如何学习写作科研论文

如何学习写作科研论文

南方科技大学 李元杰

1 科研的基本素质-（专业理论基础（数学、物理、生化）; 计算

机计算模拟能力，外语阅读能力；常深思、多发问）

一个基础两个能力加上常深思、多发问。

主观：树立终生学习的观念和完善专业人生的追求- 动力 客观：利用高校自身的条件与环境-拜师进修或自学 数学：《数理方程》、《张量代数》、《微分流形》、《群论》、《泛函分析》、《拓扑学》等。

其中掌握应用《数理方程》是最低的基本要求。 偏微分方程的求解-定义域几何形状-基本运动-未知解按基本运动展开-边界条件决定未知的展开系数-编程计算。 计算机：《数值计算与模拟》具体掌握一种高级语言或平台； 推荐：1《数学物理方法》李元杰编著2011年高教出版

2《科学计算与模拟平台》中国物理数字教学工作室。

物理：选择专业基础与研究方向-《高等统计》、《经典场论》、《量子场论》；《材料物理》、《量子光学》、《表面物理》、《高能物理》、《天体与宇宙学》等。（首先要学习研究哈密顿量-能量建模-势能构造与分析）

例：孤立子与KdV 方程

1895年柯托维克（Korleweg ）和德弗莱斯（de Vries ）在研究水波时建立了一个半线性的偏微分方程，简称KdV 方程

∂t u +u ∂x u +K ∂x u =0 不失一般性，设K >0，求其行波解，

作变换ξ=x -ct ，u (x , t ) =u (ξ)

则方程改写为 -c ∂ξu +u ∂ξu +K ∂ξu =0

122

-cu +u +K ∂对ξ积分得 ξu =C C 为积分常数

2

3

3

用∂ξu 乘方程两边再对ξ积分得

1213K -cu +u +(∂ξu ) 2=Cu +B

262

223

3K (∂u ) =3cu -u +6Cu +6B =f (u ) 或 ξ

1f (u ) 2

=0 于是 (∂ξu ) -26K

如果将上式，形式上看成单位质量质点在势场中运动的能量1f (u ) 2

(∂u ) -方程，其中为动能，为势能，u 为空间坐标，ξ26K

ξ为时间坐标，则总能量始终为零。（所有类似方程皆可用）

如果f (u ) 有零根u =u 0，即f (u 0) =0，于是u =u 0是方程的平庸解或称为定常解（与时间无关的解）；此外只有f (u ) ≥0，KdV 方程才有实的行波解（f (u )

由于f (u ) 是u 的三次多项式，令f (u ) 有三个根α, β, γ，设

α≥β≥γ

，则f (u ) 可写成

f (u ) =(u -γ)(u -β)(α-u )

11

容易得到 c =(α+β+γ) ， C =-(αβ+βγ+γα) ，

63

1

B =αβγ。

6

物理学有一个基本观点：总能量决定运动方程，而势能则决定一切可能的运动，只要知道势能，不用解方程我们就可判断解的各种可能性。下面我们给出不同条件下的势能曲线，并对其解进行讨论。

图3-5-3无重根的情况

图3-5-4有二重根的情况（1）

图3-5-5有二重根的情况（2）（无界）

图3-5-6有三重根的情况（无界）

讨论：1）对于单根α=β=γ=u 0，满足下面方程

d u (u 0-u ) 3/2

=±d ξ

(3K ) 1/2

2ξ+C '

积分得 (u -u ) 1/2=±(3K ) 1/2

（C '是积分常数）

12K

于是 u =u 0-

(ξ+C ') 2

当ξ→∞ u →u 0

2）对于无重根的情况，势能曲线如图3-5-3显然解在域

(β≤u ≤α) 内作周期运动，

d u d ξ

=±满足 (3K ) 1/2 (u -γ)(u -β)(α-u )

1

两边乘以(α-β)(α-γ) 1/2

2

12

d u (α-β)(α-γ) 1/2d ξ

=± 2(3K ) 1/2(u -γ)(u -β)(α-u )

