误差和不确定度的区别和联系

误差与不确定度的概念比较

实验教学中关于误差和不确定度的区别和联系，是学生感到难以理解并准确掌握的概念之一，本文将对此比较总结如下。

1误差和不确定度的定义

1.1 误差的概念 各被测量量在实验当时条件下均有不依人的意志为转移的真实大小，此值被称为被测量的真值。即真值就是被测量量所具有的、客观的真实数值。然而实际测量时，总是由具体的观测者，通过一定的测量方法，使用一定的测量仪器和在一定的测量环境中进行的。由于受到观测者的操作和观察能力，测量方法的近似性，测量仪器的分辨力和准确性，测量环境的波动等因素的影响，其测量结果和客观的真值之间总有一定的差异。测量结果与真值的差为测量值的误差，即

测量值(x)-真值(a)=误差(ε)

在实验中通常要处理的来源于测量值的误差有两类：偶然误差和系统误差。

对于偶然误差，有算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，相应的误差有标准偏差s，它的定义为 s(x)i

i1n2

n1------------------------------(1)

式中n为测量值的个数。对于算术平均值的标准偏差，用来表示算术平均值的偶然误差，表达式为 s()s/n------------------------------------(2)

二者的统计意义是，标准偏差小的测量值，其可靠性较高。

对于系统误差，不能用统计的方法评定不确定度，首先要对实验理论分析或对比分析之后，可以得知其系统误差的来源，并可采取一定的措施去削减系统误差。例如由于天平左右臂长不完全相同导致的系统误差，可将物体放在天平左盘、右盘上各称一次取平均去消除，而对于单摆周期与振幅有关，缩小振幅可以减小此项系统误差，在测量要求更高时，可根据理论分析得出的修正公式去补正。

1.2 不确定度的概念 测量不确定度则是评定作为测量质量指标的此量值范围，即对测量结果残存误差的评估。设测量值为x，其测量不确定度为u，则真值可能在量值范围(x-u，x+u)之中，显然此量值范围越窄，即测量 不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。

不确定度也有两类：A类标准不确定度和B类不确定度。

由于偶然效应，A类标准不确定度用统计方法来评定，其就取为平均值的标准偏差，即(2)式，也可写为

uA()s()s/n-------------------------(3)

B类评定的标准不确定度为

u(x)=Δ/--------------------------------------(4)

(4)式又称为仪器的标准误差。该式是根据仪器误差概率密度函数遵从均匀分布规律，由数学计算所得。 式中Δ为极限误差或仪器误差，是在规定的使用条件下，正确使用仪器时，仪器的示值和被测量真值之间可能出现的最大误差，其可以从下列几种情况中获得：国家计量技术规范；计量仪器说明书或检定书；仪器准确度等级；仪器分度值或经验(粗略估计)等。

2 二者的比较

不同类型的误差中究竟如何来区分误差和不确定度，表达式等方面有何不同，仍然有很多教材没有说明清楚。1993年，国际标准化组织颁布了《测量不确定度表达指南》(UGM)，1999年，国家技术监督局颁布了《测量不确定度的评定与表示》 (JJF1059-1999)。这两个文件的颁布，标志着我国各技术领域 在不确

定度的评定和表达方法上，将逐步走向一致，并与国际通行作法接轨。在大学一年级的教学中，可讲授以下相关的问题。

2.1 来源方面的比较

对误差的来源可以概括为五个方面：理论；仪器；实验装置；实验条件；观测者和监视器。

误差的来源不同，它对测量的影响不同，不同的来源评定不确定度的方法应不同。从测量值来看其影响表现可分为两类：一类是偶然效应引起的，使测量值分散开，例如用手控停表测摆的周期，由于手的控制存在偶然性，每次测量值不会相同；另一类则使测量值恒定的向某一方向偏移，重复测量时，此偏移的方向和大小不变，例如用电压表测一电阻两端的电压，由于这时偶然效应很弱，反复测量其值基本不变，当用更精密的电势差计去测时，可以得知电压计的示值有恒定的偏差，这是电压计的基本误差所致，此类误差称为系统误差。前者的标准不确定度为A类评定，后者为B类，以估计残存系统误差的可能范围。

