第六章 中心力场
6.1) 利用6.1.3节中式(17)、(18),证明下列关系式
1
相对动量 prm2p1m1p2 (1)
M
总动量
PMRp1p (2)
总轨迹角动量LL1L2r1p1r2p2RPrp (3) 总动能 T
2p12p22Pp
2
(4)
2m1
2m2
2M
2
反之,有 r
1Rmr, r2Rr 1m2
p1
mPp,p
2
2
mPp 1
以上各式中,Mm1m2, m1m2
m1m2
证: R
m1r1m2r2m , (17) rr1r2, (18)
1m2
相对动量
pr
m1m2
mrr1m12m2p11p2 1m2
M
总动量 PMRmmr1m2r2
1m21mmp1p2 12
总轨迹角动量 LL
1L2r1p1r2p2
(5)
uRmrpu
1Rr
p2 1m2Rp1p2
r
1M
m
2
p1m1p2
(1)(2)
RPrp
由(17)、(18)可解出r
1,r2,即(5)式;由(1’)(2’)可解出(6)。
2
2
总动能T
p22Pp
1p6m2m22
mPp1
12m22m1
2m
2
2
2
2
2
u
2
2m2
P
p
uPp
u
2P
p
uPp1m2
2m1
m1m2m2
2
1m2
2m
2
m
1m2
(5)
6)
1’)
2’)
(( (
m1
2m1m22Pp
2
2
P
2
m2
2m1m2
2
P
2
1
11
p2m1m2
2
(4’)
2M
2
[从(17),(18)式可解出(5)式;从(1),(2)式可解出(6)式].
6.2) 同上题,求坐标表象中p、P和L的算术表示式
pii
rPR,LRPrp
解: p
1M
m
2
p1m1p2
iM
m
2
r1m1r2
其中
r1
i
xj
k
1
y1
z,1
而
m1x
X
x1
x1Xx1x
MX
x,
同理,m1
m1y1
MY
yzMZ
z
;
1
(利用上题(17)(18)式。)
m1r1
M
Rr;仿此可设 m1r
2
M
Rr 代入(1)中,得 p
iM
m1m2m1m2
MRm2rMRm1r
ir Pp
1p2i(2)
r1r2
i
R
LRPrp
只要将(3)、(4)式中的p、P以相应的算符代入即可。
6.3)利用氢原子能级公式,讨论下列体系的能谱: (a)电子偶素(positronium,指e
e
束缚体系) (b)u原子(muonic atom)
(c)u子偶素(muonium,指u
u束缚体系) 解:由氢原子光谱理论,能级表达式为:
1)
2)
3)
4)
((( (
4E1n
ue2。
2
n
2
, u
mempmemp4(a)电子偶素能级 Eue1n
4
2
n2
,(u
memem
meeme
2
)
(b)u原子能级 Ee4
1mumpn
uu2n
2
,(um
2
u
)ump
(c)u子偶素能级Em4
ue1n4(
2
n
2
,u
mumum
mu)
umu
2
6.4)对于氢原子基态,计算xp。
解:
r
氢原子基态波函数为 1
2
100
a3e
0
宇称为偶。由于均为奇宇称算符,所以 x0, p x0 由于100各向同性,呈球对称分布,显然有
x
2
y
2
z
2
12
3
r p2
2
p2
1xpyz
3
p
2
容易算出 r2
r2
2
100d
r
1e2r
a0
2
a3
rsindrdd3a0 0
p2
2
2
2
100
100d
100
100100100d
2
2
2
d2
2
2100
r100rsindrdda
0 因此 x
2
a2
x
x2
x
2
0, a0 2p2
,p2
2
x 3a2
xpxpx
3a 0
xpx
3
测不准关系的普遍结论是 xpx
2
显然式(8)和(9)式是不矛盾的。而且
3
很接近式(9)规定的下限
2
。1)2)(3)4)5)6)
7)8)9) (
(
(
(
( (
(
(
6.5)对于氢原子基态,求电子处于经典禁区r2a(即EV0)的几率。 解:氢原子基态波函数为 1
1003
e
r
a
,a
2
a
ue
2
,
相应的能量 Eue4e
2
1
2
2
2a
2
动能 TrEe
1V
e
22a
r
TEV0是经典不允许区。由上式解出为r2a。
因此,电子处于经典不允许区的几率为
p
1
22ra
a
3
e
r2
drsindd(令2ra)
2a00
4a3
a3e
2
d13e40.2381
2
4
6.6)对于类氢原子(核电荷Ze)的“圆轨迹”(指nr0,ln1的轨迹),计算 (a)最可几半径; (b)平均半径; (c
)涨落r
r
2
r
2
12
解:类氢原子中电子波函数
nlm
可以表示为
1nlm
RnrlrYlm,
r
unrlrYlm, (a) 最可几半径由径向几率分布的极值条件 ddr
unrlr0 决定。ln1时,nr0。
una
0,n1rCrn
e
Zr
代入(2)式,容易求得 rn2
几a0Z 这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。 (b)在
nlm
态下,各r之间有递推关系(Kramers公式)
1a2n
2
r
2r1
Z
r
1
4
2l1
2
2
a2
Z
2
r
0 (参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197) 在(5)式中令
0,注意到r01。可设
1)
2)
(4)(5)
( (
1r
nlm
Zna
2
(6)
依次再取1,2,得到
12
r
nlm
3n
2
ll1
Za
(ln1)
2nZ
n (7)
2a
(c)r2
nlm
Z2
15n3ll12a
n
2
2(ln1)
1Z2
nnn1 (8)
2a
2
因此,r的涨落
r
r
2
r
212
2
n3na
24Z (9)
rr
n2
n
2
n2
12n1
(10)
可见,n
越大,r
r越小,量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。
6.7)设电荷为Ze的原子核突然发生衰变,核电荷变成Z1e,求衰变前原子Z中一个K电子(1s轨迹上的电子)在衰变后仍然保持在新的原子Z1的K轨迹的几率。
解:由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的K电子,其波函
Z
Z,r3
a
2
Zr
数仍未 100
e
(1) Z1
Z1,r3
a
3
2
而新原子中K电子的波函数应为 100
e
Z1r
a
(2)
将100Z,r按新原子的能量本征态作线形展开:
100Z,r
C
nlm
nlm
nlm
Z,r (3)
nlm
则衰变前的1s电子在衰变后处于新原子的
pnlmCnlm
2
Z
2
1,r态的几率为
Znlm1100Z (4)
因此,本题所求的几率为
p100100Z1100Z
2
Z
3
Z
2
1
6
3
a
42e2Z1rar2dr
2
Z
3
Z1
3
1
Z
2
6
11
11
Z2Z
36
(5)
展开时保留到第三项
当Z1,上式可近似取成 p1001例如, Z10, p1000.9932;
Z30, p1000.9992。
34Z
2
(5’)
6.8)设碱金属原子中的价电子所受电子实(原子核+满壳电子)的作用近似表为
Vr
e
2
r
ear
2
2
(01) (1)
a为Bohr半径,求价电子的能级。
118'''
ll1提示:令ll12ll1,解出
222l12
解:取守恒量完全集为H,L2,Lz,其共同本征函数为
r,,RrYlm,
ur满足径向方程
222
eea
ull12uEu (3) 2
2ur2urr
urr
Ylm, (2)
2
"
令 ll12ll1 (4)
'
'
22
''eull1式(3)就可以化为 uEu (3’) 22ur2ur
2
"
'
相当于氢原子径向方程中l换成l。所以式(3’)的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为
En
e
22
2na
'
, nnrl1, nr0,1,2, (5)
将l换成l,即得价电子的能级:
e
2'2
Enl
2na
,nnrl1 (6)
''
'
通常令 lll (7)
nnrll1nl (8)
'
。由于1,可以对式(4)作如下近似处理: l称为量子数l和n的“修正数”
''
ll12ll1llll1ll12l1ll
2
略去l,即得 ll
2
1
(9) 2
由于1, l1,因此,本题所得能级Enl和氢原子能级仅有较小的差别,但是能级的“l简并”已经消除。式(6)和碱金属光谱的实验资料大体一致,尤其是,修正数 l随l之升高而减小,这一点和实验符合的极好。
18'
式(4)的精确解为 ll1
222l12
1
12
(10)
若对上式作二项式展开,保留项,略去2以上各项,即可得到式(9)。
6.9)在二维谐振子势Vx,y
12Kxx
2
12
Kyy中的粒子,求解其能量本正值。对于二维各向同性
2
(KxKyK)的谐振子,求能级的简并度。(参 书卷ⅠP302-303) 解:
第七章 粒子在电磁场中的运动
7.1)设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场B中运动,求能级本征值和本征。 (参《导论》P225)
解:以电场方向为x轴,磁场方向为z轴,则
,0,0, B0,0,B (1)
去电磁场的标势和矢势为
x, A0,Bx,0 (2)
满足关系 , BA
粒子的Hamiton量为 H12
2up2pqBxp2
qx xyzC
取守恒量完全集为H,py,pz,它们的共同本征函数可写成
x,y,zxe
ipyypzz
其中Py和Pz为本征值,可取任意函数。
x,y,z满足能量本证方程: Hx,y,zEx,y,z
因此x满足方程
12
2qB2upxp2
xpzxqxxEx y
C
亦即,对于x来说,H和F式等价:
2H
2
q2B22ux
2
x2
qqB1222uC
2
uCpyx
2upypz
2
2
2B2222
12ux
2
q2uC
2
xx0
2
qB2uC
2
x0
2u
p
2y
p2
z
uC
2
其中 xqBuC0
pyq2B2qC
uCpyqBBu 式(6)相当于一维谐振子能量算符
2
2122ux
2
2
u
2
xx0,
qBuC
再加上两项函数,因此本题能级为
1q2
B2
En1
22uC2
x202up2yp2
z
3) 4)
(5) 6)
7) ( ( ( (
n1
2BqC22
uCp1p2
uC2B2
By2uz (8) 其中Py和Pz为任意实数, n0,1,2,
式(4)中 为以x为xx0变量的一维谐振子能量本征函数,即
x2
2
nxx0Hne
(9) Hun为厄密多项式,
xxqB
0C
xx0 。
7.2)设带电粒子在均匀磁场B和各向同性谐振子势Vr1
22
r2中运动,求能量本征值。
第八章 自旋
8.1) 在z表象中,求x的本征态。 解:在z表象中,x的矩阵表示为:
01
1 0
1aax
a0
设x的本征矢(在z表象中)为b,则有
10bb
可得ba及ab 21,1 。
1, 则ab; 1, 则ab 利用归一化条件,可求出x的两个本征态为
1,
111; 1, 11
1 。 22
8.2) 在
z表象中,求n的本征态,nsincos, sinsin, cos 是,方向的单位矢.