(α-β) 2(α-γ)

积分左边

-⎰

u 0

12

d u

(u -γ)(u -β)(α-u ) (α-β) 2(α-γ)

=⎰

p

d p

[(1-s 2p 2)(1-p 2)]1/2

=Sn -1(p , s )

2

其中 s =

α-βα-u

p =，，

α-βα-γ

实际上，由于α-β和α-γ是一元二次方程

(α-u ) 2-(α-β+α-γ)(α-u ) +(α-β)(α-γ) =0的两个根，

所以

(α-u ) 2-(α-β+α-γ)(α-u ) +(α-β)(α-γ) =(α-u -α+β)(α-u -α+γ) =(u -β)(u -γ)

1d u 1u d u -=-⎰于是 ⎰02(u -γ)(u -β)(α-u ) 20α-u α-u α-u

(1-)(1-)() 2

(α-β) (α-γ) α-γα-βα-β

u

1u

=-⎰20

α-u -1/2

) d u

p d p α-β

=⎰2220α-βα-u α-u (1-s p )(1-p ) (1-)(1-)

α-γα-βα-β

(

积分右边

⎰

所以

1

ξ=

α-β

ξ

(α-β)(α-γ) 1/2d ξ(α-β)(α-γ) 1/2ξ

=1/2

2(3K ) (12K ) 1/2

12K α-γ

⎰

p

d p 1

=

[(1-s 2p 2)(1-p 2)]1/2α-β12K

Sn -1(p , s ) α-γ

2

u (ξ) =β+(α-β) Cn [ξ或

α-γ

12K

(α-β), s ]

周期为

2T =

α-β=4α-β

12K α-γ

d p

⎰0[(1-s 2p 2)(1-p 2)]1/2

1

3K

F (s , π/2) α-γ

F (s , π/2) 是第一类完全椭圆积分，Kdv 方程的解是一个有界

周期性的行波。

3）α≠β=γ的情况，势能曲线如图3-5-4

d u d ξ

=

(u -γ) -u K

2

查积分表可知其解为 u =γ+(α-γ) sech (

α-γ

12K

)

由于ξ→±∞，u ∞→γ，且 c =α+β+γ

3

=

α+2γ

3

=u ∞+

α-γ

3

) t ]}

于是 u =u ∞+(α-γ) sech {

2

α-γ

12K

[x ±(u ∞+

α-γ

12K

α-γ

3

现在我们编程绘制解u =γ+(α-γ) sech 2(

) （见图3-5-7、8）

图3-5-7根差值较小的情况

图3-5-8根差值较大的情况

2 选题与调研-参加课题组或独立干

如何查文献：网上查信息-再查期刊（国外、国内） 主题明确下的大量浏览-具体锁定（兴趣-价值-可行） 基本素质是可行的基础，扩大可行性的范围提高成功的机遇 如何看文献：看三点-数学模型-文章结论-拓展空间 拓展空间-方法可拓展、方程可拓展、边界条件可拓展、 学科理论可拓展、讨论范围可拓展或深入等等。 3 技术方案-（思想创新-理论创新-方法创新-或改进与补充） 爱因斯坦-德布罗意；经典-量子；气泡云室；

a 、通过文献学方法-改模型（改势、加阻尼项、加非线性项）； 拿来主义直接用：不变分布法、线性微扰法、李雅普诺夫指数法。

分布函数R 统计平均值计算

相因子对GHZ 态结构和自旋相互能量的影响

李元杰，何正红

《量子电子学报》2004年第6期-

根据多粒子相干纠缠态得到一般的多粒子GHZ 态模型, 并利用Wigner 函数绘出了相空间的准概率分布图像. 然后通过各个直积态的本征态的本征值来计算总的自旋相互作用能量. 此外, 当相因子变化时,GHZ 的结构和能量的变化得到观察与分析. 最后, 根据稳定性与能量的关系, 从能量的角度进一步验证了全同性原理费米子的特征. 计算Wigner 函数时, 我们利用了Matlab 语言的Qotoolbox 工具包在向量空间中绘出其图形, 这比解析的方法更快捷、方便.