对于多个来源的误差，则用合成标准不确定度评定。这就是下面要讨论的。

2.2 标准误差的传递公式与合成不确定度

前面讨论的是直接测量结果及其误差的估算和相应的不确定度，但在实验中大多数物理量的求得，往往是由一些直接测得量通过一定的公式计算得到的。由直接测得量代入公式计算得到的结果，称为间接测得量。将各个直接测得量的最佳值(算术平均值)代入测量公式计算，得到的结果称为间接测得量的最佳值。当测量次数无限增多时，此最佳值与间接测得量的算术平均值是一致的。

由于各个直接测得量的最佳值都有一定的误差，因此，求得的间接测量结果也必然具有误差。表达直接测量误差与间接测量误差之间的关系式，称为误差传递公式，其表达式摘要如下。

设间接测量N=F(A，B，C，„)，式中A，B，C，„为各独立的直接测得量，它们分别表示为

A,Bu,Cu则间接测得量表示为

Nu------------------------------------(5) 式中为间接测得量的最佳值，即

=F(，，，„)-----------------------------(6)

uN为间接测得量的标准误差。经理论计算可以得到间接测得量的标准误差为

uNF2FF]u2[]2u2[]2u2------- (7) ABC

上式称为标准误差的传递公式。

表达式与(7)式相似的，有合成不确定度uc(x)。 对一物理量测定之后，要计算测得量的不确定度，由于其测得量的不确定度来源不止一个，所以要合成其标准不确定度。计算的方法是方和根法。

对于直接测量，设被测量X的标准不确定度的来源有k项，则合成不确定度uc(x)取

uc(x)u

i1k2(x)i--------------------------(8)

上式中的u(x)可以是A类评定也可是B类评定。

对于间接测量，设被测量量Y由m个直接被测量x1，x2，„，xm算出，它们的关系为y=y(x1，x2，„，xm)，各xi的标准不确定度为u(xi)，则y的合成不确定度uc(y)为

uc(y)[

i1my2]u(xi)--------------------(9) xi

比较(9)式与(7)式，在数学表达式上是一致的。但是(7)式是计算间接测得量N的误差，(9)式是合成标准不确定度。

对于测得结果的报道通常写为

Y=y±uc(y)(单位)

或用相对不确定度

Y=y(1±uτ)(单位)

测量后，一定要计算不确定度，如果实验时间较少，不便于比较全面计算不确定度时，在偶然误差为主的测量情况下，可以只计算A类标准不确定度作为总的不确定度，略去B类不确定度；在系统误差为主的测量情况下，可以只计算B类标准不确定度作为总的不确定度。又由上文表明，如果用不确定度作为测量结果的报道，就可以不用标准误差，反之亦然。

2.3 综上所述，误差与不确定度是不可分的，二者紧密联系，但在处理数据时又要有所侧重

二者的联系至少有：一是误差的来源决定了不确定度的类型，也即由于测量有误差，因而才要评定不确定度；二是对于误差的多种来源，要用(7)式和(8)式(9)式，目前更提倡用(8)和(9)式；

二者的主要区别从上文看显而易见的：误差是测量结果和客观的真值之间总有一定的差异，是不可避免的，而不确定度是对误差的评估方法，包括对测量结果残存误差的评估和评定误差的范围。

3 规范教学内容的原则

首先是向刚步入大学实验课堂的学生说明，大学实验是要用更进一步的手段来分析误差，而不是仅用误差的概念来分析误差。

3.1 为了与中学教学衔接，还是要在误差的基础上通过比较引导学生用不确定度来报道实验结果。虽然，标准误差与不确定度在表达式上差异并不大，但测量不确定度更能反映绝对误差ε与真值a的不可确知性，是对测量可靠性的评价，即是评定作为测量质量指标的此量值范围。然而测量不确定度的评定，常以估计标准误差(或标准偏差)去表示大小，这时二者就没有区别。在对大一学生的大学实验入门教学中，指出这一点，有助于学生将中学学习的误差概念深化。

3.2 在教学中，前述的(1)(2)(3)式，比较了偶然误差和A类不确定度，(4)式则比较了系统误差与B类不确定度，(7)和(9)式则比较了标准误差的传递公式与合成标准不确定度。在对大一学生的 教学中，如果直接介绍(3)、(4)和(9)式，学生就感到难以接受，觉得中学学习的内容都没有用了，同时学习实验理论的积极性也会受到影响，而分别在(1)、(2)式和极限误差或仪器误差Δ、(5)、(6)、(7)式讨论后再要求用不确定度进行教学，效果就会大不一样。