解:在z表象中,的矩阵表示为
x01
i
10, y0
i0, z
1
0
1
0 (1)
因此, nnxnxynyznz
nznxinycossine
i
nx
in
yn
cos (2)
zsine
i
设a
n的本征函数表示为b,本征值为,则本征方程为
0,即
cos
sine
i
n
sicosa
0 (3neib
) 由(3)式的系数行列式0,可解得1。
对于1,代回(3)式,可得
a
sine
i
cos
2i1nxnxinyb1cos sine2n
xiny1nx
归一化本征函数用,表示,通常取为
i
cos
1,2 (4) sinei
2或cose2
i
sin2e
后者形式上更加对称,它和前者相差因子ei2,并无实质差别。若用n
的直角坐标分量来表示,可以取为
111n
1nznxiny
21n
znxiny
或21n
(4’) z1nz
如n1,二者等价(仅有相因子的差别)。若n0,0,1,应取前者;若n
z0,0,1,应取后者。
对于1,类似地可以求得
a1cose
i
sin
21nxb
sin
einxinycos
2n
xiny1nxi
sin
sin或e
1,
(5) cosei
2
2i
cose2
2
或 1
1
1n
nxiny1nz
(5’) 1nz1nz或
221nznxiny
若n
0,0,1,取101,取11; 若n0,0,10。
8.3) 在s1z本征态1sz0下,求sx2
和s2
y。 2
解:s2
2
xsxsx
2
sxs2
x
但 s22
x
4(常数矩阵)
, sx
2
1
00
101,
100
s2
2
s2
2
x
4,类似有y
4。
8.4) (a)在sz本征态下,求n的可能测值及相应的几率。(b)同第2题,若电子处
2
于n1的自旋态下,求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。
解:(a)利用8.2)题求得1
n的本征函数,容易求出:在自旋态中,n1的几率为 2
0
2
2
11cos
(1)
2
2
1nz n1的几率为
2
1sin
2
2
2
z
12
1nz (2)
(b)在自旋态1n1态,
2
2
1的几率为
12
11
2
cos
2
2
1nz (3)
2
z
1的几率为:
12
1
2
sin
2
12
1nz (4)
z
1nz1
2
12
1nz1
2
nz
2
[或
z
cos
2
1sin
2
1cos
2
sin
2
2
cosnz (5’)]
考虑到 nxnxynyznz,
各分量以及n各分量在n的构造中地位对称,所以利用式(3)、(4)、(5),作x,y,z轮换,就可推论出以下
各点:
x
1的几率为
12
1nx, (6)
x
nx (7)
12
y
1的几率为
1n (8)
y
y
ny (9)
将式(5)、(7)、(9)合并写成矢量形式如下:
自旋态1n1中,
n (10) 类似地,容易算出:自旋态1n1中,
解二:(a)在
z
n (11)
1自旋态1中,
2
n
的可能测值为本征值1;设相应的几率为w及w,则
nw1w1ww (12)
由于 nxnxynyznz (13) 考虑到在z的本征态中
x
和
y
的平均值为0,
z
的平均值即为其本征值,因此在态下,
2
nznz1nznzcos (14)
由式(12)、(14),并利用ww1,就可求出
w
12
1nz,
w
12
1nz (15)
此即解一中的式(1)、(2)。
(b)在式(14)中,是z轴和n的夹角。 z轴和n的选取是任意的。完全可以将原来的z轴作为新的n轴,而原来的n取作新的z轴。由此可知:在n1的自旋态中,z的平均值仍为cos,即nz。再令x,y,z轮换,即得自旋态1
n1中,n (10)
在1态下各分量的取值大部分当然均为1,其几率也可估照(a)中计算而写出,即
x
1的几率为1的几率为
121212
1nx (6)
y
1n (8)
y
8.5) 证明e
i
z
z
1的几率为
1nz (3,4)
xe
i
z
cos2
x
sin2y(为常数)[量Ⅱ]
8.7)由两个非全同粒子(自旋均为
2
)组成的体系,设粒子间相互作用表为HAs1s2 (不考虑轨迹运动)。
设初始时刻(t0)粒子1自旋“向上”s1z12,粒子2自旋“向下”s2z12。求时刻t0时,
(a) 粒子1自旋向上的几率(答:cos2At2,取1) (b) 粒子1和2的自旋向上的几率(答:0) (c) 总自旋s=0和1的几率(答:都是2)
(d)
求和的平均值(答:s
1xs1ys2xs2y0,s1z
解:从求体系的自旋波函数入手,由于
HAs1s2
A23
s (1) 22
2
12
cosAt,s2z
12
cosAt)。
易见总自旋s是守恒量,所以定态波函数可以选为s、sz的共同本征函数,按照总自旋量子数s的不同取值,本征函数和能级为
s1,s0,
1M,
s
00,
E1A4,
(2)
E03A4
t0时,体系的自旋态为
012
因此,t0时波函数为
12
1000 (3)
t
即 t
12
12
10e
iE1t
12
00e
iE0t
(4)
1212eiA4
12
1212e3iA
AtAtiAt
12cosi12sine22
4
(4’)
(a)由式(4’)可知,在时刻t,粒子1自旋“向上”[同时粒子2自旋“向下”,相当于12项]的几率为cos2
At
。
2
(b)粒子1和2自旋均“向上”[相应于12,式(4’)中没有这种项]的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋sz为守恒量,而体系初态sz0,所以任何时刻sz必为0,不可能出现两个粒子均“向上”sz1的情形。
(c)由式(4)可知,总自旋量子数2
s取1和0的几率相等,各为2。由于s守恒,这个几率不随时间改变 (d)利用式(4’)容易算出s1和s2的平均值为
s1xt
s1yts2x
ts2y
t
0,
s
1
2
At
1zt
2cos
2sin2At21cosAt,2 (5) s2z
t
s1z
t
12cosAt 。
第九章 力学量本征值问题的代数解法
9—1) 在8.2节式(21)中给出了自旋()与轨迹角动量(l)耦合成总角动量j的波函数ljm,这相当于
2
j
j1l,j2s的耦合。试由8.2节中式(21)写出表9.1(a)中的CG系数
12
j1m1
2m2jm
解:8.2节式(21a)(21b):
j
l12 (l0),m
j
m12
1
lm1Ylm
ljmj
2l1lmY lm1
jl12,mjm12
1
jmjYj12,m1j2
2j (21a)
jmjY
j12,m1j2
l
j2
1
lmYlmljmj
2l1 lm1Ylm1
jl1
2 (l0),mjm1
2
1jmj1Yj1
,m1
(21b) 2j2
2j2jm j1Y1j2,m1
j2
lj2
此二式中的l相当于CG系数中的j1 ,而j2s2
,mj~m,,~m1,m212。
因此,(21a)式可重写为
jm
j
1m1j2m2j1m1j2m2jm
m2
j111m1
22
jm
j111m1
22
j11m1
2
12
jm
j11m1
2
12
jm121111(21a),jl12j11
2
2jj1m11122
(21a’) j1m12111j1m12j1122
对照CG系数表,可知:当jj1j2j112,m22时 ,
1
j111mj1m12
1
22
jm
2j
1+1
而m22
时,
j1m1
12
12
jm
j1m12
2j1+1
2
对于jl12j112的(21b)式,有
1
j
1m1
112212
j1
12
,m
j1m12
2j1+1j1m122j+11
2
j1m1
12
j1
12
,m
9-2)设两个全同粒子角动量jj1j2,耦合成总角动量J,
jJM
2
m1m2
jm1jm2JMjm1
1
jm2
2 (1)
利用CG系数的对称性,证明
p12
jJM
2
2jJ
jJM
2
由此证明,无论是Bose子或Fermi子,J都必须取偶数
证:由式(1),
p12
jJM
2
m1m2
jm1jm2JMjm2jm1JM2jJ
jm1
22
jm2
1 1 1
jm2
把m1m2,
m1m2
jm2jm1
利用CG系数的对称性
m1m2
j1m2j2m1JMjm1
2
2jJ
jJM
2
(2)
对于Fermi子,j半奇数,2j奇数,但要求p12, 即要求
2jJ
1,所以J必须为偶数。
Jmax2j1,(Jxam
2j情况,只能构成交换对称态,为什么?)因此
J2j1,2j3,2,0
可验证:态
jJM
2
的总数为j2j1。 [2J1j2j1]。
J0
2j1
对于Bose子,j整数,2j偶数,但要求p12 即
2jJ
1 ,故J也必须为偶数
J2j,2j2,2,0
9-3)设原子中有两个价电子,处于Enl能级上,按LS耦合方案,L1L2L,s1s2s,LsJ(总
角动量)
证明: (a)Ls必为偶数;
(b)JLs,,Ls。当s0时,JL(偶); s1时,JL1,L,L1,J可以为奇,
也可以为偶。
证: 自旋的耦合:s1s21.(对称,三重态)
,s 20.(反对称,单态)
轨迹角动量的耦合:l1l2l,L2l,2l1,,1,0.
其中L偶是对称态,L奇是反对称态,总的波函数(对于交换全部坐标,包括自旋)要求反对称,所以
s0时,L2l,2l2,,0. s1时,L2l,2l1,,1.
在两种情况下,Ls都为偶数,但 JLs,,Ls
对于s0,JL偶;
s1,JL1,L,L1。 J可以为奇,也可以为偶
[讨论本题结论与题9-2有无矛盾?(按jj耦合方案,似乎J必为偶数)。提示:在本题中,若用jj耦合来分析,j?是否只有一个j值?两种耦合方案得出的态数是否相等?]