量子电子学报 第21卷第6期 Vo1．21 No．6；2004年12 月 文章编号： 1007—5461(2004)06—0763—04

稳定性问题（线性微扰法）

以布鲁塞尔（Brussel ）振子为例，介绍一种对动力学系统不动点及其稳定性的研究方法–线性微扰法。 （1）模型的建立

Brussel 振子也称为Prigogin 三分子反应模型，它是由下列反应过程建立的模型

k1 k2

A Y+D

k3 k4

3X （催化过程）

其中，除第三个反应是催化过程外，其余三个称三分子反应，A 、B 是反应物，X 、Y 是中间产物，D 、E 是生成物，ki 是反应的速率，我们仍用原字母表示该种分子的浓度，于是

⎧∂X 2

=k A -k BX +k X Y -k 4X 123⎪⎪∂T

(15-4.1) ⎨

∂Y ⎪=k 2BX -k 3X 2Y ⎪⎩∂T

∂X

表示单位时间中间产物X 浓度的增加，而反应1、3是使X 增∂T

加、反应2、4却使X 减少；显然中间产物的浓度增加或减少与各参

因为

加反应物的当前浓度之积成正比，比例系数正好就是该反应所对应的反应速率k i ，如第一个反应对

∂X ∂X

的贡献是k 1A ，第二个反应对的∂T ∂T

贡献是-k 2BX ，等等，由此可得到方程（15-4.1）。

令 x =

k 3

X , k 4

y =

k 3

Y , k 4

k 12k 3

a =A , 3

k 4

k 2

b =-B ,

k 4

t =k 4T

方程15-4.1可简化为

⎧∂x 2

()=a +b -1x +x y ⎪⎪∂t

(15-4.2) ⎨

∂y ⎪=-bx -x 2y ⎪⎩∂t

（2）不动点及扰动的引入

方程（15-4.2）的不动点可由

∂x ∂y

=0, =0求得，它表示反应处∂t ∂t

在一个平衡稳态，容易算出不动点为x *=a , y *=b a ，在(a , b a )附近加一个微扰∆x 和∆y ，用x +∆x 及y +∆y 代入方程16-4.2在(x *, y *)附近可得

⎛∆x ⎫⎛b -1a 2⎫⎛∆x ⎫

⎪ ⎪∂t (15-4.3) ∆y ⎪⎪= ⎪ -b -a 2⎪

⎝⎭⎝⎭⎝∆y ⎭

（15-4.3）式的证明留给读者自己去证明。

我们取扰动有形式 ∆x =x 0e λt , ∆y =y 0e λt ，代入（15-4.3）有

2

⎧⎪(b -1-λ)x 0+a y 0=0

(15-4.4) ⎨2

⎪⎩-bx 0+-a -λy 0=0

()

方程（15-4.4）有非零解的条件是系数行列式值为零，即

b

b=2

b> 4

不稳定结点

稳定的焦点

中心点（耗散结构） 图15-4-1 稳定性分析

b -1-λ-b

a 2-a -λ

2

=0

展开得λ的一元二次方程λ2-T λ+∆=0，其中T =b -1-a 2, ∆=a 2。

(3)稳定性讨论

为简便计，取a =1。

于是关于λ的一元二次方程根的判别式

T -4∆=b -1-a

T =b -2

2

(

22

)

-a 42=b (b -4)

∆=1

根 λ1, 2=

b -2±b b -4

2

（1）当b ≥4, λ1, 2>0为正实根，(x *

y

*

)为不稳定的结点；

（2）当4>b >2, T >0, λ1, 2为复根，且实部R e λ1, 2=

T

>0, x *, y *为不稳定的2

()

焦点；

（3）当b

（4）当b =2时，λ1, 2为纯虚根，系统在(x *y *)中心点附近作周期振荡。 这是一种耗散结构，参看Java 学件布鲁塞尔振子。随着b 的增大，由稳定的焦点进入中心点（耗散结构），直至发生极不稳定的状态。

