函数的奇偶性与单调性
湖南岳阳县七中 胡旭光供稿
一. 知识总结
1. 函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称） (1)
(2)奇函数
在原点有定义
为奇函数; 为偶函数;
(3)
任一个定义域关于原点对称的函数个偶函数之和
一定可以表示成一个奇函数和一
即
（奇）（偶）.
2. 函数的单调性(注:①先确定定义域; ②单调性证明一定要用定义)
(1)定义:
区间
上增函数, 若
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同; 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. 判断函数单调性的方法:①定义法, 即比差法; ②图象法; ③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）; ④复合函数单调性判断法则.
3. 周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中, 是化归思想的重要手段. 求周期的重要方法:①定义法; ②公式法; ③图象法; ④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.
上任意两个值时有
,
若
, 称
时有为
上减函数.
,
称
为
二. 例题精讲
【例1】已知定义域为的函数
(Ⅰ) 求
(Ⅱ) 若对任意的取值范围.
解析：（Ⅰ）因为
是奇函数，所以
=0，
是奇函数.
的值;
, 不等式恒成立, 求的
即
又由f （1）= -f（-1）知
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
即 ： 整理得
上式对一切
，
，
均成立，
从而判别式
【例2】设函数表示和, 并求
解：依题意有
而
在处取得极值－2, 试用
的单调区间.
故 从而
解得
。
令 由于
，得在
或处取得极值，
。
故
，即。
（1） 若，即，则当时，；
（2） 当
时，；当时，；
从而的单调增区间为；
单调减区间为
若，即，同上可得，
的单调增区间为；单调减区间为
【例3】(理)
设函数
成立, 求实数的取值范围.
(文) 讨论函数
（理） 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1) －ax ，对函数g(x)求导数：g ′(x)＝ln(x＋1) ＋1－a
令g ′(x)＝0，解得x ＝e a －1－1，
(i)当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞) 上是增函数，又g(0)＝0，所以对x ≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f(x)≥ax ．
(ii)当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a －1－1) 是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f(x)≥ax 成立．综上，a 的取值范围是（－∞，1]．
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1) －ax ，于是不等式f(x)≥ax 成立即为g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导数：g ′(x)＝ln(x＋1) ＋1－a 令g ′(x)＝0，解得x ＝e a
－1
,
若对所有的,
都有
的单调性
－1，
当x ＞e a －1－1时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x ＜e a －1－1，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x ≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a －1－1≤0．由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]． （文）解：设
，
则
∵ ∴
当 当 当
时，
为常量，无单调性
时，
，则
为减函数
时，
，则
为增函数
，
，
，
【例4】(理) 已知函数 (Ⅰ) 若
(Ⅱ) 若
(文)
已知
求
, 其中的单调性;
为常数.
, 讨论函数
,
且=4,试证:.
为定义在
上的奇函数，当
时，，
的表达式.
（理）
（文）解：∵ 当
∵ ∴
为奇函数 ∴
时，
为奇函数， ∴
∴
三. 巩固练习
1.
已知
值范围是( ) A.
B.
C.
是上的减函数, 那么的取
D.
2.
已知是周期为2的奇函数,
当
则( )
时
, ,
设
A.
3. 下列函数中, 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A.
B. C. D.
B.
C.
D.
4. 若不等式( )
A.0 B. –2 C.- D.-3 5. 设
对于一切
(0,) 成立, 则的取值范围是
是上的任意函数, 则下列叙述正确的是( )
A. C.
6.
已知定义在
上的奇函数
为( )
A. －1 B.0 C.1 D.2
7. 已知函数于直线
对称, 记
的图象与函数
（. 若
且
）的图象关在区间
上
满足
,
则
的值
是偶函数 D.
是偶函数
是奇函数 B.
是奇函数
是增函数, 则实数的取值范围是( ) A.
8.(理)
如果函数
增函数, 那么实数的取值范围是( ) Ａ.
B. C. D.
在区间上是
Ｂ. Ｃ. Ｄ.
