线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x 、y 。
计算之前，应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全，有无记错、算错，成果是否符合精度要求，起算数据是否准确。然后绘制计算略图，将各项数据注在图上的相应位置，如图6-11所示。
一、坐标计算的基本公式
1．坐标正算
y
根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标，称为坐标正算。如图6-10所示，已知直线AB 起点A 的坐标为（x A ，y A ），AB 边的边长及坐标方位角分别为D AB 和αAB ，需计算直线终点B 的坐标。
直线两端点A 、B 的坐标值之差，称为坐标增量，用Δx AB 、Δy AB 表示。由图6-10可看出坐标增量的计算公式为：
坐标增量计算图6-10
∆x AB =x B -x A =D AB cos αAB ⎫
⎬
∆y AB =y B -y A =D AB sin αAB ⎭
（6-1）
根据式（6-1）计算坐标增量时，sin 和cos 函数值随着α角所在象限而有正负之分，因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐标增量正、负号的规律如表6-5所示。
则B 点坐标的计算公式为：
x B =x A +∆x AB =x A +D AB cos αAB ⎫
⎬
y B =y A +∆y AB =y A +D AB sin αAB ⎭
（6-2）
例6-1 已知AB 边的边长及坐标方位角为D AB =135. 62m ，αAB =80︒36'54''，若A 点的坐标为
x A =435. 56m ，y A =658. 82m ，试计算终点B 的坐标。
解 根据式（6-2）得
x B =x A +D AB cos αAB =435. 56m +135. 62m ⨯cos 80︒36'54''=457. 6y B =y A +D AB sin αAB =658. 82m +135. 62m ⨯sin 80︒36'54''=792. 6
2．坐标反算
根据直线起点和终点的坐标，计算直线的边长和
坐标方位角，称为坐标反算。如图6-10所示，已知直线AB 两端点的坐标分别为（x A ，y A ）和（x B ，y B ），则直线边长D AB 和坐标方位角αAB 的计算公式为：
22
D =∆x +∆y AB AB AB
（6-3）
∆y αAB =arctan
∆x AB
（6-4）
应该注意的是坐标方位角的角值范围在0˚～360˚间，而arctan 函数的角值范围在－90˚～＋90˚间，两者是不一致的。按式（6-4）计算坐标方位角时，计算出的是象限角，因此，应根据坐标增量Δx 、Δy 的正、负号，按表6-5决定其所在象限，再把象限角换算成相应的坐标方位角。
例6-2 已知A 、B 两点的坐标分别为
x A =342. 99m ，y A =814. 29m ，x B =304. 50m ，y B =525. 72m 试计算AB 的边长及坐标方位角。 解 计算A 、B 两点的坐标增量
∆x AB =x B -x A =304. 50m -342. 99m =-38. 49m
∆y AB =y B -y A =525. 72m -814. 29m =-288. 57m 根据式（6-3）和式（6-4）得
222
D AB =∆x 2+∆y =(-38. 49m) +(-288. 57m) =291. 13m AB AB
∆y -288. 57m
αAB =arctan =arctan =262︒24'09''
∆x AB -38. 49m
二、闭合导线的坐标计算
现以图6-11所注的数据为例（该例为图根导线），
结合“闭合导线坐标计算表”的使用，说明闭合导线坐标计算的步骤。
1＝500.00m 1＝500.00m
图6-11 闭合导线略图
1．准备工作
将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中，见表6-6，起算数据用单线标明。