一般情况下可由下表对不动点进行判断

某大学一位教授国家攀登计划项目

b 、把数学思维引入物理-数学中的高阶矩与物理量及其矩的定律；线运动与角运动的对称性；拓扑对称性纠缠与打结。 纠缠态的拓扑简并

自旋空间

自然空间

c 、把不可能变为可能-05年Light Comb光梳

黑洞内部可能是普通的星球？

d 、逆向思维法-用经典方法处理量子（高能）问题，从量子哈密顿-经典哈密顿；

4 计算模拟方法产生的技术研究能力

工程特殊边界环境下的电磁场计算；激光透镜曲面加工-数字磨床；多相流体的模拟；分形天线；军用装备的几何隐形；轮胎噪声研究；交通事故科学鉴定；紧急疏散与智能交通；

华南师大二年级物理系学生

带电导体椭球的表面电场

罗栩文

（华南师范大学08物理学4班 [1**********] 2010年4月）

x 2y 2z 2

+2+2=12b c 椭球方程 a

x 2y 2z 2

与椭球共焦二次曲面 a 2+λ+b 2+λ+c 2+λ=1 边界条件是:在导体椭球面上, U =U C (常量) ;离椭球非常远处, U 趋于点电荷的电势.

λ有三个根，按大小排列为ξ>-c 2>η>-b 2>ς>-a 2 当λ=0为零根时即为椭球面。。

解椭球共焦二次曲面方程得

(ξ+a 2)(η+a 2)(ς+a 2) x =±(b 2-a 2)(c 2-a 2)

(ξ+b 2)(η+b 2)(ς+b 2) y =±(a 2-b 2)(c 2-b 2)

(ξ+c 2)(η+c 2)(ς+c 2) z =±(b 2-c 2)(a 2-c 2)

在椭球坐标系(ξ, η, ζ) 中, 电势U 满足的拉普拉斯方程为

∂∂U ∂∂U ∂∂U (η-ς) R ξ(R ξ) +(ς-ξ) R η(R η) +(ξ-η) R ς(R ς) =0其中 ∂ξ∂ξ∂η∂η∂ς∂ς

R λ=(λ+a 2)(λ+b 2)(λ+c 2)

在导体椭球上ξ=0且电势与η, ς无关，故有

d dU ) =0 方程 (R ξd ξd ξ

222其中 R ξ=(ξ+a )(ξ+b )(ξ+c )

求势

Q U =U (ξ) =8πε

Q =4πε

其中⎰∞d ξ(ξ+a 2)(ξ+b 2)(ξ+c 2) 1 0a -c 22F (k , ϕ) k =a 2-b 2

a -c 22， ϕ=arcsin a 2-c 2+a 2

∂U σ=-ε∂n

=Q ξ=0∂ξ∂U =-ε∂n ∂ξξ=0Q =4π(ξ-η)(ξ-ς) ξ=0

4π222242424ης=a b c (x /a +y /b +z /c )

Q 1σ=4πabc x 2/a 4+y 2/b 4+z 2/c 4

Q 1E =4πε0abc x 2/a 4+y 2/b 4+z 2/c 4

方向确定：对椭球方程微分

x 2y 2z 2

+2+2=1 2a b c

xdx ydy zdz +2+2=0 2a b c

x y z

可见矢量a 2i +b 2j +c 2k 与椭球面正交

于是 E x =Ex /a /r 1 2

E y =Ey /b 2/r 1

E z =Ez /c 2/r 1

⎛x ⎫⎛y ⎫⎛z ⎫r 1= 2⎪+ 2⎪+ 2⎪其中 ⎝a ⎭⎝b ⎭⎝c ⎭

222

5 科学世界观用三生万物分析自然规律

能量最小原理 蛋白质分子结构-大量排列组合

旋臂星系-林家翘 中子星物理学家布莱奇(Brash)-生命法则模拟银河系 宇宙学家林德（Linde ）-自复制宇宙

如何学习写作科研论文

南方科技大学 李元杰

1 科研的基本素质-（专业理论基础（数学、物理、生化）; 计算

机计算模拟能力，外语阅读能力；常深思、多发问）

一个基础两个能力加上常深思、多发问。

主观：树立终生学习的观念和完善专业人生的追求- 动力 客观：利用高校自身的条件与环境-拜师进修或自学 数学：《数理方程》、《张量代数》、《微分流形》、《群论》、《泛函分析》、《拓扑学》等。