3.3 通过具体的实验实例分析，研究减少系统误差的方法，有利于学生对误差的深入认识，使之在中学的基础上得到提高。在实验的理论方法、环境条件、仪器结构、操作测量等方面，都可能存在由于偶然因素产生的一些涨落扰动，或是一些不能严格确定的系统误差。这些都将构成实验的不确定因素。这些不确定因素往往就成为实验基本误差的主要来源。因此，在实验的设计安排、仪器装置的设计使用以及操作测量过程中，要尽量避免或减少这些不确定因素的影响。

在教学中可以介绍如提高信噪比，在地下矿井或山洞里寻找新的宇宙粒子，在低温下做实验以减小分子不规则热运动的影响。一些精确恒温的实验放到山洞里做，或者建立恒温室。形成噪声的现象除了量子力学的测不准原理限制外，还有布朗运动、约翰逊噪声、非连续物质造成的干扰。

在实验操作中如精密天平，学生通过实验用“复称法”来消除不等臂造成的系统误差，用静力称衡法测固体密度则是用天平测量体积，从而减少了测体积的误差。

另一个有趣的例子是，量热器盖内的水珠到底吸收了多少蒸发热或汽化热，又有多少分额是由于重新凝结而又释放了回去?甘油吸收了空气中多少水分而使它的粘滞系数实际上变化了多少?用棉线吊起来的物体放入水里，由于水的表面张力的影响，在露出水面部分的线上吸收了多少水分等，这些不确定的因素都是要在科研实验中尽量避免的。

这些例子表明，通过误差和不确定度的比较，不仅使概念更加清楚，还可以促使研究性的实验的开展。

然后教材应对实验数据处理有更好的规范，规范后的教学内容，应具有科学性、简洁性和通用性。 科学性是指在评定不确定度的理论和方法上，要体现最新研究成果，与UGM及JJF1059不发生矛盾。 简洁性就是用最少的文字、最浅显的论述实现预定的教学目标，以便做到用4个学时完成对基本教学内容的讲述。

通用性是指规范后的教学内容必须对后续相关课程具有适用性，也应该对学生未来的技术岗位具有适用性。

两个焦点问题是：一是B类评定方法可否在教材中删除?

二是直接测量和间接测量评定方法的联系和区别。

并非在所有情况下，测量不确定度都能通过A类评定得到。相反，很多情况下，不确定度只能用B类评定得到。第二个问题：用下式评定

u(xi)uA2uB2---------------------------(10)

式中u(xi)称为标准不确定度，是A类评定与 B类评定的合成。

[参考文献]

[1] 杨述武.普通物理实验(一)[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2] 李寿松.物理实验教程[M].北京：高等教育出版社， 1998.

[3] 中华人民共和国国家计量技术规范(JJF1059-1999)[M].

[4] 吴泳华.大学物理实验(第一册)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 朱海星.实验中错失良机的原因透析[J].物理教学， 2006(7).

[6] 朱海星.重视对实验失误教训的研究[J].物理教学， 2002(4)

误差与不确定度的概念比较

实验教学中关于误差和不确定度的区别和联系，是学生感到难以理解并准确掌握的概念之一，本文将对此比较总结如下。

1误差和不确定度的定义

1.1 误差的概念 各被测量量在实验当时条件下均有不依人的意志为转移的真实大小，此值被称为被测量的真值。即真值就是被测量量所具有的、客观的真实数值。然而实际测量时，总是由具体的观测者，通过一定的测量方法，使用一定的测量仪器和在一定的测量环境中进行的。由于受到观测者的操作和观察能力，测量方法的近似性，测量仪器的分辨力和准确性，测量环境的波动等因素的影响，其测量结果和客观的真值之间总有一定的差异。测量结果与真值的差为测量值的误差，即

测量值(x)-真值(a)=误差(ε)

在实验中通常要处理的来源于测量值的误差有两类：偶然误差和系统误差。

对于偶然误差，有算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，相应的误差有标准偏差s，它的定义为 s(x)i

i1n2

n1------------------------------(1)