9-4)大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态即2j1。 提示:利用
jmjm00
jm
jj00
, 证明j1zj2zj,j1,,j的几率却相等,
) 2j1(P235,式(23)jj00,
j1m1j2m2JM
令
证:Dirac符号表示,有
j1j2
JM
JM
jj
00
j1
j2JM
j1m1j2m2
m1
(1)
在本题的情况下,j1j2j,JM0,m1m2m。 则(1)成为
jj00
m
jmjmjmjm00 (2)
其中jmj
m00即为耦合表象中的态jj00用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数,其模即表示体系处于jj00态时,测得j1z取值m(同时J2z取值m,m取j,j1,,j各可能值)的几率。
由提示,jmjm00
jm
2j1 (3)
jmjm00
2
12j1
(4)
即,对于给定的j1j2j所合成的态2j1。
jj00
,j1zj2zj,j1,,j的几率与m的具体取值无关,皆为
9-5)设J1
J2J,在j1j2jm态下,证明(取1)
j1x
j1y
j2x
j2y0,
j1z
m
jj1j1j11j2j21
2jj1
jj1j2j21j1j11
2jj1
j
2zmmj1z
证:(参剖析,8.68等)
9-6)在L2,Lz表象(
以为lm基矢)中,l1的子空间的维数为3,求Lx在此三维空间中的矩阵表示,再利用矩阵方法求出Lx的本征值和本征态
解:在L2,Lz表象中,l1的子空间中的基矢为lm1m,m1,0,1。由于
J
jm
j
m1jm1
212
jm1
jm1Jxjmjm1JxjmJx
12
jm1
jm jm1jm
JJ1。
对于本题,以上方式中jl,JxLx,JL,JzLz 不难求得
Lxmm
'
Lx11Lx00Lx11Lx11Lx110
Lx10Lx01Lx01Lx10
2
22
。
Lx在此三维空间中的矩阵表示为[L,Lz表象]
02
Lx1
100
1 (1) 20
1
0
设Lab
x的本征值为1,本征矢为,则本征方程为
c
10a211
b0 2201
2
c此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零,由此可解得本征值:210,
1,0,1. 将1代入(2),可得
ab
2
0, a
2bc
2
0, b
2
c0。
a由此得 acb
2, bb
1
2 2c1
归一化
b
2
2
1211,取 b2
。
1 1
122 ~1 1
同理,将0,1分别代入(2),可求得
1 11
222 ~0 ;3
1
2 ~1 。 121
2)3)4)
( (
(
第十章 定态问题的常用近似方法
10-1) 设非简谐振子的Hamilton量表为HH0H'
2
H0
d
22
2udx
12
22ux
'3
Hx(为实常数)
用微扰论求其能量本征值(准到二级近似)和本征函数(准到一级近似)。 解:已知H0
(0)
(0)
n
En
(0)n(0)
,nNne
2
x
2
Hnx,
En
n
,2
u
x
xn
xn
12
12
2
3
n
n1
n1
n1
n
x
2
nn1
n2
2n1
n1n2n2
3n1n1
x
3
xn
122
(1
)
n
nn1n2
n3
3nn
n1n1
n1n2n3n3计算一
级微扰:En
H
'
n
n
x3
n
0。
(也可由E
(1)
n
Hnn
'
n
x
2
3
xdx=0(奇)直接得出)
计算二级微扰,只有下列四个矩阵元不为0
:
n3
x3
n
22
3
nn1n2Hn3,n
'
n1
x3
n
22
3
3nnHn1,n
'
n1
x3
n
22
3
3n1n1Hn1,n
'
n3
x3
n
22
2
3
n1n2n3
2
Hn3,n
'
计算H
'
2kn
:H
'
n3,n
nn1n2
8
3
2
6
HH
'
n1,n
2
9n9n
3
88
6
'
n1,n
2
26
Hn3,n
'
2
n1n2n3
2
8
6
)(0)(0)
又En(0)En(03,EnEn1, 3
En
(0)
En1,En
(0)(0)
En33,
(0)
EnEn
(0)
EnEn
(1)(2)
En
2
(0)
Hnn
'
k
'
HknEn
(0)
'
2
Ek
(0)
130n30n11
n34
28u
22
n
(0)
n
(1)n
(0)n
k
'
HknE
(0)n
'
Ek
(0)
(0)
k
(0)n
13
223
nn1n2
(0)n3
3nn
(0)n1
3n1n1
(0)n1
13
)
n1n2n3n(03
10-2) 考虑耦合振子,HH0H' 参 书.下册§9.2
222222uxx21
H0
12
u2x12x2 2
H'x1x2(为实常数,刻画耦合强度) (a)求出H0的本征值及能级简并度。
(b)以第一激发态为例,用简并微扰论计算H'对能级的影响(一级近似)。 (c)严格求解H的本征值,并与微扰论计算结果比较,进行讨论。 提示:作坐标变换,令x1
12
,x2
12
,则H可化为两个独立的谐振子,,称为简正坐标。
解:(a)H0的本征函数和本征值可分别表为
n1n2
x1,x2nx1nx2 (1)
1
2
11
En1n2n1n2
22
n1n21,n1,n20,1,2, (2)
令 Nn1n2 (3) 则能量表示式可改为 ENN1,N0,1,2, (4) 由式(3)可以看出,对于N0情况。能级是简并的,简并度为N1。 (b)N1为第一激态(基态N0),能级为二重简并,
21
能量本征值为 E12 相应的本征函数为0
,分别记为f1x1,x2和f1x1,x2。x11x2与1x10x2(或考虑它们的线形迭加)
利用
x
n
12
n
n1
n1
n1
不难得出:W11W220 W12W21f1,x1x2f2
x1,x11x11x2,x20x2
12
2
2u
(实) 代入方程 de)uvE(1uv0 得 E(1)
2u
E
(1)
0
2u
解之,得 E(1)
2u
因此,原来二重简并的能级E1变成两条,能量分别为
E2
2u
能级简并被解除,类似还可求出其他能级的分裂,如图所示。 (c)严格求解如下: 令 x1
12
, x12
2
其逆变换为 11 2
x1+x2,
2
x1-x2 易证:
x2+x2=2
+2
1
1
xx22
122 22x2x222
212
因此,S.eq: 2222u22x
11x22u2x21x2
2
x1x2
E变为 222
1
2u
22u2
2
2
2
E
令
12
2
2
122
12
2
2
u2
2
12
u21,
2
u
2
2
2
u2
(5)
(6)
(7)
(7’)
(8) (9) (10)
22
即
1u1u
22
22
2
22
21u
2
(11)
E (12)
于是方程(10)变为
2212u1
2u2
22122
u22u2
2
是二彼此独立的谐振子,所以可以取
n1
n
2
n1
n2
12
n1
n1!
n2!
Hn11e
1
22
2
,1
u1
22
n1
Hn22e
2
22
,2
u2
(13)
相应的能量为
11
En1n2n11n22
22
n1,n20,1,2, (13)
当u时,由(11)式,得
2
11u21u
此时 Ennn1
12
2
2
12u
2u
1
1
2
2
12
n2
1
n2n1
22u
N1n2n1
2u
(14)
N1(第一激发态)的情况下,可有n1,n21,0与0,1两种情况(二简并态),相应的能量分别为 E102
2u
,E012
2u
能级分裂 EE01E10与微扰论计算结果一致。
u
10-3) 一维无限深势阱0xa中的粒子,受到微扰H'作用
H
'
x
2xa, 0xa2
21xa, a2xa
求基态能量的一级修正。
解:一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为
23
22
E
(0)2nxn
2ua
2
,
(0)n
2asin
na
,n1,2,3,
22基态 E
(0), (0)
21
2ua
2
1
a
sin
xa
,
基态能量的一级修正为
E
(1)'
1
H11
a
x2
H'
1xdx
2
a2
2
x2x
a
a
sinaadx
2a
a2
sin
2
x
a2
1x
adx 作变换u
x
au
a
a
,x
,dx
du;
vx
,xa
av
a
a
,dx
dv。
代入上式完成积分,
E(1)
42
1
2
sin
2
uudu
4
2
sin
2
vvdv
8
2
uudu1
2
2
0
sin
2。
2
10-4) 实际原子核不是一个点电荷,它具有一定大小,可近似视为半径为R的均匀分球体它产生的电势为
Ze31r2
RrR
r22R2, Zer
,
ra
Ze为核电荷,试把非点电荷效应看成微扰,
Ze231r2Ze2H'
R
22R2
R,rR
0 ,
ra
计算原子的1s能级的一级微扰修正。 解:.类氢离子中1s轨迹电子波函数为
1
1s
Z32
e
Zra
a3
a为波尔半径,1s能级的微扰论一级修正为
E
(1)2'1s
1sH'
1s
R
1sH4r2
dr
由于核半径R远小于原子半径aZ,积分时可取
e
2Zra
1
24
从而求出 E1(s1)
4Zea
3
42
2
R
42
r3rr32R2R422
2ZeR4ZR(0)drE1s3
55aa
2
2
其中 E
(0)
1s
Ze2a
2
为类氢离子的基态能级。
10-5) 设氢原子处n3能级,求它的Stark分裂。
提示:参阅10.2节中例1。注意n3能级简并度为9,考虑到微扰H'eZ相应的选择定则,此9维空间可以分解为若干个不变子空间。
解:加电场前,能级共对应有9个状态。零级波函数形式为
nlm
RnlrYlm, (1)
n3的9个态分别记为:
1320,
2
310
3
300,m
0;
4
321,5311,m1;
63217311m1;8322m
2;9322
视外电场为微扰,微扰作用势
m2; (2)
HereZercos (3)
'
R32 3
8130a2
2
8rrar
R311 (4) e3
a6a2276a
222r2rr3a
R30e13
3a27a33a2
4
rrea
2
a
将H'写成 Hea
'
'
ra
cosW,W
ra
cos。 (5)
由于H,Lz0,所以H'作用于
nlm
的结果,磁量子数m不变。又因为
cosYlmalmYl1,mal1,mYl1,m (6)
alm
l12m2
2l12l3
(6’)
H作用于
'
nlm
,量子数l将改变1。因此在计算微扰矩阵元Wuv中,只有W12W21,W23W32,W45W54,
W67W76不为零。
先算径向积分:
R32
ra
R31rdr
2
92
5,R31
ra
R30rdr92
2
25
再求出: W12W2133,W23W3236,
W45W54
92
, W67W76
92
。
再代入方程 deuvE(1)uv0,得
{
E
(1)
330000000m0
33E
(1)
36000000036E(1)
000000m1
{000E
(1)
92000000092E(1)
00000m1{
00000E
(1)
92000000092E(1)
00m2
{0000000E(1)
0m 2
{
E
(1)
E(1)3
E(1)
2
9
2
E
(1)
2
92
2
2
0
E(1)
93
0,0,0,2
ea,
92
ea,9ea。
E
(1)
330
(由33
E
(1)
360,解得E(1)
0,9,9)
36
E
(1)
E(1)
(由
92092
E
(1)
,解得E(1)92,92)
结果,n3的能级分裂成五条:
E0)
(0)
31E(3
9ea,E0)
32E(3
92
ea,E(0)33E3,E34E(0)
3
92
ea,E35E3
9ea。
10-6) 设HH'
0H,
HE(0)0
10b
0E(0)
,H'
a
a(a,b为实数) 2
b
用微扰论求解能级修正(准到二级近似),并与严格解(把H矩阵对角化)比较。 解:(1)由H'表达式可见,微扰哈密顿的矩阵元为
H'
'
'
'
11H22a,H12H21b
代入能量的微扰论二级近似公式
'
2
E(0)
'
HknnEn
H'
nn
k
E(0)
n
E(0)
k
即26
得 E1E
(0)1
a
bE
(0)2
2
(0)1
E
,E2E
(0)2
a
bE
(0)2
2
(0)1
E
(2)直接求能量。设H的本征矢为,对应的本征值为E,则本征方程为
E1(0)ab
E1(0)aE
即
b
bE2
(0)
ab
E
0
E2
(0)
aE
,有非零解的条件为
E1
(0)
aEb
E2
(0)
baE
0
即 E1(0)aEE2(0)aEb20 这是关于aE的二次方程,其解为
1(0)(0)
E1E22
aE
E
1
(0)
1
E2
(0)
2
4b
2
2
12
12
E
E
(0)
1
E2
(0)
E
2
(0)2
E1
(0)
1
2b
E(0)E(0)
12
(0)1
E
(0)2
E
2
1
(0)2
E
(0)1
22b
1
(0)(0)E2E1
2
12
E
(0)
1
E
(0)2
2
1b(0)(0)
E2E1(0) (0)
E2E12
以上的近似符合定态微扰论的要求,
bE
(0)
2
E
(0)1
1,
即微扰矩阵元小于能级差。上式分开号再写一步,得能级的二级近似
E1E
(0)1
a
bE2
(0)
2
(0)
E1
, E2E
(0)2
a
bE2
(0)
2
(0)
E1
这与(1)中用微扰论公式求得的结果完全一致。
10-7) 对于一维谐振子,取基态试探波函数形式为e解:设基态波函数Ce
x
2
x
2
,为参数,用变分法求基态能量,并与严格解比较。
,归一化,得
27
Ce
x
2
2
dxC
2
e
2x
2
dxC
2
2
2
1,
2
取 C
2
,
2
e
x
2
。
Hx
d
22
2udx
*
12
ux
22
2
x
2
2d2122
x2
E
Hdx
e
2udx2
2uxe
22
2x
2
12xdx
12
x
2
x2
dxu
e
2
u
e
2
2
2
2u
u8
由
E
2
u2
2u
2
, 得 8
0
u2