9. 对于上可导的任意函数
A. D.
10. 已知 A.
11. 已知函数
12. 已知函数时, 13.
, 则当
是定义在
时, , 若
B.
B.
, 若满足, 则必有( )
C.
, 则( )
C. D.
为奇函数, 则 .
上的偶函数. 当 .
是定义在上的以3为周期的偶函数, 且=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是
,
则方程
( )
A.5 B.4 C.3 D.2
14. 下列函数既是奇函数, 又在区间
上单调递减的是( )
A.
B.
C.
D.
15. 若函数
A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值
C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值
16. 若函数则的取值范围是( ) A. 17. 设
对称, 则
18. 设函数
在
上满足
.
,
,
是定义在上的奇函数, 且
的图象关于直线
______.
B.
C.
D.
在区间
内单调递增,
, 则该函数在
上是( )
且在闭区间［0，7］上, 只有
(Ⅰ) 试判断函数
(Ⅱ) 试求方程证明你的结论.
19. (理) 已知
(1)当为何值时
,
取得最小值？证明你的结论;(2)
设
在
, 函数
=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数, 并
的奇偶性;
[ -1，1]上是单调函数, 求的取值范围.
(文) 已知象关于直线且 (1)求12, 求.
20. 已知函数
处的切线方程为
(1)求函数
为偶函数且定义域为对称, 当
时,
, 的图象与的图
, 为实常数,
.
的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为
的图象过点（0,2）, 且在点.
的解析式;(2)求函数的单调区间.
21. 已知向量
1,1）上是增函数, 求的取值范围.
22. (理) 已知函数
,
,
. 若
,
且
若函数
在区间（－
存在单调递减区间, 求的取值范围.
(文)
已知函数间
巩固练习参考答案
1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. D 8.
在区
上是增函数, 求实数的值.
上是减函数, 且在区间
B 9. C 10. A 11. a=A 16. B 17. 0
12. -x-x 4 13. B 14. D 15.
18 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函
数
,
从而知函数
不是奇函数,
的对称轴为
由
从而知函数 故函数
, 的周期为是非奇非偶函数;
又
,
(II)由
(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 在[0,2005]上有402个解, 在[-2005.0]上有400个解, 所以函数
19. (理) 解：（I ）对函数 令 解得
当 变化时，
在[-2005,2005]上有802个解.
求导数得
得［+2(1－) －2］=0从而+2(1－) －2=0
、的变化如下表
∴
在=处取得极大值，在=处取得极小值。
当≥0时，数, 而当
时
=.
时，
取得最小值 ，
1,
在
上为减函数，在
上为增函
当x=0时， 所以当
（II ）当≥0时， 即
于是
在，解得
上为单调函数的充要条件是，
，
，
在[-1，1]上为单调函数的充要条件是
即的取值范围是
(文) 解: (1) 先求 设 则点 所以
再根据偶函数的性质, 求当
得关于是
在
上的解析式
上的一点,
的对称点为且
.
上的解析式为
所以 (2) 当 因
时, 所以
时,
因 所以 当 所以
, 所以在
, 所以上为减函数.
而.
时,
因,
因 所以
所以, 所以, 即
在上为增函数
(3) 由(2)知 又因 所以
在
在上为增函数，在上为减函数,
为偶函数, 所以
上的最大值
由
得.
20. 解：（Ⅰ）由 所以
知
由在
处的切线方程是
的图象经过P （0，2），知d=2，
，
故所求的解析式是
（Ⅱ） 解得
当 当 故 在
21. 解法1：依定义
内是减函数，在
内是增函数，
内是增函数.
故要使
.
解法2：依定义
开口向上的抛物线，
在区间（－1，1
）上恒成立
的图象是开口向下的抛物线，
22. (理) 解：
，
则 所以
因为函数h(x)存在单调递减区间，
0时，则ax 2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax 2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax 2+2x－1=0至少有一正根. 此时，－1
(文) 解：
2007-07-25 人教网
,
,
,
, 当时
函数的奇偶性与单调性
湖南岳阳县七中 胡旭光供稿
一. 知识总结
1. 函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称） (1)
(2)奇函数
在原点有定义
为奇函数; 为偶函数;
(3)
任一个定义域关于原点对称的函数个偶函数之和
一定可以表示成一个奇函数和一
即
（奇）（偶）.