2．角度闭合差的计算与调整
（1）计算角度闭合差 如图6-11所示，n 边形闭合导线内角和的理论值为：
∑βth =(n -2) ⨯180︒
（6-5）
式中 n ——导线边数或转折角数。
由于观测水平角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和∑βm 不等于理论值∑βth ，两者之差，称为角度闭合差，用f β表示，即
f β=∑βm -∑βth =∑βm -(n -2) ⨯180︒
（6-6）
（2）计算角度闭合差的容许值 角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导线角度闭合差的容许值f βp 见表6-3和表6-4，其中图根导线角度闭合差的容许值f βp 的计算公式为：
f βp =±60''n （6-7）
如果f β＞f βp ，说明所测水平角不符合要求，应对水平角重新检查或重测。
如果f β≤f βp ，说明所测水平角符合要求，可对所测水平角进行调整。
（3）计算水平角改正数 如角度闭合差不超过
角度闭合差的容许值，则将角度闭合差反符号平均分配到各观测水平角中，也就是每个水平角加相同的改正数v β，v β的计算公式为：
（6-8）
计算检核：水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反，即
v β=-
f β
n
∑v β=-f β
（4）计算改正后的水平角 改正后的水平角βi 改等于所测水平角加上水平角改正数
βi 改=βi +v β （6-9）
计算检核：改正后的闭合导线内角之和应为（n －2）×180˚，本例为540˚。
本例中f β、f βp 的计算见表6-5辅助计算栏，水平角的改正数和改正后的水平角见表6-6第3、4栏。
3．推算各边的坐标方位角
根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其它各导线边的
坐标方位角。
本例观测左角，按式（4-18）推算出导线各边的坐标方位角，填入表6-6的第五栏内。
计算检核：最后推算出起始边坐标方位角，它应与原有的起始边已知坐标方位角相等，否则应重新检查计算。
4．坐标增量的计算及其闭合差的调整
（1）计算坐标增量 根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式（6-1）计算各边
的坐标增量。例如，导线边1-2的坐标增量为：
∆x 12=D 12cos α12=201. 60m ⨯cos 335︒24'00''=+183. 30m ∆y 12=D 12sin α12=201. 60m ⨯sin 335︒24'00''=-83. 92m
用同样的方法，计算出其它各边的坐标增量值，填入表6-6的第7、8两栏的相应格内。
（2）计算坐标增量闭合差 如图6-12a 所示，闭合导线，纵、横坐标增量代数和的理论值应为零，即
∑∆x th =0⎫
⎬
∑∆y th =0⎭
（6-10）
y
图6-12 坐标增量闭合差
实际上由于导线边长测量误差和角度闭合差调
∑∆y m 整后的残余误差，使得实际计算所得的∑∆x m 、
不等于零，从而产生纵坐标增量闭合差W x 和横坐标增量闭合差W y ，即
W x =∑∆x m ⎫⎬
W y =∑∆y m ⎭
（6-11）
（3）计算导线全长闭合差W D 和导线全长相对闭合差W K 从图6-12b 可以看出，由于坐标增量闭合差W x 、W y 的存在，使导线不能闭合，1-1′之长度W D 称为导线全长闭合差，并用下式计算
22+W x y W D =
（6-12）
仅从W D 值的大小还不能说明导线测量的精度，衡量导线测量的精度还应该考虑到导线的总长。将W D 与导线全长∑D 相比，以分子为1的分数表示，称为导线全长相对闭合差W K ，即
W D 1
K ==
∑D ∑D
D
（6-13）
以导线全长相对闭合差W K 来衡量导线测量的精度，W K 的分母越大，精度越高。不同等级的导线，其导线全长相对闭合差的容许值W K P 参见表6-3和表6-4，图根导线的W K P 为1/2 000。