考虑x在x处要求有限的条件,取 u12
2
2
代入式(1),得谐振子(一维)基态能量
E0
12
与严格解求得的结果完全一致。
10-8) 对于非谐振子,H
2
d
24
2u2
dx
x,取试探波函数为
e
2
x
2
x
(与谐振子基态波函数形式相同),为参数,用变分法求基态能量。
2
222
解:
*d3
2
2u
e
2
x
2
1
2
x
2
dx
dx
2
0dx2u
4u
x4
2
dx
x4
e
2
x
2
dx
3
4
4
2
E
TV
2
4u
34
4
由
E
2
0,得
2u
3
5
0,
dx (1) (2) (1)
(2) (3)28
解得
2
6u
2
3
(4)
2
233
代入(3),得基态能量 E042u
(5)
10-9) 氢原子基态试探波函数取为e严格解比较。
解: 10-10)
设在氘核中的质子与中子的相互作用表成VrAera,(A32Mve
a
ra
2
,a
ue
22
(Bohr半径),为参数,用变分法求基态能量,并与
,a2.210
15
。m)
设质子与中子相对运动波函取为er
解:取 Ne归一化,2
r2a
,为变分参数,用变分法计算氘核得基态能量。
, (1)
2
ra
d4Ne
03
1
rdr1,
2
得 N8a3
(2)
212r
rAe(而Hamilton量为 H2ur2rr
TV
)
d
Td 2udr2u2a
AN
2
2
2
2
2
4
e
ra
e
r
2
rdrA
18ua
2
22
3
因此 E
V
A (3)
1
3
其中u为质子-中子体系的约化质量,即
u
E
mpmmpm
469.45Mevc
2
由极值条件0,求得最佳值满足的方程:
1
4
22
12uaA
(4)
给定了上式右端各参数值之后,可用数值法求出的最佳值,相应的E最小值可以表成
29
E
22
4ua
2
1 (5) 23
11
式(4)中,
22
12uaA
c2
12ucaA
2
2
0.04531
由式(4)求得最佳值为 1.326 (6)
代入(5)式,即得 E2.15Mev (7)
氘核基态能级的实验值为E2.23Mev,二者相差约3.6% 。
式(1)作为基态波函数的近似表达式,虽不十分准确,但简明易算。例如,由式(1)易得基态最可几半径为
r02a3.26 (fm) [fm:10
15
m] (8)
和公认的数值基本一致。最可几半径由径向几率密度的极值条件决定,即满足
ddr
r
2
2
0 rr0
由式(1)还可求出基态平均半径为
r
r
2
d3a4.89 (fm) (9)
10)
30
(
第十一章 量子跃迁
11—1)荷电q的离子在平衡位置附近作小振动(简谐振动)。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为(a)跃迁选择定则;(b)设离子原来处于基态,求每秒跃迁到第一激发态的几率。 ,波长较长。求:
11—2)氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用t0t。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率(取0沿z轴方向来计算)。 解:令r,t
Ct
n
n
n
re
iEnt
(6)
初始条件(5)亦即 Cn0n1 (5) 用式(6)代入式(4),但微扰项H'中取初值1(这是微扰论的实质性要点!)即得
n
i
dCn
n
dt
e
iEnt
H1e0z1t
'
*以n左乘上式两端并全空间积分,得
i
dCdt
n
e
zn1te
iEnt
再对积分,由t0t0,即得
Cnt
e0i
zn1 n1 (7)
因此t0时(即脉冲电场作用后)电子已跃迁到n态的几率为[可直接代入 P291式(23)、P321式(15)而得下式]
PnCnt
2
2e
0zn1 (8)
2
根据选择定则l1,m0,终态量子数必须是
nlmn10
即电子只能跃迁到各np态l1,而且磁量子数m0。 跃迁到各激发态的几率总和为
n
e'
Pn0
2
n
'
zn1
2
e
0zn1
n
2
2
z11
2
(9)
其中
z111z10 ( z为奇宇称)
n
zn1
2
n
1z
n
n
z11z1
2
13
1r1a (10)
22
a为Bohr半径,代入式(9)即得
n
ea'
Pn0 (11)
2
电场作用后电子仍留在基态的几率为
1
'
ea
Pn10 (12)
2
n
11—3)考虑一个二能级体系,Hamilton量H0表为(能量表象)
HE1
00E , EE
12 , 2
设t0时刻体系处于基态,后受微扰H'作用,
H'
,
求t时刻体系处于激发态的几率。
解:t0时,体系HH'
0H ,其矩阵表示(H0表象)为
HH'
E1
0H
E
2
设H的本征函数为
E
C11C2
C1
2
C 2
代入本征方程 HE
E
E
得到
E1E
C1C20
C1
E2EC 20上式存在非平庸解的条件为
E1E
EE1EE2E
2
0
2E
由此解出 E
1
2
2
E1E2E2
E1
2
4
E
令 E11
,,
2
E2
21 式(5)可以写成 E
2
1
2
2
4
2
2
当EE,由式(4)求得
1) (2) (3)
(4) (5)
6)
5’)
( ((
C2
2
4
22
2
C
1
取C11,即得相应的能量本征函数(未归一化)为
E
1
2
4
22
2
2 (7)
当EE,类似可求得
E
1
2
2
2
4
22
2
2 (8)
t0时,体系的初始状态为
t01
2
E
2
E
(9)
其中 因此t0时波函数为
t
2
4
2
(10)
eE
iEt
2
E
e
iEt
(11)
以式(5’)、(7)、(8)代入上式,即得
tt
t1cosisin
22
2t212t
2isine
2
i
212t
(12) e
i
体系处于2态的几率为
2t
2
2sin
2
2
t2
(13)
11—4)自旋为2的粒子,磁矩为u,处于沿z轴方向的常磁场B0中,初始时刻粒子自旋向下
z
1。后来
加上沿x轴方向的常磁场B1B0 。求t时刻粒子测得自旋向上的几率。(磁矩算符uu,与外磁场的的作用HuBB1xB0z. )
'
解:粒子的磁矩算符可表示成 uu (1) 为泡利算符,磁场对粒子的作用势为
HuBB1xB0z. (2)
'
在z表象中,H的矩阵表示为
0
HuB11
11uB000
0B0
uB11
B1
(2’) B0
以下求H的本征值和本征函数,设本征函数为
10C1
C10C21C (3)
2
本征方程为HE,则
B0
uB1C1
C1
E (4) B1
B0C2
C2
能级方程为
detEH
EuB0
uB1uB0 1
EuB0
令 uB2
2
00, uB11, 01 由式(5)容易解出 E 将E之值代回式(4),即可求出如下本征函数:
EE
C1
1
C1C1
2
C 20
1
1
0
0注意,这两个本征函数并未归一化。
将t0时的初始波函数按能量本征函数展开,
t0011
2
因此,t0时波函数
t
1it
2
e
e
it
i
1
sint10costi0sint0
1
注意t满足归一化条件 tt1 在时刻t0,测得粒子自旋“向上”
z
1的几率为
2
2P
2
z
1i
1
sint
1
2
sint
2
2
B1
B2
2
sinu
B22
0B1
0B1t
本题可以视为11—3)题的一个实例。
(5)
(6)
(7)(8) (9)
10) 11)
((
第十二章 散射
12-1)对低能粒子散射,设只考虑s波和p波,写出散射截面的一般形式。
2
解:
1il
k
2
2l1e
sinlPlcos
l0
只考虑s波和p波,则只取l0,1,于是
10
k
2
e
isin0P0cos3e
i1
sin1P1cos
2
P0cos1, P1coscos,代入上式,得
1i0
1
k
2
e
sin03e
isin1cos
2
1k2sin
2
sin2
2
2
060cos1cos01cos9sin1cos
1A2
2
k
2
A0A1cos2cos
其中 A0sin20,A16sin0cos1cos01,A29sin21。
12-2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面: (a) Vrra;
V0,0,
ra.
(b) VrVr
2
0e
(c) Vre
r
(d) Vrr.
解:本题的势场皆为中心势场,故有
f
2u2
q
'
rVr'
sinqr'dr'
,q2ksin
2
22f
4u
'
'
'
4
q
2
rV0
r
2
'
sinqrdr
(a)a
r'
V'
'
0sinqrdr
V0qa0
q
2
sinqaqacos
22
4uV04
q
6
sinqaqacosqa2
(b)
r'
Vr'2''V0'r
'2
0esinqrdr
2i
re
e
iqr
'
e
iqr
'
dr
'
(1)1)
(
22
22
V
r'iq
qr'iq
q
4
i0r'e22dr'
2
40
r'
e
dr'
2
2
r
V0q
2
4r'
iq
22i
e
r'e20dr'
'iq'
re
dr'
V0q
2
4
2i
e
I1I2 (3)
2
2
2
r'iq
其中 I
2
r'iq
'
2
r'iq
2
1
'
re
dr
'
0
r
iq2
e
dr'
iq2
e
dr'
2
e
d
iq
2
2
e
d
1iq2
(4)
4
2
r'iq
类似地可求得 I
2
2
r'
e
dr'
12
iq (5)
4
32
(4)、(5)代入(3),得
r'Vr'2V0q2
4
iqV0qq2
4
0esinqr'dr'2i
e (6)2
43e2
代入(2),得
22
uV0q
2
2
4 (7)4
3
e
(c)
r'
er'
'
'r
'
r'sinqr'dr'er0
sinqr'dr'
I
sinqrde
'r
'
r
'
sinqre
qcosqr'dr
'
q0
0
e
1'r
'cosqrde
q'r
'
r
'
'
2
cosqre
q0
e
0
sinqr'
dr
q2
1qI
由此解得 I
r'
0
er'
r'sinqr'dr'
q2q
2
(8) 代入(2),解得
4u
2q
24u224
q2
2
q
2
(9)
4
2
q
2
2
将Vrr.代入§12.3.2式(18),
f,f,
u2u2
2
d
3
re
'
'
'
iqr
'Vr,得
'
u r22
'
2
dre
2
3iqr
f,
u
2
224
2
(10)
可见,与,均无关,是各项同性的,
u
224
。
12-3)计算低能粒子散射截面(只考虑 波),设粒子自旋为2,相互作用为
V2,01
Vr
0,
rara
(1)
V00,入射粒子和靶粒子均未极化。
提示:计及粒子的全同性,对于s态(l0,空间波函数对称),两粒子自旋之和必为s0(单态),所以
3V
Vr
0,
,rara
(1’)
解:自旋为12的二全同粒子体系的总波函数必须是交换反对称的,s波(l0)波函数是两粒子空间坐标的对
称函数,所以自旋波函数必须是反对称的,即为自旋单态,因此,体系总自旋为0, 123
亦即,对于低能s波散射,式(1)等价于球方势阱
3V0,
Vr
0,
rara
(1’)
在质心系中,s波空间波函数可以写成
rurr (2) 其中r
为两粒子的相对距离,即r
2
"
E0时。径向方程为
亦即
2u
uVru0 (3)
uk0u0,rau0,
"
"2
ra
E0 (3’)
其中 k06uV03mV0 (4)
m为粒子质量,m2为两粒子体系的约化质量。
方程(3’)满足边界条件u00的解为
Asink0r
rur
C1a0
,,
rara
(5)
其中a0为散射密度(待定),a0即散射振幅,利用ra处u'u的连续条件,求得
tank0a
(6) 1a0aka
0tank0a
(7) 1fa0aka
0
由于是全同粒子散射,s波微分截面为
2
ff4a0 (8)
2
总截面(自旋单态,s波)为
t416a0 (9)
2
考虑到入射粒子和靶粒子都是未极化的,自旋指向取随机分布,两粒子形成自旋单态s0的几率为,形成
4
自旋三重态s1的几率为,后若对s波散射无贡献。因此,有效的总截面为
4
14
tank0a2
(10) 4a1ka
0
2
有效t4a0
2
在不发生共振散射的条件下,散射振幅和散射截面均和入射能量无关,这是低能散射的特点。 共振散射的条件为a0,亦即(参考式(6))
k0a
2
,
32
,
52
, (11)
这正是势阱的“阱口”出现束缚能级E0
2
的条件,这时式(9)和(10)应改为
2
t16f
16k
2
8
2
uEc
32mE
(12)
有效
14
t
8mE
2
22
其中E为实验室坐标系中入射中子动能,EcE2为质心系中总动能,Eck2u。
第六章 中心力场
6.1) 利用6.1.3节中式(17)、(18),证明下列关系式
1
相对动量 prm2p1m1p2 (1)
M
总动量
PMRp1p (2)
总轨迹角动量LL1L2r1p1r2p2RPrp (3) 总动能 T
2p12p22Pp
2
(4)
2m1
2m2
2M
2
反之,有 r
1Rmr, r2Rr 1m2
p1
mPp,p
2
2
mPp 1
以上各式中,Mm1m2, m1m2
m1m2
证: R
m1r1m2r2m , (17) rr1r2, (18)
1m2
相对动量
pr
m1m2
mrr1m12m2p11p2 1m2
M
总动量 PMRmmr1m2r2
1m21mmp1p2 12
总轨迹角动量 LL
1L2r1p1r2p2
(5)
uRmrpu
1Rr
p2 1m2Rp1p2
r
1M
m
2
p1m1p2
(1)(2)
RPrp
由(17)、(18)可解出r
1,r2,即(5)式;由(1’)(2’)可解出(6)。
2
2
总动能T
p22Pp
1p6m2m22
mPp1
12m22m1
2m
2
2
2
2
2
u
2
2m2
P
p
uPp
u
2P
p
uPp1m2
2m1
m1m2m2
2
1m2
2m
2
m
1m2
(5)
6)
1’)
2’)
(( (
m1
2m1m22Pp
2
2
P
2
m2
2m1m2
2
P
2
1
11
p2m1m2
2
(4’)
2M
2
[从(17),(18)式可解出(5)式;从(1),(2)式可解出(6)式].
