{0000000E(1)

0m 2

{

E

(1)

E(1)3

E(1)

2

9

2

E

(1)

2

92

2

2

0

 E(1)

93

0,0,0,2

ea,

92

ea,9ea。

E

(1)

330

(由33

E

(1)

360,解得E(1)

0,9,9)

36

E

(1)

E(1)

(由

92092

E

(1)

 ,解得E(1)92,92)

结果,n3的能级分裂成五条:

E0)

(0)

31E(3

9ea,E0)

32E(3

92

ea,E(0)33E3,E34E(0)

3

92

ea,E35E3

9ea。

10-6) 设HH'

0H,

HE(0)0

10b

0E(0)

,H'

a

a(a,b为实数) 2

b

用微扰论求解能级修正(准到二级近似),并与严格解(把H矩阵对角化)比较。 解:(1)由H'表达式可见,微扰哈密顿的矩阵元为

H'

'

'

'

11H22a,H12H21b

代入能量的微扰论二级近似公式

'

2

E(0)

'

HknnEn

H'

nn

k

E(0)

n

E(0)

k

即26

得 E1E

(0)1

a

bE

(0)2

2

(0)1

E

,E2E

(0)2

a

bE

(0)2

2

(0)1

E



(2)直接求能量。设H的本征矢为,对应的本征值为E,则本征方程为



E1(0)ab

E1(0)aE

即 

b

bE2

(0)



ab



E 

0 

E2

(0)



aE

,有非零解的条件为

E1

(0)

aEb

E2

(0)

baE

0

即 E1(0)aEE2(0)aEb20 这是关于aE的二次方程,其解为

1(0)(0)

E1E22

aE

E

1

(0)

1

E2

(0)



2

4b

2

 

2



12

12

E

E

(0)

1

E2

(0)

E

2

(0)2

E1

(0)

1

2b

E(0)E(0)

12





(0)1

E

(0)2

E

2

1

(0)2

E

(0)1

22b

1

(0)(0)E2E1



2







12

E

(0)

1

E

(0)2

2

1b(0)(0)

E2E1(0) (0)

E2E12



以上的近似符合定态微扰论的要求,

bE

(0)

2

E

(0)1

1,

即微扰矩阵元小于能级差。上式分开号再写一步,得能级的二级近似

E1E

(0)1

a

bE2

(0)

2

(0)

E1

, E2E

(0)2

a

bE2

(0)

2

(0)

E1

这与(1)中用微扰论公式求得的结果完全一致。

10-7) 对于一维谐振子,取基态试探波函数形式为e解:设基态波函数Ce

x

2

x

2

,为参数,用变分法求基态能量,并与严格解比较。

,归一化,得

27



Ce

x

2

2

dxC

2



e

2x

2



dxC

2

2

2

1,

2

取 C



2

,    



2

e

x

2

Hx



d

22

2udx

*

12

ux

22

2



x

2

2d2122

x2

E



Hdx



e



2udx2

2uxe



22



2x

2



12xdx

12

x

2

x2

dxu

e



2

u

e

2

2



2

2u

u8

E

2

u2

2u

2

, 得 8

0

u2

考虑x在x处要求有限的条件,取 u12

2

2

代入式(1),得谐振子(一维)基态能量

E0

12

与严格解求得的结果完全一致。

10-8) 对于非谐振子,H

2

d

24

2u2

dx

x,取试探波函数为

e

2

x

2

x

(与谐振子基态波函数形式相同),为参数,用变分法求基态能量。

2

222

解:

*d3

2

2u



e



2

x

2

1

2

x

2

dx

dx

2

0dx2u

4u







x4

2

dx

x4

e



2

x

2

dx

3 



4

4

2

E

TV

2

4u

34

4

E

2



0,得



2u

3

5

0,

dx (1) (2) (1)

(2) (3)28

解得 

2

6u

2

3

(4)