其中掌握应用《数理方程》是最低的基本要求。 偏微分方程的求解-定义域几何形状-基本运动-未知解按基本运动展开-边界条件决定未知的展开系数-编程计算。 计算机：《数值计算与模拟》具体掌握一种高级语言或平台； 推荐：1《数学物理方法》李元杰编著2011年高教出版

2《科学计算与模拟平台》中国物理数字教学工作室。

物理：选择专业基础与研究方向-《高等统计》、《经典场论》、《量子场论》；《材料物理》、《量子光学》、《表面物理》、《高能物理》、《天体与宇宙学》等。（首先要学习研究哈密顿量-能量建模-势能构造与分析）

例：孤立子与KdV 方程

1895年柯托维克（Korleweg ）和德弗莱斯（de Vries ）在研究水波时建立了一个半线性的偏微分方程，简称KdV 方程

∂t u +u ∂x u +K ∂x u =0 不失一般性，设K >0，求其行波解，

作变换ξ=x -ct ，u (x , t ) =u (ξ)

则方程改写为 -c ∂ξu +u ∂ξu +K ∂ξu =0

122

-cu +u +K ∂对ξ积分得 ξu =C C 为积分常数

2

3

3

用∂ξu 乘方程两边再对ξ积分得

1213K -cu +u +(∂ξu ) 2=Cu +B

262

223

3K (∂u ) =3cu -u +6Cu +6B =f (u ) 或 ξ

1f (u ) 2

=0 于是 (∂ξu ) -26K

如果将上式，形式上看成单位质量质点在势场中运动的能量1f (u ) 2

(∂u ) -方程，其中为动能，为势能，u 为空间坐标，ξ26K

ξ为时间坐标，则总能量始终为零。（所有类似方程皆可用）

如果f (u ) 有零根u =u 0，即f (u 0) =0，于是u =u 0是方程的平庸解或称为定常解（与时间无关的解）；此外只有f (u ) ≥0，KdV 方程才有实的行波解（f (u )

由于f (u ) 是u 的三次多项式，令f (u ) 有三个根α, β, γ，设

α≥β≥γ

，则f (u ) 可写成

f (u ) =(u -γ)(u -β)(α-u )

11

容易得到 c =(α+β+γ) ， C =-(αβ+βγ+γα) ，

63

1

B =αβγ。

6

物理学有一个基本观点：总能量决定运动方程，而势能则决定一切可能的运动，只要知道势能，不用解方程我们就可判断解的各种可能性。下面我们给出不同条件下的势能曲线，并对其解进行讨论。

图3-5-3无重根的情况

图3-5-4有二重根的情况（1）

图3-5-5有二重根的情况（2）（无界）

图3-5-6有三重根的情况（无界）

讨论：1）对于单根α=β=γ=u 0，满足下面方程

d u (u 0-u ) 3/2

=±d ξ

(3K ) 1/2

2ξ+C '

积分得 (u -u ) 1/2=±(3K ) 1/2

（C '是积分常数）

12K

于是 u =u 0-

(ξ+C ') 2

当ξ→∞ u →u 0

2）对于无重根的情况，势能曲线如图3-5-3显然解在域

(β≤u ≤α) 内作周期运动，

d u d ξ

=±满足 (3K ) 1/2 (u -γ)(u -β)(α-u )

1

两边乘以(α-β)(α-γ) 1/2

2

12

d u (α-β)(α-γ) 1/2d ξ

=± 2(3K ) 1/2(u -γ)(u -β)(α-u )