6.2) 同上题,求坐标表象中p、P和L的算术表示式
pii
rPR,LRPrp
解: p
1M
m
2
p1m1p2
iM
m
2
r1m1r2
其中
r1
i
xj
k
1
y1
z,1
而
m1x
X
x1
x1Xx1x
MX
x,
同理,m1
m1y1
MY
yzMZ
z
;
1
(利用上题(17)(18)式。)
m1r1
M
Rr;仿此可设 m1r
2
M
Rr 代入(1)中,得 p
iM
m1m2m1m2
MRm2rMRm1r
ir Pp
1p2i(2)
r1r2
i
R
LRPrp
只要将(3)、(4)式中的p、P以相应的算符代入即可。
6.3)利用氢原子能级公式,讨论下列体系的能谱: (a)电子偶素(positronium,指e
e
束缚体系) (b)u原子(muonic atom)
(c)u子偶素(muonium,指u
u束缚体系) 解:由氢原子光谱理论,能级表达式为:
1)
2)
3)
4)
((( (
4E1n
ue2。
2
n
2
, u
mempmemp4(a)电子偶素能级 Eue1n
4
2
n2
,(u
memem
meeme
2
)
(b)u原子能级 Ee4
1mumpn
uu2n
2
,(um
2
u
)ump
(c)u子偶素能级Em4
ue1n4(
2
n
2
,u
mumum
mu)
umu
2
6.4)对于氢原子基态,计算xp。
解:
r
氢原子基态波函数为 1
2
100
a3e
0
宇称为偶。由于均为奇宇称算符,所以 x0, p x0 由于100各向同性,呈球对称分布,显然有
x
2
y
2
z
2
12
3
r p2
2
p2
1xpyz
3
p
2
容易算出 r2
r2
2
100d
r
1e2r
a0
2
a3
rsindrdd3a0 0
p2
2
2
2
100
100d
100
100100100d
2
2
2
d2
2
2100
r100rsindrdda
0 因此 x
2
a2
x
x2
x
2
0, a0 2p2
,p2
2
x 3a2
xpxpx
3a 0
xpx
3
测不准关系的普遍结论是 xpx
2
显然式(8)和(9)式是不矛盾的。而且
3
很接近式(9)规定的下限
2
。1)2)(3)4)5)6)
7)8)9) (
(
(
(
( (
(
(
6.5)对于氢原子基态,求电子处于经典禁区r2a(即EV0)的几率。 解:氢原子基态波函数为 1
1003
e
r
a
,a
2
a
ue
2
,
相应的能量 Eue4e
2
1
2
2
2a
2
动能 TrEe
1V
e
22a
r
TEV0是经典不允许区。由上式解出为r2a。
因此,电子处于经典不允许区的几率为
p
1
22ra
a
3
e
r2
drsindd(令2ra)
2a00
4a3
a3e
2
d13e40.2381
2
4
6.6)对于类氢原子(核电荷Ze)的“圆轨迹”(指nr0,ln1的轨迹),计算 (a)最可几半径; (b)平均半径; (c
)涨落r
r
2
r
2
12
解:类氢原子中电子波函数
nlm
可以表示为
1nlm
RnrlrYlm,
r
unrlrYlm, (a) 最可几半径由径向几率分布的极值条件 ddr
unrlr0 决定。ln1时,nr0。
una
0,n1rCrn
e
Zr
代入(2)式,容易求得 rn2
几a0Z 这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。 (b)在
nlm
态下,各r之间有递推关系(Kramers公式)
1a2n
2
r
2r1
Z
r
1
4
2l1
2
2
a2
Z
2
r
0 (参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197) 在(5)式中令
0,注意到r01。可设
1)
2)
(4)(5)
( (
1r
nlm
Zna
2
(6)
依次再取1,2,得到
12
r
nlm
3n
2
ll1
Za
(ln1)
2nZ
n (7)
2a
(c)r2
nlm
Z2
15n3ll12a
n
2
2(ln1)
1Z2
nnn1 (8)
2a
2
因此,r的涨落
r
r
2
r
212
2
n3na
24Z (9)
rr
n2
n
2
n2
12n1
(10)
可见,n
越大,r
r越小,量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。
6.7)设电荷为Ze的原子核突然发生衰变,核电荷变成Z1e,求衰变前原子Z中一个K电子(1s轨迹上的电子)在衰变后仍然保持在新的原子Z1的K轨迹的几率。
解:由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的K电子,其波函
Z
Z,r3
a
2
Zr
数仍未 100
e
(1) Z1
Z1,r3
a
3
2
而新原子中K电子的波函数应为 100
e
Z1r
a
(2)
将100Z,r按新原子的能量本征态作线形展开:
100Z,r
C
nlm
nlm
nlm
Z,r (3)
nlm
则衰变前的1s电子在衰变后处于新原子的
pnlmCnlm
2
Z
2
1,r态的几率为
Znlm1100Z (4)
因此,本题所求的几率为
p100100Z1100Z
2
Z
3
Z
2
1
6
3
a
42e2Z1rar2dr
2
Z
3
Z1
3
1
Z
2
6
11
11
Z2Z
36
(5)
展开时保留到第三项
当Z1,上式可近似取成 p1001例如, Z10, p1000.9932;
Z30, p1000.9992。
34Z
2
(5’)
6.8)设碱金属原子中的价电子所受电子实(原子核+满壳电子)的作用近似表为
Vr
e
2
r
ear
2
2
(01) (1)
a为Bohr半径,求价电子的能级。
118'''
ll1提示:令ll12ll1,解出
222l12
解:取守恒量完全集为H,L2,Lz,其共同本征函数为
r,,RrYlm,
ur满足径向方程
222
eea
ull12uEu (3) 2
2ur2urr
urr
Ylm, (2)
2
"
令 ll12ll1 (4)
'
'
22
''eull1式(3)就可以化为 uEu (3’) 22ur2ur
2
"
'
相当于氢原子径向方程中l换成l。所以式(3’)的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为
En
e
22
2na
'
, nnrl1, nr0,1,2, (5)
将l换成l,即得价电子的能级:
e
2'2
Enl
2na
,nnrl1 (6)
''
'
通常令 lll (7)
nnrll1nl (8)
'
。由于1,可以对式(4)作如下近似处理: l称为量子数l和n的“修正数”
''
ll12ll1llll1ll12l1ll
2
略去l,即得 ll
2
1
(9) 2
由于1, l1,因此,本题所得能级Enl和氢原子能级仅有较小的差别,但是能级的“l简并”已经消除。式(6)和碱金属光谱的实验资料大体一致,尤其是,修正数 l随l之升高而减小,这一点和实验符合的极好。
18'
式(4)的精确解为 ll1
222l12
1
12
(10)
若对上式作二项式展开,保留项,略去2以上各项,即可得到式(9)。
6.9)在二维谐振子势Vx,y
12Kxx
2
12
Kyy中的粒子,求解其能量本正值。对于二维各向同性
2
(KxKyK)的谐振子,求能级的简并度。(参 书卷ⅠP302-303) 解:
第七章 粒子在电磁场中的运动
7.1)设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场B中运动,求能级本征值和本征。 (参《导论》P225)
解:以电场方向为x轴,磁场方向为z轴,则
,0,0, B0,0,B (1)
去电磁场的标势和矢势为
x, A0,Bx,0 (2)
满足关系 , BA
粒子的Hamiton量为 H12
2up2pqBxp2
qx xyzC
取守恒量完全集为H,py,pz,它们的共同本征函数可写成
x,y,zxe
ipyypzz
其中Py和Pz为本征值,可取任意函数。
x,y,z满足能量本证方程: Hx,y,zEx,y,z
因此x满足方程
12
2qB2upxp2
xpzxqxxEx y
C
亦即,对于x来说,H和F式等价:
2H
2
q2B22ux
2
x2
qqB1222uC
2
uCpyx
2upypz
2
2
2B2222
12ux
2
q2uC
2
xx0
2
qB2uC
2
x0
2u
p
2y
p2
z
uC
2
其中 xqBuC0
pyq2B2qC
uCpyqBBu 式(6)相当于一维谐振子能量算符
2
2122ux
2
2
u
2
xx0,
qBuC
再加上两项函数,因此本题能级为
1q2
B2
En1
22uC2
x202up2yp2
z
3) 4)
(5) 6)
7) ( ( ( (
n1
2BqC22
uCp1p2
uC2B2
By2uz (8) 其中Py和Pz为任意实数, n0,1,2,
式(4)中 为以x为xx0变量的一维谐振子能量本征函数,即
x2
2
nxx0Hne
(9) Hun为厄密多项式,
xxqB
0C
xx0 。
7.2)设带电粒子在均匀磁场B和各向同性谐振子势Vr1
22
r2中运动,求能量本征值。
第八章 自旋
8.1) 在z表象中,求x的本征态。 解:在z表象中,x的矩阵表示为:
01
1 0
1aax
a0
设x的本征矢(在z表象中)为b,则有
10bb
可得ba及ab 21,1 。
1, 则ab; 1, 则ab 利用归一化条件,可求出x的两个本征态为
1,
111; 1, 11
1 。 22
8.2) 在
z表象中,求n的本征态,nsincos, sinsin, cos 是,方向的单位矢.