2

233

代入(3),得基态能量 E042u

(5)

10-9) 氢原子基态试探波函数取为e严格解比较。

解: 10-10)

设在氘核中的质子与中子的相互作用表成VrAera,(A32Mve

a

ra

2

,a

ue

22

(Bohr半径),为参数,用变分法求基态能量,并与

,a2.210

15

。m)

设质子与中子相对运动波函取为er

解:取 Ne归一化,2

r2a

,为变分参数,用变分法计算氘核得基态能量。

, (1)

2

ra

d4Ne

03

1

rdr1,

2



得 N8a3



(2)

212r

rAe(而Hamilton量为 H2ur2rr

TV

d

Td 2udr2u2a

AN

2

2

2

2

2

4

e

ra

e

r

2

rdrA

18ua

2

22

3

因此 E

V

A (3)

1

3

其中u为质子-中子体系的约化质量,即

u

E

mpmmpm

469.45Mevc

2

由极值条件0,求得最佳值满足的方程:

1

4

22

12uaA

(4)

给定了上式右端各参数值之后,可用数值法求出的最佳值,相应的E最小值可以表成

29

E

22

4ua

2

1 (5) 23

11

式(4)中,

22

12uaA

c2

12ucaA

2

2

0.04531

由式(4)求得最佳值为 1.326 (6)

代入(5)式,即得 E2.15Mev (7)

氘核基态能级的实验值为E2.23Mev,二者相差约3.6% 。

式(1)作为基态波函数的近似表达式,虽不十分准确,但简明易算。例如,由式(1)易得基态最可几半径为

r02a3.26 (fm) [fm:10

15

m] (8)

和公认的数值基本一致。最可几半径由径向几率密度的极值条件决定,即满足

ddr

r

2

2

0 rr0

由式(1)还可求出基态平均半径为

r

r

2

d3a4.89 (fm) (9)

10)

30

第十一章 量子跃迁

11—1)荷电q的离子在平衡位置附近作小振动(简谐振动)。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为(a)跃迁选择定则;(b)设离子原来处于基态,求每秒跃迁到第一激发态的几率。 ,波长较长。求:

11—2)氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用t0t。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率(取0沿z轴方向来计算)。 解:令r,t



Ct

n

n

n

re

iEnt

(6)

初始条件(5)亦即 Cn0n1 (5) 用式(6)代入式(4),但微扰项H'中取初值1(这是微扰论的实质性要点!)即得

n

i

dCn

n

dt

e

iEnt

H1e0z1t

'

*以n左乘上式两端并全空间积分,得

i

dCdt

n

e

zn1te

iEnt

再对积分,由t0t0,即得

Cnt

e0i

zn1 n1 (7)

因此t0时(即脉冲电场作用后)电子已跃迁到n态的几率为[可直接代入 P291式(23)、P321式(15)而得下式]

PnCnt

2

2e

0zn1 (8) 

2

根据选择定则l1,m0,终态量子数必须是

nlmn10

即电子只能跃迁到各np态l1,而且磁量子数m0。 跃迁到各激发态的几率总和为

n

e'

Pn0



2

n

'

zn1

2

e

0zn1

n

2

2

z11

2

 (9) 

其中

z111z10 ( z为奇宇称)

n

zn1

2

n

1z

n

n

z11z1

2

13

1r1a (10)

22

a为Bohr半径,代入式(9)即得

n

ea'

Pn0 (11)



2

电场作用后电子仍留在基态的几率为

1

'

ea

Pn10 (12)

2

n



11—3)考虑一个二能级体系,Hamilton量H0表为(能量表象)

HE1

00E , EE

12 , 2

设t0时刻体系处于基态,后受微扰H'作用,

H'





 , 

求t时刻体系处于激发态的几率。

解:t0时,体系HH'

0H ,其矩阵表示(H0表象)为

HH'