式中n为测量值的个数。对于算术平均值的标准偏差，用来表示算术平均值的偶然误差，表达式为 s()s/n------------------------------------(2)

二者的统计意义是，标准偏差小的测量值，其可靠性较高。

对于系统误差，不能用统计的方法评定不确定度，首先要对实验理论分析或对比分析之后，可以得知其系统误差的来源，并可采取一定的措施去削减系统误差。例如由于天平左右臂长不完全相同导致的系统误差，可将物体放在天平左盘、右盘上各称一次取平均去消除，而对于单摆周期与振幅有关，缩小振幅可以减小此项系统误差，在测量要求更高时，可根据理论分析得出的修正公式去补正。

1.2 不确定度的概念 测量不确定度则是评定作为测量质量指标的此量值范围，即对测量结果残存误差的评估。设测量值为x，其测量不确定度为u，则真值可能在量值范围(x-u，x+u)之中，显然此量值范围越窄，即测量 不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。

不确定度也有两类：A类标准不确定度和B类不确定度。

由于偶然效应，A类标准不确定度用统计方法来评定，其就取为平均值的标准偏差，即(2)式，也可写为

uA()s()s/n-------------------------(3)

B类评定的标准不确定度为

u(x)=Δ/--------------------------------------(4)

(4)式又称为仪器的标准误差。该式是根据仪器误差概率密度函数遵从均匀分布规律，由数学计算所得。 式中Δ为极限误差或仪器误差，是在规定的使用条件下，正确使用仪器时，仪器的示值和被测量真值之间可能出现的最大误差，其可以从下列几种情况中获得：国家计量技术规范；计量仪器说明书或检定书；仪器准确度等级；仪器分度值或经验(粗略估计)等。

2 二者的比较

不同类型的误差中究竟如何来区分误差和不确定度，表达式等方面有何不同，仍然有很多教材没有说明清楚。1993年，国际标准化组织颁布了《测量不确定度表达指南》(UGM)，1999年，国家技术监督局颁布了《测量不确定度的评定与表示》 (JJF1059-1999)。这两个文件的颁布，标志着我国各技术领域 在不确

定度的评定和表达方法上，将逐步走向一致，并与国际通行作法接轨。在大学一年级的教学中，可讲授以下相关的问题。

2.1 来源方面的比较

对误差的来源可以概括为五个方面：理论；仪器；实验装置；实验条件；观测者和监视器。

误差的来源不同，它对测量的影响不同，不同的来源评定不确定度的方法应不同。从测量值来看其影响表现可分为两类：一类是偶然效应引起的，使测量值分散开，例如用手控停表测摆的周期，由于手的控制存在偶然性，每次测量值不会相同；另一类则使测量值恒定的向某一方向偏移，重复测量时，此偏移的方向和大小不变，例如用电压表测一电阻两端的电压，由于这时偶然效应很弱，反复测量其值基本不变，当用更精密的电势差计去测时，可以得知电压计的示值有恒定的偏差，这是电压计的基本误差所致，此类误差称为系统误差。前者的标准不确定度为A类评定，后者为B类，以估计残存系统误差的可能范围。

对于多个来源的误差，则用合成标准不确定度评定。这就是下面要讨论的。

2.2 标准误差的传递公式与合成不确定度

前面讨论的是直接测量结果及其误差的估算和相应的不确定度，但在实验中大多数物理量的求得，往往是由一些直接测得量通过一定的公式计算得到的。由直接测得量代入公式计算得到的结果，称为间接测得量。将各个直接测得量的最佳值(算术平均值)代入测量公式计算，得到的结果称为间接测得量的最佳值。当测量次数无限增多时，此最佳值与间接测得量的算术平均值是一致的。

由于各个直接测得量的最佳值都有一定的误差，因此，求得的间接测量结果也必然具有误差。表达直接测量误差与间接测量误差之间的关系式，称为误差传递公式，其表达式摘要如下。