解:在z表象中,的矩阵表示为
x01
i
10, y0
i0, z
1
0
1
0 (1)
因此, nnxnxynyznz
nznxinycossine
i
nx
in
yn
cos (2)
zsine
i
设a
n的本征函数表示为b,本征值为,则本征方程为
0,即
cos
sine
i
n
sicosa
0 (3neib
) 由(3)式的系数行列式0,可解得1。
对于1,代回(3)式,可得
a
sine
i
cos
2i1nxnxinyb1cos sine2n
xiny1nx
归一化本征函数用,表示,通常取为
i
cos
1,2 (4) sinei
2或cose2
i
sin2e
后者形式上更加对称,它和前者相差因子ei2,并无实质差别。若用n
的直角坐标分量来表示,可以取为
111n
1nznxiny
21n
znxiny
或21n
(4’) z1nz
如n1,二者等价(仅有相因子的差别)。若n0,0,1,应取前者;若n
z0,0,1,应取后者。
对于1,类似地可以求得
a1cose
i
sin
21nxb
sin
einxinycos
2n
xiny1nxi
sin
sin或e
1,
(5) cosei
2
2i
cose2
2
或 1
1
1n
nxiny1nz
(5’) 1nz1nz或
221nznxiny
若n
0,0,1,取101,取11; 若n0,0,10。
8.3) 在s1z本征态1sz0下,求sx2
和s2
y。 2
解:s2
2
xsxsx
2
sxs2
x
但 s22
x
4(常数矩阵)
, sx
2
1
00
101,
100
s2
2
s2
2
x
4,类似有y
4。
8.4) (a)在sz本征态下,求n的可能测值及相应的几率。(b)同第2题,若电子处
2
于n1的自旋态下,求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。
解:(a)利用8.2)题求得1
n的本征函数,容易求出:在自旋态中,n1的几率为 2
0
2
2
11cos
(1)
2
2
1nz n1的几率为
2
1sin
2
2
2
z
12
1nz (2)
(b)在自旋态1n1态,
2
2
1的几率为
12
11
2
cos
2
2
1nz (3)
2
z
1的几率为:
12
1
2
sin
2
12
1nz (4)
z
1nz1
2
12
1nz1
2
nz
2
[或
z
cos
2
1sin
2
1cos
2
sin
2
2
cosnz (5’)]
考虑到 nxnxynyznz,
各分量以及n各分量在n的构造中地位对称,所以利用式(3)、(4)、(5),作x,y,z轮换,就可推论出以下
各点:
x
1的几率为
12
1nx, (6)
x
nx (7)
12
y
1的几率为
1n (8)
y
y
ny (9)
将式(5)、(7)、(9)合并写成矢量形式如下:
自旋态1n1中,
n (10) 类似地,容易算出:自旋态1n1中,
解二:(a)在
z
n (11)
1自旋态1中,
2
n
的可能测值为本征值1;设相应的几率为w及w,则
nw1w1ww (12)
由于 nxnxynyznz (13) 考虑到在z的本征态中
x
和
y
的平均值为0,
z
的平均值即为其本征值,因此在态下,
2
nznz1nznzcos (14)
由式(12)、(14),并利用ww1,就可求出
w
12
1nz,
w
12
1nz (15)
此即解一中的式(1)、(2)。
(b)在式(14)中,是z轴和n的夹角。 z轴和n的选取是任意的。完全可以将原来的z轴作为新的n轴,而原来的n取作新的z轴。由此可知:在n1的自旋态中,z的平均值仍为cos,即nz。再令x,y,z轮换,即得自旋态1
n1中,n (10)
在1态下各分量的取值大部分当然均为1,其几率也可估照(a)中计算而写出,即
x
1的几率为1的几率为
121212
1nx (6)
y
1n (8)
y
8.5) 证明e
i
z
z
1的几率为
1nz (3,4)
xe
i
z
cos2
x
sin2y(为常数)[量Ⅱ]
8.7)由两个非全同粒子(自旋均为
2
)组成的体系,设粒子间相互作用表为HAs1s2 (不考虑轨迹运动)。
设初始时刻(t0)粒子1自旋“向上”s1z12,粒子2自旋“向下”s2z12。求时刻t0时,
(a) 粒子1自旋向上的几率(答:cos2At2,取1) (b) 粒子1和2的自旋向上的几率(答:0) (c) 总自旋s=0和1的几率(答:都是2)
(d)
求和的平均值(答:s
1xs1ys2xs2y0,s1z
解:从求体系的自旋波函数入手,由于
HAs1s2
A23
s (1) 22
2
12
cosAt,s2z
12
cosAt)。
易见总自旋s是守恒量,所以定态波函数可以选为s、sz的共同本征函数,按照总自旋量子数s的不同取值,本征函数和能级为
s1,s0,
1M,
s
00,
E1A4,
(2)
E03A4
t0时,体系的自旋态为
012
因此,t0时波函数为
12
1000 (3)
t
即 t
12
12
10e
iE1t
12
00e
iE0t
(4)
1212eiA4
12
1212e3iA
AtAtiAt
12cosi12sine22
4
(4’)
(a)由式(4’)可知,在时刻t,粒子1自旋“向上”[同时粒子2自旋“向下”,相当于12项]的几率为cos2
At
。
2
(b)粒子1和2自旋均“向上”[相应于12,式(4’)中没有这种项]的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋sz为守恒量,而体系初态sz0,所以任何时刻sz必为0,不可能出现两个粒子均“向上”sz1的情形。
(c)由式(4)可知,总自旋量子数2
s取1和0的几率相等,各为2。由于s守恒,这个几率不随时间改变 (d)利用式(4’)容易算出s1和s2的平均值为
s1xt
s1yts2x
ts2y
t
0,
s
1
2
At
1zt
2cos
2sin2At21cosAt,2 (5) s2z
t
s1z
t
12cosAt 。
第九章 力学量本征值问题的代数解法
9—1) 在8.2节式(21)中给出了自旋()与轨迹角动量(l)耦合成总角动量j的波函数ljm,这相当于
2
j
j1l,j2s的耦合。试由8.2节中式(21)写出表9.1(a)中的CG系数
12
j1m1
2m2jm
解:8.2节式(21a)(21b):
j
l12 (l0),m
j
m12
1
lm1Ylm
ljmj
2l1lmY lm1
jl12,mjm12
1
jmjYj12,m1j2
2j (21a)
jmjY
j12,m1j2
l
j2
1
lmYlmljmj
2l1 lm1Ylm1
jl1
2 (l0),mjm1
2
1jmj1Yj1
,m1
(21b) 2j2
2j2jm j1Y1j2,m1
j2
lj2
此二式中的l相当于CG系数中的j1 ,而j2s2
,mj~m,,~m1,m212。
因此,(21a)式可重写为
jm
j
1m1j2m2j1m1j2m2jm
m2
j111m1
22
jm
j111m1
22
j11m1
2
12
jm
j11m1
2
12
jm121111(21a),jl12j11
2
2jj1m11122
(21a’) j1m12111j1m12j1122
对照CG系数表,可知:当jj1j2j112,m22时 ,
1
j111mj1m12
1
22
jm
2j
1+1
而m22
时,
j1m1
12
12
jm
j1m12
2j1+1
2
对于jl12j112的(21b)式,有
1
j
1m1
112212
j1
12
,m
j1m12
2j1+1j1m122j+11
2
j1m1
12
j1
12
,m
9-2)设两个全同粒子角动量jj1j2,耦合成总角动量J,
jJM
2
m1m2
jm1jm2JMjm1
1
jm2
2 (1)
利用CG系数的对称性,证明
p12
jJM
2
2jJ
jJM
2
由此证明,无论是Bose子或Fermi子,J都必须取偶数
证:由式(1),
p12
jJM
2
m1m2
jm1jm2JMjm2jm1JM2jJ
jm1
22
jm2
1 1 1
jm2
把m1m2,
m1m2
jm2jm1
利用CG系数的对称性
m1m2
j1m2j2m1JMjm1
2
2jJ
jJM
2
(2)
对于Fermi子,j半奇数,2j奇数,但要求p12, 即要求
2jJ
1,所以J必须为偶数。
Jmax2j1,(Jxam
2j情况,只能构成交换对称态,为什么?)因此
J2j1,2j3,2,0
可验证:态
jJM
2
的总数为j2j1。 [2J1j2j1]。
J0
2j1
对于Bose子,j整数,2j偶数,但要求p12 即
2jJ
1 ,故J也必须为偶数
J2j,2j2,2,0
9-3)设原子中有两个价电子,处于Enl能级上,按LS耦合方案,L1L2L,s1s2s,LsJ(总
角动量)
证明: (a)Ls必为偶数;
(b)JLs,,Ls。当s0时,JL(偶); s1时,JL1,L,L1,J可以为奇,
也可以为偶。
证: 自旋的耦合:s1s21.(对称,三重态)
,s 20.(反对称,单态)
轨迹角动量的耦合:l1l2l,L2l,2l1,,1,0.
其中L偶是对称态,L奇是反对称态,总的波函数(对于交换全部坐标,包括自旋)要求反对称,所以
s0时,L2l,2l2,,0. s1时,L2l,2l1,,1.
在两种情况下,Ls都为偶数,但 JLs,,Ls
对于s0,JL偶;
s1,JL1,L,L1。 J可以为奇,也可以为偶
[讨论本题结论与题9-2有无矛盾?(按jj耦合方案,似乎J必为偶数)。提示:在本题中,若用jj耦合来分析,j?是否只有一个j值?两种耦合方案得出的态数是否相等?]