E1

0H

E 

2

设H的本征函数为

E

C11C2

C1

2

 C 2

代入本征方程 HE

E

E

得到

E1E

C1C20

C1

E2EC 20上式存在非平庸解的条件为

E1E

EE1EE2E

2

0

2E

由此解出 E

1

2

2

E1E2E2

E1

2

4



E

令 E11

,,

2

E2

21 式(5)可以写成 E

2



1

2

2

4

2

2

 当EE,由式(4)求得

1) (2) (3)

(4) (5)

6)

5’)

( ((

C2

2

4

22

2

C

1

取C11,即得相应的能量本征函数(未归一化)为

E

1

2

4

22

2

2 (7)

当EE,类似可求得

E

1

2

2

2

4

22

2

2 (8)

t0时,体系的初始状态为

t01

2

E

2

E

(9)

其中 因此t0时波函数为

t

2

4

2

 (10)

eE

iEt

2

E

e

iEt

(11)

以式(5’)、(7)、(8)代入上式,即得

tt

t1cosisin

22

2t212t

2isine

2

i

212t

(12) e

i

体系处于2态的几率为

2t

2

2sin

2

2

t2

(13)

11—4)自旋为2的粒子,磁矩为u,处于沿z轴方向的常磁场B0中,初始时刻粒子自旋向下

z

1。后来

加上沿x轴方向的常磁场B1B0 。求t时刻粒子测得自旋向上的几率。(磁矩算符uu,与外磁场的的作用HuBB1xB0z. )

'

解:粒子的磁矩算符可表示成 uu (1) 为泡利算符,磁场对粒子的作用势为

HuBB1xB0z. (2)

'

在z表象中,H的矩阵表示为

0

HuB11

11uB000

0B0

uB11

B1

 (2’) B0

以下求H的本征值和本征函数,设本征函数为

10C1

C10C21C (3)

2

本征方程为HE,则

B0

uB1C1

C1

E (4) B1

B0C2

C2

能级方程为

detEH

EuB0

uB1uB0 1

EuB0

令 uB2

2

00, uB11, 01 由式(5)容易解出 E 将E之值代回式(4),即可求出如下本征函数:

EE

C1

1

C1C1

 2

C 20

1



1



0



0注意,这两个本征函数并未归一化。

将t0时的初始波函数按能量本征函数展开,

t0011

2



 因此,t0时波函数

t

1it

2



e

e

it

i

1

sint10costi0sint0

1 

注意t满足归一化条件 tt1 在时刻t0,测得粒子自旋“向上”

z

1的几率为

2

2P

2

z

1i

1

sint

1

2

sint

2

2

B1

B2

2

sinu

B22

 0B1

0B1t

本题可以视为11—3)题的一个实例。

(5)

(6)

(7)(8) (9)

10) 11)

((

第十二章 散射

12-1)对低能粒子散射,设只考虑s波和p波,写出散射截面的一般形式。 

2

解: 

1il

k

2

2l1e

sinlPlcos

l0

只考虑s波和p波,则只取l0,1,于是 

10

k

2

e

isin0P0cos3e

i1

sin1P1cos

2

P0cos1, P1coscos,代入上式,得



1i0

1

k

2

e

sin03e

isin1cos

2

1k2sin

2

sin2

2

2

060cos1cos01cos9sin1cos

1A2

2

k

2

A0A1cos2cos

其中 A0sin20,A16sin0cos1cos01,A29sin21。

12-2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面: (a) Vrra;

V0,0,

ra.

(b) VrVr

2

0e

(c) Vre



r

(d) Vrr.