2. 函数的单调性(注:①先确定定义域; ②单调性证明一定要用定义)
(1)定义:
区间
上增函数, 若
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同; 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. 判断函数单调性的方法:①定义法, 即比差法; ②图象法; ③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）; ④复合函数单调性判断法则.
3. 周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中, 是化归思想的重要手段. 求周期的重要方法:①定义法; ②公式法; ③图象法; ④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.
上任意两个值时有
,
若
, 称
时有为
上减函数.
,
称
为
二. 例题精讲
【例1】已知定义域为的函数
(Ⅰ) 求
(Ⅱ) 若对任意的取值范围.
解析：（Ⅰ）因为
是奇函数，所以
=0，
是奇函数.
的值;
, 不等式恒成立, 求的
即
又由f （1）= -f（-1）知
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
即 ： 整理得
上式对一切
，
，
均成立，
从而判别式
【例2】设函数表示和, 并求
解：依题意有
而
在处取得极值－2, 试用
的单调区间.
故 从而
解得
。
令 由于
，得在
或处取得极值，
。
故
，即。
（1） 若，即，则当时，；
（2） 当
时，；当时，；
从而的单调增区间为；
单调减区间为
若，即，同上可得，
的单调增区间为；单调减区间为
【例3】(理)
设函数
成立, 求实数的取值范围.
(文) 讨论函数
（理） 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1) －ax ，对函数g(x)求导数：g ′(x)＝ln(x＋1) ＋1－a
令g ′(x)＝0，解得x ＝e a －1－1，
(i)当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞) 上是增函数，又g(0)＝0，所以对x ≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f(x)≥ax ．
(ii)当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a －1－1) 是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f(x)≥ax 成立．综上，a 的取值范围是（－∞，1]．
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1) －ax ，于是不等式f(x)≥ax 成立即为g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导数：g ′(x)＝ln(x＋1) ＋1－a 令g ′(x)＝0，解得x ＝e a
－1
,
若对所有的,
都有
的单调性
－1，
当x ＞e a －1－1时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x ＜e a －1－1，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x ≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a －1－1≤0．由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]． （文）解：设
，
则
∵ ∴
当 当 当
时，
为常量，无单调性
时，
，则
为减函数
时，
，则
为增函数
，
，
，
【例4】(理) 已知函数 (Ⅰ) 若
(Ⅱ) 若
(文)
已知
求
, 其中的单调性;
为常数.
, 讨论函数
,
且=4,试证:.
为定义在
上的奇函数，当
时，，
的表达式.
（理）
（文）解：∵ 当
∵ ∴
为奇函数 ∴
时，
为奇函数， ∴
∴
三. 巩固练习
1.
已知
值范围是( ) A.
B.
C.
是上的减函数, 那么的取
D.
2.
已知是周期为2的奇函数,
当
则( )
时
, ,
设
A.
3. 下列函数中, 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A.
B. C. D.
B.
C.
D.
4. 若不等式( )
A.0 B. –2 C.- D.-3 5. 设
对于一切
(0,) 成立, 则的取值范围是
是上的任意函数, 则下列叙述正确的是( )
A. C.
6.
已知定义在
上的奇函数
为( )
A. －1 B.0 C.1 D.2
7. 已知函数于直线
对称, 记
的图象与函数
（. 若
且
）的图象关在区间
上
满足
,
则
的值
是偶函数 D.
是偶函数
是奇函数 B.
是奇函数
是增函数, 则实数的取值范围是( ) A.
8.(理)
如果函数
增函数, 那么实数的取值范围是( ) Ａ.
B. C. D.
在区间上是
Ｂ. Ｃ. Ｄ.