9-4)大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态即2j1。 提示:利用
jmjm00
jm
jj00
, 证明j1zj2zj,j1,,j的几率却相等,
) 2j1(P235,式(23)jj00,
j1m1j2m2JM
令
证:Dirac符号表示,有
j1j2
JM
JM
jj
00
j1
j2JM
j1m1j2m2
m1
(1)
在本题的情况下,j1j2j,JM0,m1m2m。 则(1)成为
jj00
m
jmjmjmjm00 (2)
其中jmj
m00即为耦合表象中的态jj00用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数,其模即表示体系处于jj00态时,测得j1z取值m(同时J2z取值m,m取j,j1,,j各可能值)的几率。
由提示,jmjm00
jm
2j1 (3)
jmjm00
2
12j1
(4)
即,对于给定的j1j2j所合成的态2j1。
jj00
,j1zj2zj,j1,,j的几率与m的具体取值无关,皆为
9-5)设J1
J2J,在j1j2jm态下,证明(取1)
j1x
j1y
j2x
j2y0,
j1z
m
jj1j1j11j2j21
2jj1
jj1j2j21j1j11
2jj1
j
2zmmj1z
证:(参剖析,8.68等)
9-6)在L2,Lz表象(
以为lm基矢)中,l1的子空间的维数为3,求Lx在此三维空间中的矩阵表示,再利用矩阵方法求出Lx的本征值和本征态
解:在L2,Lz表象中,l1的子空间中的基矢为lm1m,m1,0,1。由于
J
jm
j
m1jm1
212
jm1
jm1Jxjmjm1JxjmJx
12
jm1
jm jm1jm
JJ1。
对于本题,以上方式中jl,JxLx,JL,JzLz 不难求得
Lxmm
'
Lx11Lx00Lx11Lx11Lx110
Lx10Lx01Lx01Lx10
2
22
。
Lx在此三维空间中的矩阵表示为[L,Lz表象]
02
Lx1
100
1 (1) 20
1
0
设Lab
x的本征值为1,本征矢为,则本征方程为
c
10a211
b0 2201
2
c此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零,由此可解得本征值:210,
1,0,1. 将1代入(2),可得
ab
2
0, a
2bc
2
0, b
2
c0。
a由此得 acb
2, bb
1
2 2c1
归一化
b
2
2
1211,取 b2
。
1 1
122 ~1 1
同理,将0,1分别代入(2),可求得
1 11
222 ~0 ;3
1
2 ~1 。 121
2)3)4)
( (
(
第十章 定态问题的常用近似方法
10-1) 设非简谐振子的Hamilton量表为HH0H'
2
H0
d
22
2udx
12
22ux
'3
Hx(为实常数)
用微扰论求其能量本征值(准到二级近似)和本征函数(准到一级近似)。 解:已知H0
(0)
(0)
n
En
(0)n(0)
,nNne
2
x
2
Hnx,
En
n
,2
u
x
xn
xn
12
12
2
3
n
n1
n1
n1
n
x
2
nn1
n2
2n1
n1n2n2
3n1n1
x
3
xn
122
(1
)
n
nn1n2
n3
3nn
n1n1
n1n2n3n3计算一
级微扰:En
H
'
n
n
x3
n
0。
(也可由E
(1)
n
Hnn
'
n
x
2
3
xdx=0(奇)直接得出)
计算二级微扰,只有下列四个矩阵元不为0
:
n3
x3
n
22
3
nn1n2Hn3,n
'
n1
x3
n
22
3
3nnHn1,n
'
n1
x3
n
22
3
3n1n1Hn1,n
'
n3
x3
n
22
2
3
n1n2n3
2
Hn3,n
'
计算H
'
2kn
:H
'
n3,n
nn1n2
8
3
2
6
HH
'
n1,n
2
9n9n
3
88
6
'
n1,n
2
26
Hn3,n
'
2
n1n2n3
2
8
6
)(0)(0)
又En(0)En(03,EnEn1, 3
En
(0)
En1,En
(0)(0)
En33,
(0)
EnEn
(0)
EnEn
(1)(2)
En
2
(0)
Hnn
'
k
'
HknEn
(0)
'
2
Ek
(0)
130n30n11
n34
28u
22
n
(0)
n
(1)n
(0)n
k
'
HknE
(0)n
'
Ek
(0)
(0)
k
(0)n
13
223
nn1n2
(0)n3
3nn
(0)n1
3n1n1
(0)n1
13
)
n1n2n3n(03
10-2) 考虑耦合振子,HH0H' 参 书.下册§9.2
222222uxx21
H0
12
u2x12x2 2
H'x1x2(为实常数,刻画耦合强度) (a)求出H0的本征值及能级简并度。
(b)以第一激发态为例,用简并微扰论计算H'对能级的影响(一级近似)。 (c)严格求解H的本征值,并与微扰论计算结果比较,进行讨论。 提示:作坐标变换,令x1
12
,x2
12
,则H可化为两个独立的谐振子,,称为简正坐标。
解:(a)H0的本征函数和本征值可分别表为
n1n2
x1,x2nx1nx2 (1)
1
2
11
En1n2n1n2
22
n1n21,n1,n20,1,2, (2)
令 Nn1n2 (3) 则能量表示式可改为 ENN1,N0,1,2, (4) 由式(3)可以看出,对于N0情况。能级是简并的,简并度为N1。 (b)N1为第一激态(基态N0),能级为二重简并,
21
能量本征值为 E12 相应的本征函数为0
,分别记为f1x1,x2和f1x1,x2。x11x2与1x10x2(或考虑它们的线形迭加)
利用
x
n
12
n
n1
n1
n1
不难得出:W11W220 W12W21f1,x1x2f2
x1,x11x11x2,x20x2
12
2
2u
(实) 代入方程 de)uvE(1uv0 得 E(1)
2u
E
(1)
0
2u
解之,得 E(1)
2u
因此,原来二重简并的能级E1变成两条,能量分别为
E2
2u
能级简并被解除,类似还可求出其他能级的分裂,如图所示。 (c)严格求解如下: 令 x1
12
, x12
2
其逆变换为 11 2
x1+x2,
2
x1-x2 易证:
x2+x2=2
+2
1
1
xx22
122 22x2x222
212
因此,S.eq: 2222u22x
11x22u2x21x2
2
x1x2
E变为 222
1
2u
22u2
2
2
2
E
令
12
2
2
122
12
2
2
u2
2
12
u21,
2
u
2
2
2
u2
(5)
(6)
(7)
(7’)
(8) (9) (10)
22
即
1u1u
22
22
2
22
21u
2
(11)
E (12)
于是方程(10)变为
2212u1
2u2
22122
u22u2
2
是二彼此独立的谐振子,所以可以取
n1
n
2
n1
n2
12
n1
n1!
n2!
Hn11e
1
22
2
,1
u1
22
n1
Hn22e
2
22
,2
u2
(13)
相应的能量为
11
En1n2n11n22
22
n1,n20,1,2, (13)
当u时,由(11)式,得
2
11u21u
此时 Ennn1
12
2
2
12u
2u
1
1
2
2
12
n2
1
n2n1
22u
N1n2n1
2u
(14)
N1(第一激发态)的情况下,可有n1,n21,0与0,1两种情况(二简并态),相应的能量分别为 E102
2u
,E012
2u
能级分裂 EE01E10与微扰论计算结果一致。
u
10-3) 一维无限深势阱0xa中的粒子,受到微扰H'作用
H
'
x
2xa, 0xa2
21xa, a2xa
求基态能量的一级修正。
解:一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为
23
22
E
(0)2nxn
2ua
2
,
(0)n
2asin
na
,n1,2,3,
22基态 E
(0), (0)
21
2ua
2
1
a
sin
xa
,
基态能量的一级修正为
E
(1)'
1
H11
a
x2
H'
1xdx
2
a2
2
x2x
a
a
sinaadx
2a
a2
sin
2
x
a2
1x
adx 作变换u
x
au
a
a
,x
,dx
du;
vx
,xa
av
a
a
,dx
dv。
代入上式完成积分,
E(1)
42
1
2
sin
2
uudu
4
2
sin
2
vvdv
8
2
uudu1
2
2
0
sin
2。
2
10-4) 实际原子核不是一个点电荷,它具有一定大小,可近似视为半径为R的均匀分球体它产生的电势为
Ze31r2
RrR
r22R2, Zer
,
ra
Ze为核电荷,试把非点电荷效应看成微扰,
Ze231r2Ze2H'
R
22R2
R,rR
0 ,
ra
计算原子的1s能级的一级微扰修正。 解:.类氢离子中1s轨迹电子波函数为
1
1s
Z32
e
Zra
a3
a为波尔半径,1s能级的微扰论一级修正为
E
(1)2'1s
1sH'
1s
R
1sH4r2
dr
由于核半径R远小于原子半径aZ,积分时可取
e
2Zra
1
24
从而求出 E1(s1)
4Zea
3
42
2
R
42
r3rr32R2R422
2ZeR4ZR(0)drE1s3
55aa
2
2
其中 E
(0)
1s
Ze2a
2
为类氢离子的基态能级。
10-5) 设氢原子处n3能级,求它的Stark分裂。
提示:参阅10.2节中例1。注意n3能级简并度为9,考虑到微扰H'eZ相应的选择定则,此9维空间可以分解为若干个不变子空间。
解:加电场前,能级共对应有9个状态。零级波函数形式为
nlm
RnlrYlm, (1)
n3的9个态分别记为:
1320,
2
310
3
300,m
0;
4
321,5311,m1;
63217311m1;8322m
2;9322
视外电场为微扰,微扰作用势
m2; (2)
HereZercos (3)
'
R32 3
8130a2
2
8rrar
R311 (4) e3
a6a2276a
222r2rr3a
R30e13
3a27a33a2
4
rrea
2
a
将H'写成 Hea
'
'
ra
cosW,W
ra
cos。 (5)
由于H,Lz0,所以H'作用于
nlm
的结果,磁量子数m不变。又因为
cosYlmalmYl1,mal1,mYl1,m (6)
alm
l12m2
2l12l3
(6’)
H作用于
'
nlm
,量子数l将改变1。因此在计算微扰矩阵元Wuv中,只有W12W21,W23W32,W45W54,
W67W76不为零。
先算径向积分:
R32
ra
R31rdr
2
92
5,R31
ra
R30rdr92
2
25
再求出: W12W2133,W23W3236,
W45W54
92
, W67W76
92
。
再代入方程 deuvE(1)uv0,得
{
E
(1)
330000000m0
33E
(1)
36000000036E(1)
000000m1
{000E
(1)
92000000092E(1)
00000m1{
00000E
(1)
92000000092E(1)
00m2
{0000000E(1)
0m 2
{
E
(1)
E(1)3
E(1)
2
9
2
E
(1)
2
92
2
2
0
E(1)
93
0,0,0,2
ea,
92
ea,9ea。
E
(1)
330
(由33
E
(1)
360,解得E(1)
0,9,9)
36
E
(1)
E(1)
(由
92092
E
(1)
,解得E(1)92,92)
结果,n3的能级分裂成五条:
E0)
(0)
31E(3
9ea,E0)
32E(3
92
ea,E(0)33E3,E34E(0)
3
92
ea,E35E3
9ea。
10-6) 设HH'
0H,
HE(0)0
10b
0E(0)
,H'
a
a(a,b为实数) 2
b
用微扰论求解能级修正(准到二级近似),并与严格解(把H矩阵对角化)比较。 解:(1)由H'表达式可见,微扰哈密顿的矩阵元为
H'
'
'
'
11H22a,H12H21b
代入能量的微扰论二级近似公式
'
2
E(0)
'
HknnEn
H'
nn
k
E(0)
n
E(0)
k
即26
得 E1E
(0)1
a
bE
(0)2
2
(0)1
E
,E2E
(0)2
a
bE
(0)2
2
(0)1
E
(2)直接求能量。设H的本征矢为,对应的本征值为E,则本征方程为
E1(0)ab
E1(0)aE
即
b
bE2
(0)
ab
E
0
E2
(0)
aE
,有非零解的条件为
E1
(0)
aEb
E2
(0)
baE
0
即 E1(0)aEE2(0)aEb20 这是关于aE的二次方程,其解为
1(0)(0)
E1E22
aE
E
1
(0)
1
E2
(0)
2
4b
2
2
12
12
E
E
(0)
1
E2
(0)
E
2
(0)2
E1
(0)
1
2b
E(0)E(0)
12
(0)1
E
(0)2
E
2
1
(0)2
E
(0)1
22b
1
(0)(0)E2E1
2
12
E
(0)
1
E
(0)2
2
1b(0)(0)
E2E1(0) (0)
E2E12
以上的近似符合定态微扰论的要求,
bE
(0)
2
E
(0)1
1,
即微扰矩阵元小于能级差。上式分开号再写一步,得能级的二级近似
E1E
(0)1
a
bE2
(0)
2
(0)