(α-β) 2(α-γ)

积分左边

-⎰

u 0

12

d u

(u -γ)(u -β)(α-u ) (α-β) 2(α-γ)

=⎰

p

d p

[(1-s 2p 2)(1-p 2)]1/2

=Sn -1(p , s )

2

其中 s =

α-βα-u

p =，，

α-βα-γ

实际上，由于α-β和α-γ是一元二次方程

(α-u ) 2-(α-β+α-γ)(α-u ) +(α-β)(α-γ) =0的两个根，

所以

(α-u ) 2-(α-β+α-γ)(α-u ) +(α-β)(α-γ) =(α-u -α+β)(α-u -α+γ) =(u -β)(u -γ)

1d u 1u d u -=-⎰于是 ⎰02(u -γ)(u -β)(α-u ) 20α-u α-u α-u

(1-)(1-)() 2

(α-β) (α-γ) α-γα-βα-β

u

1u

=-⎰20

α-u -1/2

) d u

p d p α-β

=⎰2220α-βα-u α-u (1-s p )(1-p ) (1-)(1-)

α-γα-βα-β

(

积分右边

⎰

所以

1

ξ=

α-β

ξ

(α-β)(α-γ) 1/2d ξ(α-β)(α-γ) 1/2ξ

=1/2

2(3K ) (12K ) 1/2

12K α-γ

⎰

p

d p 1

=

[(1-s 2p 2)(1-p 2)]1/2α-β12K

Sn -1(p , s ) α-γ

2

u (ξ) =β+(α-β) Cn [ξ或

α-γ

12K

(α-β), s ]

周期为

2T =

α-β=4α-β

12K α-γ

d p

⎰0[(1-s 2p 2)(1-p 2)]1/2

1

3K

F (s , π/2) α-γ

F (s , π/2) 是第一类完全椭圆积分，Kdv 方程的解是一个有界

周期性的行波。

3）α≠β=γ的情况，势能曲线如图3-5-4

d u d ξ

=

(u -γ) -u K

2

查积分表可知其解为 u =γ+(α-γ) sech (

α-γ

12K

)

由于ξ→±∞，u ∞→γ，且 c =α+β+γ

3

=

α+2γ

3

=u ∞+

α-γ

3

) t ]}

于是 u =u ∞+(α-γ) sech {

2

α-γ

12K

[x ±(u ∞+

α-γ

12K

α-γ

3

现在我们编程绘制解u =γ+(α-γ) sech 2(

) （见图3-5-7、8）

图3-5-7根差值较小的情况

图3-5-8根差值较大的情况

2 选题与调研-参加课题组或独立干

如何查文献：网上查信息-再查期刊（国外、国内） 主题明确下的大量浏览-具体锁定（兴趣-价值-可行） 基本素质是可行的基础，扩大可行性的范围提高成功的机遇 如何看文献：看三点-数学模型-文章结论-拓展空间 拓展空间-方法可拓展、方程可拓展、边界条件可拓展、 学科理论可拓展、讨论范围可拓展或深入等等。 3 技术方案-（思想创新-理论创新-方法创新-或改进与补充） 爱因斯坦-德布罗意；经典-量子；气泡云室；

a 、通过文献学方法-改模型（改势、加阻尼项、加非线性项）； 拿来主义直接用：不变分布法、线性微扰法、李雅普诺夫指数法。

分布函数R 统计平均值计算

相因子对GHZ 态结构和自旋相互能量的影响

李元杰，何正红

《量子电子学报》2004年第6期-

根据多粒子相干纠缠态得到一般的多粒子GHZ 态模型, 并利用Wigner 函数绘出了相空间的准概率分布图像. 然后通过各个直积态的本征态的本征值来计算总的自旋相互作用能量. 此外, 当相因子变化时,GHZ 的结构和能量的变化得到观察与分析. 最后, 根据稳定性与能量的关系, 从能量的角度进一步验证了全同性原理费米子的特征. 计算Wigner 函数时, 我们利用了Matlab 语言的Qotoolbox 工具包在向量空间中绘出其图形, 这比解析的方法更快捷、方便.