如果W K ＞W K P ，说明成果不合格，此时应对导线的内业计算和外业工作进行检查，必要时须重测。
如果W K ≤W K P ，说明测量成果符合精度要求，可以进行调整。
本例中W x 、W y 、W D 及W K 的计算见表6-6辅助计算栏。
（4）调整坐标标增量闭合差 调整的原则是将W x 、W y 反号，并按与边长成正比的原则，分配到各边对应的纵、横坐标增量中去。以v xi 、v yi 分别表示第i 边的纵、横坐标增量改正数，即
v xi
W x ⎫=-⋅D i ⎪
⎪∑D
⎬W y
=-⋅D i ⎪
⎪∑D ⎭
（6-14）
v yi
本例中导线边1-2的坐标增量改正数为：
v x 12
W x -0. 30m
=-D 12=-⨯201. 60m =+0. 05m
1137. 80m ∑D
v y 12=-
W y
∑D
D 12
-0. 09m =-⨯201. 60m =+0. 02m
1137. 80m
用同样的方法，计算出其它各导线边的纵、横坐标增量改正数，填入表6-6的第7、8栏坐标增量值相应方格的上方。
计算检核：纵、横坐标增量改正数之和应满足下式
∑v x =-W x ⎫
⎬
∑v y =-W y ⎭
（5）计算改正后的坐标增量 各边坐标增量计算值加上相应的改正数，即得各边的改正后的坐标增量。
∆x i 改=∆x i +v xi ⎫
⎬
∆y i 改=∆y i +v yi ⎭
（6-16）
本例中导线边1-2改正后的坐标增量为：
∆x 12改=∆x 12+v x 12=+183. 30m +0. 05m =+183. 35m ∆y 12改=∆y 12+v y 12=-83. 92m +0. 02m =-83. 90m
用同样的方法，计算出其它各导线边的改正后坐标增量，填入表6-6的第9、10栏内。
计算检核：改正后纵、横坐标增量之代数和应分别为零。
5．计算各导线点的坐标
根据起始点1的已知坐标和改正后各导线边的坐标增量，按下式依次推算出各导线点的坐标：
x i =x i -1+∆x i -1改⎫
⎬
y =y +∆y i -1i -1改⎭ i
将推算出的各导线点坐标，填入表6-6中的第11、12与原有的已知值相等，以作为计算检核。
表6-6
闭合导线坐标计算表
三、附合导线坐标计算
附合导线的坐标计算与闭合导线的坐标计算基本相同，仅在角度闭合差的计算与坐标增量闭合差的计算方面稍有差别。
1．角度闭合差的计算与调整
（1）计算角度闭合差 如图6-13所示，根据起始边AB 的坐标方位角αAB 及观测的各右角，按式
'。 （4-19）推算CD 边的坐标方位角αCD
图6-13 附合导线略图
αB 1=αAB +180︒-βB α12=αB 1+180︒-β1
α23=α12+180︒-β2
α34=α23+180︒-β3
'=α34+180︒-βC +) αCD ' αCD
=αAB +5⨯180︒-∑βm
写成一般公式为：
'=α0+n ⨯180︒-∑βR （6-18）αfin
若观测左角，则按下式计算：
'=α0+n ⨯180︒+∑βL （6-19） αfin
附合导线的角度闭合差f β为：
'-αfin f β=αfin
（6-20）
（2）调整角度闭合差 当角度闭合差在容许范围内，如果观测的是左角，则将角度闭合差反号平均分配到各左角上；如果观测的是右角，则将角度闭合差同号平均分配到各右角上。
2．坐标增量闭合差的计算
附合导线的坐标增量代数和的理论值应等于终、始两点的已知坐标值之差，即
∑∆x th =x fin -x 0⎫
⎬
∑∆y th =y fin -y 0⎭
（6-21）
纵、横坐标增量闭合差为：
W x =∑∆x -∑∆x th =∑∆x -(x fin -x 0) ⎫
⎬
W y =∑∆y -∑∆y th =∑∆y -(y fin -y 0) ⎭
（6-22）
图6-13所示附合导线坐标计算，见表6-7。
表6-7 附合导线坐标计算表
三、支导线的坐标计算
支导线中没有检核条件，因此没有闭合差产生，导线转折角和计算的坐标增量均不需要进行改正。支导线的计算步骤为：
1．根据观测的转折角推算各边的坐标方位角。 2．根据各边坐标方位角和边长计算坐标增量。 3．根据各边的坐标增量推算各点的坐标。