E1
, E2E
(0)2
a
bE2
(0)
2
(0)
E1
这与(1)中用微扰论公式求得的结果完全一致。
10-7) 对于一维谐振子,取基态试探波函数形式为e解:设基态波函数Ce
x
2
x
2
,为参数,用变分法求基态能量,并与严格解比较。
,归一化,得
27
Ce
x
2
2
dxC
2
e
2x
2
dxC
2
2
2
1,
2
取 C
2
,
2
e
x
2
。
Hx
d
22
2udx
*
12
ux
22
2
x
2
2d2122
x2
E
Hdx
e
2udx2
2uxe
22
2x
2
12xdx
12
x
2
x2
dxu
e
2
u
e
2
2
2
2u
u8
由
E
2
u2
2u
2
, 得 8
0
u2
考虑x在x处要求有限的条件,取 u12
2
2
代入式(1),得谐振子(一维)基态能量
E0
12
与严格解求得的结果完全一致。
10-8) 对于非谐振子,H
2
d
24
2u2
dx
x,取试探波函数为
e
2
x
2
x
(与谐振子基态波函数形式相同),为参数,用变分法求基态能量。
2
222
解:
*d3
2
2u
e
2
x
2
1
2
x
2
dx
dx
2
0dx2u
4u
x4
2
dx
x4
e
2
x
2
dx
3
4
4
2
E
TV
2
4u
34
4
由
E
2
0,得
2u
3
5
0,
dx (1) (2) (1)
(2) (3)28
解得
2
6u
2
3
(4)
2
233
代入(3),得基态能量 E042u
(5)
10-9) 氢原子基态试探波函数取为e严格解比较。
解: 10-10)
设在氘核中的质子与中子的相互作用表成VrAera,(A32Mve
a
ra
2
,a
ue
22
(Bohr半径),为参数,用变分法求基态能量,并与
,a2.210
15
。m)
设质子与中子相对运动波函取为er
解:取 Ne归一化,2
r2a
,为变分参数,用变分法计算氘核得基态能量。
, (1)
2
ra
d4Ne
03
1
rdr1,
2
得 N8a3
(2)
212r
rAe(而Hamilton量为 H2ur2rr
TV
)
d
Td 2udr2u2a
AN
2
2
2
2
2
4
e
ra
e
r
2
rdrA
18ua
2
22
3
因此 E
V
A (3)
1
3
其中u为质子-中子体系的约化质量,即
u
E
mpmmpm
469.45Mevc
2
由极值条件0,求得最佳值满足的方程:
1
4
22
12uaA
(4)
给定了上式右端各参数值之后,可用数值法求出的最佳值,相应的E最小值可以表成
29
E
22
4ua
2
1 (5) 23
11
式(4)中,
22
12uaA
c2
12ucaA
2
2
0.04531
由式(4)求得最佳值为 1.326 (6)
代入(5)式,即得 E2.15Mev (7)
氘核基态能级的实验值为E2.23Mev,二者相差约3.6% 。
式(1)作为基态波函数的近似表达式,虽不十分准确,但简明易算。例如,由式(1)易得基态最可几半径为
r02a3.26 (fm) [fm:10
15
m] (8)
和公认的数值基本一致。最可几半径由径向几率密度的极值条件决定,即满足
ddr
r
2
2
0 rr0
由式(1)还可求出基态平均半径为
r
r
2
d3a4.89 (fm) (9)
10)
30
(
第十一章 量子跃迁
11—1)荷电q的离子在平衡位置附近作小振动(简谐振动)。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为(a)跃迁选择定则;(b)设离子原来处于基态,求每秒跃迁到第一激发态的几率。 ,波长较长。求:
11—2)氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用t0t。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率(取0沿z轴方向来计算)。 解:令r,t
Ct
n
n
n
re
iEnt
(6)
初始条件(5)亦即 Cn0n1 (5) 用式(6)代入式(4),但微扰项H'中取初值1(这是微扰论的实质性要点!)即得
n
i
dCn
n
dt
e
iEnt
H1e0z1t
'
*以n左乘上式两端并全空间积分,得
i
dCdt
n
e
zn1te
iEnt
再对积分,由t0t0,即得
Cnt
e0i
zn1 n1 (7)
因此t0时(即脉冲电场作用后)电子已跃迁到n态的几率为[可直接代入 P291式(23)、P321式(15)而得下式]
PnCnt
2
2e
0zn1 (8)
2
根据选择定则l1,m0,终态量子数必须是
nlmn10
即电子只能跃迁到各np态l1,而且磁量子数m0。 跃迁到各激发态的几率总和为
n
e'
Pn0
2
n
'
zn1
2
e
0zn1
n
2
2
z11
2
(9)
其中
z111z10 ( z为奇宇称)
n
zn1
2
n
1z
n
n
z11z1
2
13
1r1a (10)
22
a为Bohr半径,代入式(9)即得
n
ea'
Pn0 (11)
2
电场作用后电子仍留在基态的几率为
1
'
ea
Pn10 (12)
2
n
11—3)考虑一个二能级体系,Hamilton量H0表为(能量表象)
HE1
00E , EE
12 , 2
设t0时刻体系处于基态,后受微扰H'作用,
H'
,
求t时刻体系处于激发态的几率。
解:t0时,体系HH'
0H ,其矩阵表示(H0表象)为
HH'
E1
0H
E
2
设H的本征函数为
E
C11C2
C1
2
C 2
代入本征方程 HE
E
E
得到
E1E
C1C20
C1
E2EC 20上式存在非平庸解的条件为
E1E
EE1EE2E
2
0
2E
由此解出 E
1
2
2
E1E2E2
E1
2
4
E
令 E11
,,
2
E2
21 式(5)可以写成 E
2
1
2
2
4
2
2
当EE,由式(4)求得
1) (2) (3)
(4) (5)
6)
5’)
( ((
C2
2
4
22
2
C
1
取C11,即得相应的能量本征函数(未归一化)为
E
1
2
4
22
2
2 (7)
当EE,类似可求得
E
1
2
2
2
4
22
2
2 (8)
t0时,体系的初始状态为
t01
2
E
2
E
(9)
其中 因此t0时波函数为
t
2
4
2
(10)
eE
iEt
2
E
e
iEt
(11)
以式(5’)、(7)、(8)代入上式,即得
tt
t1cosisin
22
2t212t
2isine
2
i
212t
(12) e
i
体系处于2态的几率为
2t
2
2sin
2
2
t2
(13)
11—4)自旋为2的粒子,磁矩为u,处于沿z轴方向的常磁场B0中,初始时刻粒子自旋向下
z
1。后来
加上沿x轴方向的常磁场B1B0 。求t时刻粒子测得自旋向上的几率。(磁矩算符uu,与外磁场的的作用HuBB1xB0z. )
'
解:粒子的磁矩算符可表示成 uu (1) 为泡利算符,磁场对粒子的作用势为
HuBB1xB0z. (2)
'
在z表象中,H的矩阵表示为
0
HuB11
11uB000
0B0
uB11
B1
(2’) B0
以下求H的本征值和本征函数,设本征函数为
10C1
C10C21C (3)
2
本征方程为HE,则
B0
uB1C1
C1
E (4) B1
B0C2
C2
能级方程为
detEH
EuB0
uB1uB0 1
EuB0
令 uB2
2
00, uB11, 01 由式(5)容易解出 E 将E之值代回式(4),即可求出如下本征函数:
EE
C1
1
C1C1
2
C 20
1
1
0
0注意,这两个本征函数并未归一化。
将t0时的初始波函数按能量本征函数展开,
t0011
2
因此,t0时波函数
t
1it
2
e
e
it
i
1
sint10costi0sint0
1
注意t满足归一化条件 tt1 在时刻t0,测得粒子自旋“向上”
z
1的几率为
2
2P
2
z
1i
1
sint
1
2
sint
2
2
B1
B2
2
sinu
B22
0B1
0B1t
本题可以视为11—3)题的一个实例。
(5)
(6)
(7)(8) (9)
10) 11)
((
第十二章 散射
12-1)对低能粒子散射,设只考虑s波和p波,写出散射截面的一般形式。
2
解:
1il
k
2
2l1e
sinlPlcos
l0
只考虑s波和p波,则只取l0,1,于是
10
k
2
e
isin0P0cos3e
i1
sin1P1cos
2
P0cos1, P1coscos,代入上式,得
1i0
1
k
2
e
sin03e
isin1cos
2
1k2sin
2
sin2
2
2
060cos1cos01cos9sin1cos
1A2
2
k
2
A0A1cos2cos
其中 A0sin20,A16sin0cos1cos01,A29sin21。
12-2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面: (a) Vrra;
V0,0,
ra.
(b) VrVr
2
0e
(c) Vre
r
(d) Vrr.
解:本题的势场皆为中心势场,故有
f
2u2
q
'
rVr'
sinqr'dr'
,q2ksin
2
22f
4u
'
'
'
4
q
2
rV0
r
2
'
sinqrdr
(a)a
r'
V'
'
0sinqrdr
V0qa0
q
2
sinqaqacos
22
4uV04
q
6
sinqaqacosqa2
(b)
r'
Vr'2''V0'r
'2
0esinqrdr
2i
re
e
iqr
'
e
iqr
'
dr
'
(1)1)
(
22
22
V
r'iq
qr'iq
q
4
i0r'e22dr'
2
40
r'
e
dr'
2
2
r
V0q
2
4r'
iq
22i
e
r'e20dr'
'iq'
re
dr'
V0q
2
4
2i
e
I1I2 (3)
2
2
2
r'iq
其中 I
2
r'iq
'
2
r'iq
2
1
'
re
dr
'
0
r
iq2
e
dr'
iq2
e
dr'
2
e
d
iq
2
2
e
d
1iq2
(4)
4
2
r'iq
类似地可求得 I
2
2
r'
e
dr'
12
iq (5)
4
32
(4)、(5)代入(3),得
r'Vr'2V0q2
4
iqV0qq2
4
0esinqr'dr'2i
e (6)2
43e2
代入(2),得
22
uV0q
2
2
4 (7)4
3
e
(c)
r'
er'
'
'r
'
r'sinqr'dr'er0
sinqr'dr'
I
sinqrde
'r
'
r
'
sinqre
qcosqr'dr
'
q0
0
e
1'r
'cosqrde
q'r
'
r
'
'
2
cosqre
q0
e
0
sinqr'
dr
q2
1qI
由此解得 I
r'
0
er'
r'sinqr'dr'
q2q
2
(8) 代入(2),解得
4u
2q
24u224
q2
2
q
2
(9)
4
2
q
2
2
将Vrr.代入§12.3.2式(18),
f,f,
u2u2
2
d
3
re
'
'
'
iqr
'Vr,得
'
u r22
'
2
dre
2
3iqr
f,
u
2
224
2
(10)
可见,与,均无关,是各项同性的,
u
224
。
12-3)计算低能粒子散射截面(只考虑 波),设粒子自旋为2,相互作用为
V2,01
Vr
0,
rara
(1)
V00,入射粒子和靶粒子均未极化。
提示:计及粒子的全同性,对于s态(l0,空间波函数对称),两粒子自旋之和必为s0(单态),所以
3V
Vr
0,
,rara
(1’)
解:自旋为12的二全同粒子体系的总波函数必须是交换反对称的,s波(l0)波函数是两粒子空间坐标的对
称函数,所以自旋波函数必须是反对称的,即为自旋单态,因此,体系总自旋为0, 123
亦即,对于低能s波散射,式(1)等价于球方势阱
3V0,
Vr
0,
rara
(1’)
在质心系中,s波空间波函数可以写成
rurr (2) 其中r
为两粒子的相对距离,即r
2
"
E0时。径向方程为
亦即
2u
uVru0 (3)
uk0u0,rau0,
"
"2
ra
E0 (3’)
其中 k06uV03mV0 (4)
m为粒子质量,m2为两粒子体系的约化质量。
方程(3’)满足边界条件u00的解为
Asink0r
rur
C1a0
,,
rara
(5)
其中a0为散射密度(待定),a0即散射振幅,利用ra处u'u的连续条件,求得
tank0a
(6) 1a0aka
0tank0a
(7) 1fa0aka
0
由于是全同粒子散射,s波微分截面为
2
ff4a0 (8)
2
总截面(自旋单态,s波)为
t416a0 (9)
2
考虑到入射粒子和靶粒子都是未极化的,自旋指向取随机分布,两粒子形成自旋单态s0的几率为,形成
4
自旋三重态s1的几率为,后若对s波散射无贡献。因此,有效的总截面为
4
14
tank0a2
(10) 4a1ka
0
2
有效t4a0
2
在不发生共振散射的条件下,散射振幅和散射截面均和入射能量无关,这是低能散射的特点。 共振散射的条件为a0,亦即(参考式(6))
k0a
2
,
32
,
52
, (11)
这正是势阱的“阱口”出现束缚能级E0
2
的条件,这时式(9)和(10)应改为
2
t16f
16k
2
8
2
uEc
32mE
(12)
有效
14
t
8mE
2
22
其中E为实验室坐标系中入射中子动能,EcE2为质心系中总动能,Eck2u。