解:本题的势场皆为中心势场,故有

f

2u2

q

'

rVr'

sinqr'dr'

,q2ksin

2

22f

4u

'

'

'

4

q

2

rV0

r

2

'

sinqrdr

(a)a

r'

V'

'

0sinqrdr

V0qa0

q

2

sinqaqacos

22

 

4uV04

q

6

sinqaqacosqa2

(b)

r'

Vr'2''V0'r

'2

0esinqrdr

2i

re

e

iqr

'

e

iqr

'

dr

'

(1)1)

22

22

V

r'iq

qr'iq

q

4

i0r'e22dr'

2

40

r'

e

dr'



 

2

2

r

V0q

2

4r'

iq



22i

e

r'e20dr'

'iq'

re

dr'



 

V0q

2

4

2i

e

I1I2 (3)

2

2

2

r'iq

其中 I

2

r'iq

'

2



r'iq

2

1

'

re

dr

'

0

r

iq2

e

dr'

iq2

e

dr'



2

e

d

iq

2

2

e

d

1iq2

(4)

4

2

r'iq

类似地可求得 I

2

2

r'

e

dr'

12

iq (5)

4

32

(4)、(5)代入(3),得

r'Vr'2V0q2

4

iqV0qq2

4

0esinqr'dr'2i

e (6)2

43e2

代入(2),得

22

uV0q

2

2

4 (7)4

3

e

(c)

r'

er'

'

'r

'

r'sinqr'dr'er0

sinqr'dr'

I

sinqrde



'r

'

r

'



sinqre

qcosqr'dr

'

q0



0

e





1'r

'cosqrde



q'r

'

r

'

'

2

cosqre

q0

e

0

sinqr'

dr





q2

1qI

 

由此解得 I

r'

0

er'

r'sinqr'dr'

q2q

2

(8) 代入(2),解得 

4u

2q

24u224

q2

2

q

2

(9)

4

2

q

2

2

将Vrr.代入§12.3.2式(18),

f,f,

u2u2

2

d

3

re

'

'

'

iqr

'Vr,得 

'

u r22

'

2

dre

2

3iqr

 f,

u

2

224

2

(10)

可见,与,均无关,是各项同性的,

u

224



12-3)计算低能粒子散射截面(只考虑 波),设粒子自旋为2,相互作用为

V2,01

Vr

0,

rara

(1)

V00,入射粒子和靶粒子均未极化。

提示:计及粒子的全同性,对于s态(l0,空间波函数对称),两粒子自旋之和必为s0(单态),所以

3V

Vr

0,

,rara

(1’)

解:自旋为12的二全同粒子体系的总波函数必须是交换反对称的,s波(l0)波函数是两粒子空间坐标的对

称函数,所以自旋波函数必须是反对称的,即为自旋单态,因此,体系总自旋为0, 123

亦即,对于低能s波散射,式(1)等价于球方势阱

3V0,

Vr

0,

rara

(1’)

在质心系中,s波空间波函数可以写成

rurr (2) 其中r

为两粒子的相对距离,即r

2

"

E0时。径向方程为

亦即

2u

uVru0 (3)

uk0u0,rau0,

"

"2

ra

E0 (3’)

其中 k06uV03mV0 (4)

m为粒子质量,m2为两粒子体系的约化质量。

方程(3’)满足边界条件u00的解为

Asink0r

rur

C1a0

,,

rara

(5)

其中a0为散射密度(待定),a0即散射振幅,利用ra处u'u的连续条件,求得

tank0a

 (6) 1a0aka

0tank0a

 (7) 1fa0aka

0

由于是全同粒子散射,s波微分截面为

2

ff4a0 (8)

2

总截面(自旋单态,s波)为

t416a0 (9)

2

考虑到入射粒子和靶粒子都是未极化的,自旋指向取随机分布,两粒子形成自旋单态s0的几率为,形成

4

自旋三重态s1的几率为,后若对s波散射无贡献。因此,有效的总截面为

4

14

tank0a2

 (10) 4a1ka

0

2

有效t4a0

2

在不发生共振散射的条件下,散射振幅和散射截面均和入射能量无关,这是低能散射的特点。 共振散射的条件为a0,亦即(参考式(6))

k0a

2

,

32

,

52

, (11)