线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x 、y 。
计算之前，应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全，有无记错、算错，成果是否符合精度要求，起算数据是否准确。然后绘制计算略图，将各项数据注在图上的相应位置，如图6-11所示。
一、坐标计算的基本公式
1．坐标正算
y
根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标，称为坐标正算。如图6-10所示，已知直线AB 起点A 的坐标为（x A ，y A ），AB 边的边长及坐标方位角分别为D AB 和αAB ，需计算直线终点B 的坐标。
直线两端点A 、B 的坐标值之差，称为坐标增量，用Δx AB 、Δy AB 表示。由图6-10可看出坐标增量的计算公式为：
坐标增量计算图6-10
∆x AB =x B -x A =D AB cos αAB ⎫
⎬
∆y AB =y B -y A =D AB sin αAB ⎭
（6-1）
根据式（6-1）计算坐标增量时，sin 和cos 函数值随着α角所在象限而有正负之分，因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐标增量正、负号的规律如表6-5所示。
则B 点坐标的计算公式为：
x B =x A +∆x AB =x A +D AB cos αAB ⎫
⎬
y B =y A +∆y AB =y A +D AB sin αAB ⎭
（6-2）
例6-1 已知AB 边的边长及坐标方位角为D AB =135. 62m ，αAB =80︒36'54''，若A 点的坐标为
x A =435. 56m ，y A =658. 82m ，试计算终点B 的坐标。
解 根据式（6-2）得
x B =x A +D AB cos αAB =435. 56m +135. 62m ⨯cos 80︒36'54''=457. 6y B =y A +D AB sin αAB =658. 82m +135. 62m ⨯sin 80︒36'54''=792. 6
2．坐标反算
根据直线起点和终点的坐标，计算直线的边长和
坐标方位角，称为坐标反算。如图6-10所示，已知直线AB 两端点的坐标分别为（x A ，y A ）和（x B ，y B ），则直线边长D AB 和坐标方位角αAB 的计算公式为：
22
D =∆x +∆y AB AB AB
（6-3）
∆y αAB =arctan
∆x AB
（6-4）
应该注意的是坐标方位角的角值范围在0˚～360˚间，而arctan 函数的角值范围在－90˚～＋90˚间，两者是不一致的。按式（6-4）计算坐标方位角时，计算出的是象限角，因此，应根据坐标增量Δx 、Δy 的正、负号，按表6-5决定其所在象限，再把象限角换算成相应的坐标方位角。
例6-2 已知A 、B 两点的坐标分别为
x A =342. 99m ，y A =814. 29m ，x B =304. 50m ，y B =525. 72m 试计算AB 的边长及坐标方位角。 解 计算A 、B 两点的坐标增量
∆x AB =x B -x A =304. 50m -342. 99m =-38. 49m
∆y AB =y B -y A =525. 72m -814. 29m =-288. 57m 根据式（6-3）和式（6-4）得
222
D AB =∆x 2+∆y =(-38. 49m) +(-288. 57m) =291. 13m AB AB
∆y -288. 57m
αAB =arctan =arctan =262︒24'09''
∆x AB -38. 49m
二、闭合导线的坐标计算
现以图6-11所注的数据为例（该例为图根导线），
结合“闭合导线坐标计算表”的使用，说明闭合导线坐标计算的步骤。
1＝500.00m 1＝500.00m
图6-11 闭合导线略图
1．准备工作
将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中，见表6-6，起算数据用单线标明。