9. 对于上可导的任意函数
A. D.
10. 已知 A.
11. 已知函数
12. 已知函数时, 13.
, 则当
是定义在
时, , 若
B.
B.
, 若满足, 则必有( )
C.
, 则( )
C. D.
为奇函数, 则 .
上的偶函数. 当 .
是定义在上的以3为周期的偶函数, 且=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是
,
则方程
( )
A.5 B.4 C.3 D.2
14. 下列函数既是奇函数, 又在区间
上单调递减的是( )
A.
B.
C.
D.
15. 若函数
A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值
C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值
16. 若函数则的取值范围是( ) A. 17. 设
对称, 则
18. 设函数
在
上满足
.
,
,
是定义在上的奇函数, 且
的图象关于直线
______.
B.
C.
D.
在区间
内单调递增,
, 则该函数在
上是( )
且在闭区间［0，7］上, 只有
(Ⅰ) 试判断函数
(Ⅱ) 试求方程证明你的结论.
19. (理) 已知
(1)当为何值时
,
取得最小值？证明你的结论;(2)
设
在
, 函数
=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数, 并
的奇偶性;
[ -1，1]上是单调函数, 求的取值范围.
(文) 已知象关于直线且 (1)求12, 求.
20. 已知函数
处的切线方程为
(1)求函数
为偶函数且定义域为对称, 当
时,
, 的图象与的图
, 为实常数,
.
的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为
的图象过点（0,2）, 且在点.
的解析式;(2)求函数的单调区间.
21. 已知向量
1,1）上是增函数, 求的取值范围.
22. (理) 已知函数
,
,
. 若
,
且
若函数
在区间（－
存在单调递减区间, 求的取值范围.
(文)
已知函数间
巩固练习参考答案
1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. D 8.
在区
上是增函数, 求实数的值.
上是减函数, 且在区间
B 9. C 10. A 11. a=A 16. B 17. 0
12. -x-x 4 13. B 14. D 15.
18 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函
数
,
从而知函数
不是奇函数,
的对称轴为
由
从而知函数 故函数
, 的周期为是非奇非偶函数;
又
,
(II)由
(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 在[0,2005]上有402个解, 在[-2005.0]上有400个解, 所以函数
19. (理) 解：（I ）对函数 令 解得
当 变化时，
在[-2005,2005]上有802个解.
求导数得
得［+2(1－) －2］=0从而+2(1－) －2=0
、的变化如下表
∴
在=处取得极大值，在=处取得极小值。
当≥0时，数, 而当
时
=.
时，
取得最小值 ，
1,
在
上为减函数，在
上为增函
当x=0时， 所以当
（II ）当≥0时， 即
于是
在，解得
上为单调函数的充要条件是，
，
，
在[-1，1]上为单调函数的充要条件是
即的取值范围是
(文) 解: (1) 先求 设 则点 所以
再根据偶函数的性质, 求当
得关于是
在
上的解析式
上的一点,
的对称点为且
.
上的解析式为
所以 (2) 当 因
时, 所以
时,
因 所以 当 所以
, 所以在
, 所以上为减函数.
而.
时,
因,
因 所以
所以, 所以, 即
在上为增函数
(3) 由(2)知 又因 所以
在
在上为增函数，在上为减函数,
为偶函数, 所以
上的最大值
由
得.
20. 解：（Ⅰ）由 所以
知
由在
处的切线方程是
的图象经过P （0，2），知d=2，
，
故所求的解析式是
（Ⅱ） 解得
当 当 故 在
21. 解法1：依定义
内是减函数，在
内是增函数，
内是增函数.
故要使
.
解法2：依定义
开口向上的抛物线，
在区间（－1，1
）上恒成立
的图象是开口向下的抛物线，
22. (理) 解：
，
则 所以
因为函数h(x)存在单调递减区间，
0时，则ax 2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax 2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax 2+2x－1=0至少有一正根. 此时，－1
(文) 解：
2007-07-25 人教网
,
,
,
, 当时