量子电子学报 第21卷第6期 Vo1．21 No．6；2004年12 月 文章编号： 1007—5461(2004)06—0763—04

稳定性问题（线性微扰法）

以布鲁塞尔（Brussel ）振子为例，介绍一种对动力学系统不动点及其稳定性的研究方法–线性微扰法。 （1）模型的建立

Brussel 振子也称为Prigogin 三分子反应模型，它是由下列反应过程建立的模型

k1 k2

A Y+D

k3 k4

3X （催化过程）

其中，除第三个反应是催化过程外，其余三个称三分子反应，A 、B 是反应物，X 、Y 是中间产物，D 、E 是生成物，ki 是反应的速率，我们仍用原字母表示该种分子的浓度，于是

⎧∂X 2

=k A -k BX +k X Y -k 4X 123⎪⎪∂T

(15-4.1) ⎨

∂Y ⎪=k 2BX -k 3X 2Y ⎪⎩∂T

∂X

表示单位时间中间产物X 浓度的增加，而反应1、3是使X 增∂T

加、反应2、4却使X 减少；显然中间产物的浓度增加或减少与各参

因为

加反应物的当前浓度之积成正比，比例系数正好就是该反应所对应的反应速率k i ，如第一个反应对

∂X ∂X

的贡献是k 1A ，第二个反应对的∂T ∂T

贡献是-k 2BX ，等等，由此可得到方程（15-4.1）。

令 x =

k 3

X , k 4

y =

k 3

Y , k 4

k 12k 3

a =A , 3

k 4

k 2

b =-B ,

k 4

t =k 4T

方程15-4.1可简化为

⎧∂x 2

()=a +b -1x +x y ⎪⎪∂t

(15-4.2) ⎨

∂y ⎪=-bx -x 2y ⎪⎩∂t

（2）不动点及扰动的引入

方程（15-4.2）的不动点可由

∂x ∂y

=0, =0求得，它表示反应处∂t ∂t

在一个平衡稳态，容易算出不动点为x *=a , y *=b a ，在(a , b a )附近加一个微扰∆x 和∆y ，用x +∆x 及y +∆y 代入方程16-4.2在(x *, y *)附近可得

⎛∆x ⎫⎛b -1a 2⎫⎛∆x ⎫

⎪ ⎪∂t (15-4.3) ∆y ⎪⎪= ⎪ -b -a 2⎪

⎝⎭⎝⎭⎝∆y ⎭

（15-4.3）式的证明留给读者自己去证明。

我们取扰动有形式 ∆x =x 0e λt , ∆y =y 0e λt ，代入（15-4.3）有

2

⎧⎪(b -1-λ)x 0+a y 0=0

(15-4.4) ⎨2

⎪⎩-bx 0+-a -λy 0=0

()

方程（15-4.4）有非零解的条件是系数行列式值为零，即

b

b=2

b> 4

不稳定结点

稳定的焦点

中心点（耗散结构） 图15-4-1 稳定性分析

b -1-λ-b

a 2-a -λ

2

=0

展开得λ的一元二次方程λ2-T λ+∆=0，其中T =b -1-a 2, ∆=a 2。

(3)稳定性讨论

为简便计，取a =1。

于是关于λ的一元二次方程根的判别式

T -4∆=b -1-a

T =b -2

2

(

22

)

-a 42=b (b -4)

∆=1

根 λ1, 2=

b -2±b b -4

2

（1）当b ≥4, λ1, 2>0为正实根，(x *

y

*

)为不稳定的结点；

（2）当4>b >2, T >0, λ1, 2为复根，且实部R e λ1, 2=

T

>0, x *, y *为不稳定的2

()

焦点；

（3）当b

（4）当b =2时，λ1, 2为纯虚根，系统在(x *y *)中心点附近作周期振荡。 这是一种耗散结构，参看Java 学件布鲁塞尔振子。随着b 的增大，由稳定的焦点进入中心点（耗散结构），直至发生极不稳定的状态。