这正是势阱的“阱口”出现束缚能级E0

2

的条件,这时式(9)和(10)应改为

2

t16f

16k

2

8

2

uEc

32mE

(12)

有效

14

t

8mE

2

22

其中E为实验室坐标系中入射中子动能,EcE2为质心系中总动能,Eck2u。


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  • 转眼间,短暂的一学期时光又即将过去。本学期我执教高三1班物理课和高三4个班的物理综合课,本人按照教学计划,认真备课、上课、听课、评课,及时批改试卷、讲评试卷,做好课后辅导工作,已经如期地完成了教学任务。为了以后能在工作中扬长避短,取得更好的成绩,现将本学期工作总结如下: 一、认真组织好课堂教学,努力 ...

  • 经济学本科毕业论文辅导
  • 毕业论文是高等教育完成学业的最后一个环节,它是学员毕业的标志性作业,目的在于总结专业理论的学习成果,培养综合运用所学知识解决实际问题的能力,也是衡量自考经济学本科毕业生是否达到全日制普通高校相同专业相同层次的学力水平的重要依据之一。但是,许多学员由于缺乏平时训练,往往对毕业论文的独立写作感到压力很大 ...

  • 旅游局领导论旅游业发展的述职报告
  • 一.2010年全省旅游业发展总体情况 2010年,湖南省旅游行业按照省委.省政府和国家旅游局的总体部署,认真贯彻落实胡锦涛总书记关于"特别要把具有湖南特色的旅游业做大做强"的指示精神,加快旅游产业大省建设,狠抓各项工作,取得了显著成效.2010年,全省接待入境旅游者97.08万人 ...

  • 20XX年寒假工地实习报告
  •   寒假的实习时间虽然不长(从7月24号到8月5号)但对于我自来说却是一段非常重要的人生经历。无论是在情感、识人、技术、管理等多方面均有一定的成长。情感更加成熟;识人准确一些了;也能揣测别人心里所想;技术开始了解;管理开始入门。在爆晒的太阳下收获的是坚毅;在朴实的工人面前收获的是一颗平常心;在复杂的 ...

  • 暑假建设工地实习报告
  •  暑假的实习时间虽然不长(从7月24号到8月5号)但对于我自来说却是一段非常重要的人生经历.无论是在情感、识人、技术、管理等多方面均有一定的成长.情感更加成熟;识人准确一些了;也能揣测别人心里所想;技术开始了解;管理开始入门.在爆晒的太阳下收获的是坚毅;在朴实的工人面前收获的是一颗平常心;在复杂的办 ...

  • 驰名商标宣传方案
  • 为了促进某公司“某某”商标创立中国驰名商标,结合以往协助企业创立驰名商标的成功经验,我们在认真分析“某某”商标的优势和特点的基础上,制度了该宣传方案,供某公司作为决策参考。 一、宣传原则 利用《中国工商报》的优势资源,在“某某”商标创立中国驰名商标工作中对“某某”商标进行专项宣传,达到提升“某某”商 ...

  • 老子道德经心得体会
  • 通读了老子81章的《道德经》一个特别强烈的感受是老子思想所处的智慧高度和对自然的领悟及对人类社会关系的宏观视角。对事物发展的辩证和转化能给出融入自然规律的基本解剖。特别难能可贵的能够脱离“从众定势思维”习惯而独立地接近于自然。 老子《道德经》另一个广博在于任何人读之可以感悟出个体自己领域内的内涵和外 ...

  • 20XX年师德先进个人事迹材料
  • 始终热爱社会主义祖国,坚持四项基本原则,以“三个代表”重要思想为指导,坚持党的基本路线,忠诚党的教育事业,求真务实,爱岗敬业,积极肯干,师德高尚,认真履行“三育人”职责。近两年工作量连续超过定额,教育教学效果优异。   一、教学工作   xxx教授以强烈的主人翁责任感和事业心投入到教学中,先后为本科 ...