2．角度闭合差的计算与调整
（1）计算角度闭合差 如图6-11所示，n 边形闭合导线内角和的理论值为：
∑βth =(n -2) ⨯180︒
（6-5）
式中 n ——导线边数或转折角数。
由于观测水平角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和∑βm 不等于理论值∑βth ，两者之差，称为角度闭合差，用f β表示，即
f β=∑βm -∑βth =∑βm -(n -2) ⨯180︒
（6-6）
（2）计算角度闭合差的容许值 角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导线角度闭合差的容许值f βp 见表6-3和表6-4，其中图根导线角度闭合差的容许值f βp 的计算公式为：
f βp =±60''n （6-7）
如果f β＞f βp ，说明所测水平角不符合要求，应对水平角重新检查或重测。
如果f β≤f βp ，说明所测水平角符合要求，可对所测水平角进行调整。
（3）计算水平角改正数 如角度闭合差不超过
角度闭合差的容许值，则将角度闭合差反符号平均分配到各观测水平角中，也就是每个水平角加相同的改正数v β，v β的计算公式为：
（6-8）
计算检核：水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反，即
v β=-
f β
n
∑v β=-f β
（4）计算改正后的水平角 改正后的水平角βi 改等于所测水平角加上水平角改正数
βi 改=βi +v β （6-9）
计算检核：改正后的闭合导线内角之和应为（n －2）×180˚，本例为540˚。
本例中f β、f βp 的计算见表6-5辅助计算栏，水平角的改正数和改正后的水平角见表6-6第3、4栏。
3．推算各边的坐标方位角
根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其它各导线边的
坐标方位角。
本例观测左角，按式（4-18）推算出导线各边的坐标方位角，填入表6-6的第五栏内。
计算检核：最后推算出起始边坐标方位角，它应与原有的起始边已知坐标方位角相等，否则应重新检查计算。
4．坐标增量的计算及其闭合差的调整
（1）计算坐标增量 根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式（6-1）计算各边
的坐标增量。例如，导线边1-2的坐标增量为：
∆x 12=D 12cos α12=201. 60m ⨯cos 335︒24'00''=+183. 30m ∆y 12=D 12sin α12=201. 60m ⨯sin 335︒24'00''=-83. 92m
用同样的方法，计算出其它各边的坐标增量值，填入表6-6的第7、8两栏的相应格内。
（2）计算坐标增量闭合差 如图6-12a 所示，闭合导线，纵、横坐标增量代数和的理论值应为零，即
∑∆x th =0⎫
⎬
∑∆y th =0⎭
（6-10）
y
图6-12 坐标增量闭合差
实际上由于导线边长测量误差和角度闭合差调
∑∆y m 整后的残余误差，使得实际计算所得的∑∆x m 、
不等于零，从而产生纵坐标增量闭合差W x 和横坐标增量闭合差W y ，即
W x =∑∆x m ⎫⎬
W y =∑∆y m ⎭
（6-11）
（3）计算导线全长闭合差W D 和导线全长相对闭合差W K 从图6-12b 可以看出，由于坐标增量闭合差W x 、W y 的存在，使导线不能闭合，1-1′之长度W D 称为导线全长闭合差，并用下式计算
22+W x y W D =
（6-12）
仅从W D 值的大小还不能说明导线测量的精度，衡量导线测量的精度还应该考虑到导线的总长。将W D 与导线全长∑D 相比，以分子为1的分数表示，称为导线全长相对闭合差W K ，即
W D 1
K ==
∑D ∑D
D
（6-13）
以导线全长相对闭合差W K 来衡量导线测量的精度，W K 的分母越大，精度越高。不同等级的导线，其导线全长相对闭合差的容许值W K P 参见表6-3和表6-4，图根导线的W K P 为1/2 000。