一般情况下可由下表对不动点进行判断

某大学一位教授国家攀登计划项目

b 、把数学思维引入物理-数学中的高阶矩与物理量及其矩的定律；线运动与角运动的对称性；拓扑对称性纠缠与打结。 纠缠态的拓扑简并

自旋空间

自然空间

c 、把不可能变为可能-05年Light Comb光梳

黑洞内部可能是普通的星球？

d 、逆向思维法-用经典方法处理量子（高能）问题，从量子哈密顿-经典哈密顿；

4 计算模拟方法产生的技术研究能力

工程特殊边界环境下的电磁场计算；激光透镜曲面加工-数字磨床；多相流体的模拟；分形天线；军用装备的几何隐形；轮胎噪声研究；交通事故科学鉴定；紧急疏散与智能交通；

华南师大二年级物理系学生

带电导体椭球的表面电场

罗栩文

（华南师范大学08物理学4班 [1**********] 2010年4月）

x 2y 2z 2

+2+2=12b c 椭球方程 a

x 2y 2z 2

与椭球共焦二次曲面 a 2+λ+b 2+λ+c 2+λ=1 边界条件是:在导体椭球面上, U =U C (常量) ;离椭球非常远处, U 趋于点电荷的电势.

λ有三个根，按大小排列为ξ>-c 2>η>-b 2>ς>-a 2 当λ=0为零根时即为椭球面。。

解椭球共焦二次曲面方程得

(ξ+a 2)(η+a 2)(ς+a 2) x =±(b 2-a 2)(c 2-a 2)

(ξ+b 2)(η+b 2)(ς+b 2) y =±(a 2-b 2)(c 2-b 2)

(ξ+c 2)(η+c 2)(ς+c 2) z =±(b 2-c 2)(a 2-c 2)

在椭球坐标系(ξ, η, ζ) 中, 电势U 满足的拉普拉斯方程为

∂∂U ∂∂U ∂∂U (η-ς) R ξ(R ξ) +(ς-ξ) R η(R η) +(ξ-η) R ς(R ς) =0其中 ∂ξ∂ξ∂η∂η∂ς∂ς

R λ=(λ+a 2)(λ+b 2)(λ+c 2)

在导体椭球上ξ=0且电势与η, ς无关，故有

d dU ) =0 方程 (R ξd ξd ξ

222其中 R ξ=(ξ+a )(ξ+b )(ξ+c )

求势

Q U =U (ξ) =8πε

Q =4πε

其中⎰∞d ξ(ξ+a 2)(ξ+b 2)(ξ+c 2) 1 0a -c 22F (k , ϕ) k =a 2-b 2

a -c 22， ϕ=arcsin a 2-c 2+a 2

∂U σ=-ε∂n

=Q ξ=0∂ξ∂U =-ε∂n ∂ξξ=0Q =4π(ξ-η)(ξ-ς) ξ=0

4π222242424ης=a b c (x /a +y /b +z /c )

Q 1σ=4πabc x 2/a 4+y 2/b 4+z 2/c 4

Q 1E =4πε0abc x 2/a 4+y 2/b 4+z 2/c 4

方向确定：对椭球方程微分

x 2y 2z 2

+2+2=1 2a b c

xdx ydy zdz +2+2=0 2a b c

x y z

可见矢量a 2i +b 2j +c 2k 与椭球面正交

于是 E x =Ex /a /r 1 2

E y =Ey /b 2/r 1

E z =Ez /c 2/r 1

⎛x ⎫⎛y ⎫⎛z ⎫r 1= 2⎪+ 2⎪+ 2⎪其中 ⎝a ⎭⎝b ⎭⎝c ⎭

222

5 科学世界观用三生万物分析自然规律

能量最小原理 蛋白质分子结构-大量排列组合

旋臂星系-林家翘 中子星物理学家布莱奇(Brash)-生命法则模拟银河系 宇宙学家林德（Linde ）-自复制宇宙