如果W K ＞W K P ，说明成果不合格，此时应对导线的内业计算和外业工作进行检查，必要时须重测。
如果W K ≤W K P ，说明测量成果符合精度要求，可以进行调整。
本例中W x 、W y 、W D 及W K 的计算见表6-6辅助计算栏。
（4）调整坐标标增量闭合差 调整的原则是将W x 、W y 反号，并按与边长成正比的原则，分配到各边对应的纵、横坐标增量中去。以v xi 、v yi 分别表示第i 边的纵、横坐标增量改正数，即
v xi
W x ⎫=-⋅D i ⎪
⎪∑D
⎬W y
=-⋅D i ⎪
⎪∑D ⎭
（6-14）
v yi
本例中导线边1-2的坐标增量改正数为：
v x 12
W x -0. 30m
=-D 12=-⨯201. 60m =+0. 05m
1137. 80m ∑D
v y 12=-
W y
∑D
D 12
-0. 09m =-⨯201. 60m =+0. 02m
1137. 80m
用同样的方法，计算出其它各导线边的纵、横坐标增量改正数，填入表6-6的第7、8栏坐标增量值相应方格的上方。
计算检核：纵、横坐标增量改正数之和应满足下式
∑v x =-W x ⎫
⎬
∑v y =-W y ⎭
（5）计算改正后的坐标增量 各边坐标增量计算值加上相应的改正数，即得各边的改正后的坐标增量。
∆x i 改=∆x i +v xi ⎫
⎬
∆y i 改=∆y i +v yi ⎭
（6-16）
本例中导线边1-2改正后的坐标增量为：
∆x 12改=∆x 12+v x 12=+183. 30m +0. 05m =+183. 35m ∆y 12改=∆y 12+v y 12=-83. 92m +0. 02m =-83. 90m
用同样的方法，计算出其它各导线边的改正后坐标增量，填入表6-6的第9、10栏内。
计算检核：改正后纵、横坐标增量之代数和应分别为零。
5．计算各导线点的坐标
根据起始点1的已知坐标和改正后各导线边的坐标增量，按下式依次推算出各导线点的坐标：
x i =x i -1+∆x i -1改⎫
⎬
y =y +∆y i -1i -1改⎭ i
将推算出的各导线点坐标，填入表6-6中的第11、12与原有的已知值相等，以作为计算检核。
表6-6
闭合导线坐标计算表
三、附合导线坐标计算
附合导线的坐标计算与闭合导线的坐标计算基本相同，仅在角度闭合差的计算与坐标增量闭合差的计算方面稍有差别。
1．角度闭合差的计算与调整
（1）计算角度闭合差 如图6-13所示，根据起始边AB 的坐标方位角αAB 及观测的各右角，按式
'。 （4-19）推算CD 边的坐标方位角αCD
图6-13 附合导线略图
αB 1=αAB +180︒-βB α12=αB 1+180︒-β1
α23=α12+180︒-β2
α34=α23+180︒-β3
'=α34+180︒-βC +) αCD ' αCD
=αAB +5⨯180︒-∑βm
写成一般公式为：
'=α0+n ⨯180︒-∑βR （6-18）αfin
若观测左角，则按下式计算：
'=α0+n ⨯180︒+∑βL （6-19） αfin
附合导线的角度闭合差f β为：
'-αfin f β=αfin
（6-20）
（2）调整角度闭合差 当角度闭合差在容许范围内，如果观测的是左角，则将角度闭合差反号平均分配到各左角上；如果观测的是右角，则将角度闭合差同号平均分配到各右角上。
2．坐标增量闭合差的计算
附合导线的坐标增量代数和的理论值应等于终、始两点的已知坐标值之差，即
∑∆x th =x fin -x 0⎫
⎬
∑∆y th =y fin -y 0⎭
（6-21）
纵、横坐标增量闭合差为：
W x =∑∆x -∑∆x th =∑∆x -(x fin -x 0) ⎫
⎬
W y =∑∆y -∑∆y th =∑∆y -(y fin -y 0) ⎭
（6-22）
图6-13所示附合导线坐标计算，见表6-7。
表6-7 附合导线坐标计算表
三、支导线的坐标计算
支导线中没有检核条件，因此没有闭合差产生，导线转折角和计算的坐标增量均不需要进行改正。支导线的计算步骤为：
1．根据观测的转折角推算各边的坐标方位角。 2．根据各边坐标方位角和边长计算坐标增量。 3．根据各边的坐标增量推算各点的坐标。