设间接测量N=F(A，B，C，„)，式中A，B，C，„为各独立的直接测得量，它们分别表示为

A,Bu,Cu则间接测得量表示为

Nu------------------------------------(5) 式中为间接测得量的最佳值，即

=F(，，，„)-----------------------------(6)

uN为间接测得量的标准误差。经理论计算可以得到间接测得量的标准误差为

uNF2FF]u2[]2u2[]2u2------- (7) ABC

上式称为标准误差的传递公式。

表达式与(7)式相似的，有合成不确定度uc(x)。 对一物理量测定之后，要计算测得量的不确定度，由于其测得量的不确定度来源不止一个，所以要合成其标准不确定度。计算的方法是方和根法。

对于直接测量，设被测量X的标准不确定度的来源有k项，则合成不确定度uc(x)取

uc(x)u

i1k2(x)i--------------------------(8)

上式中的u(x)可以是A类评定也可是B类评定。

对于间接测量，设被测量量Y由m个直接被测量x1，x2，„，xm算出，它们的关系为y=y(x1，x2，„，xm)，各xi的标准不确定度为u(xi)，则y的合成不确定度uc(y)为

uc(y)[

i1my2]u(xi)--------------------(9) xi

比较(9)式与(7)式，在数学表达式上是一致的。但是(7)式是计算间接测得量N的误差，(9)式是合成标准不确定度。

对于测得结果的报道通常写为

Y=y±uc(y)(单位)

或用相对不确定度

Y=y(1±uτ)(单位)

测量后，一定要计算不确定度，如果实验时间较少，不便于比较全面计算不确定度时，在偶然误差为主的测量情况下，可以只计算A类标准不确定度作为总的不确定度，略去B类不确定度；在系统误差为主的测量情况下，可以只计算B类标准不确定度作为总的不确定度。又由上文表明，如果用不确定度作为测量结果的报道，就可以不用标准误差，反之亦然。

2.3 综上所述，误差与不确定度是不可分的，二者紧密联系，但在处理数据时又要有所侧重

二者的联系至少有：一是误差的来源决定了不确定度的类型，也即由于测量有误差，因而才要评定不确定度；二是对于误差的多种来源，要用(7)式和(8)式(9)式，目前更提倡用(8)和(9)式；

二者的主要区别从上文看显而易见的：误差是测量结果和客观的真值之间总有一定的差异，是不可避免的，而不确定度是对误差的评估方法，包括对测量结果残存误差的评估和评定误差的范围。

3 规范教学内容的原则

首先是向刚步入大学实验课堂的学生说明，大学实验是要用更进一步的手段来分析误差，而不是仅用误差的概念来分析误差。

3.1 为了与中学教学衔接，还是要在误差的基础上通过比较引导学生用不确定度来报道实验结果。虽然，标准误差与不确定度在表达式上差异并不大，但测量不确定度更能反映绝对误差ε与真值a的不可确知性，是对测量可靠性的评价，即是评定作为测量质量指标的此量值范围。然而测量不确定度的评定，常以估计标准误差(或标准偏差)去表示大小，这时二者就没有区别。在对大一学生的大学实验入门教学中，指出这一点，有助于学生将中学学习的误差概念深化。

3.2 在教学中，前述的(1)(2)(3)式，比较了偶然误差和A类不确定度，(4)式则比较了系统误差与B类不确定度，(7)和(9)式则比较了标准误差的传递公式与合成标准不确定度。在对大一学生的 教学中，如果直接介绍(3)、(4)和(9)式，学生就感到难以接受，觉得中学学习的内容都没有用了，同时学习实验理论的积极性也会受到影响，而分别在(1)、(2)式和极限误差或仪器误差Δ、(5)、(6)、(7)式讨论后再要求用不确定度进行教学，效果就会大不一样。

3.3 通过具体的实验实例分析，研究减少系统误差的方法，有利于学生对误差的深入认识，使之在中学的基础上得到提高。在实验的理论方法、环境条件、仪器结构、操作测量等方面，都可能存在由于偶然因素产生的一些涨落扰动，或是一些不能严格确定的系统误差。这些都将构成实验的不确定因素。这些不确定因素往往就成为实验基本误差的主要来源。因此，在实验的设计安排、仪器装置的设计使用以及操作测量过程中，要尽量避免或减少这些不确定因素的影响。

在教学中可以介绍如提高信噪比，在地下矿井或山洞里寻找新的宇宙粒子，在低温下做实验以减小分子不规则热运动的影响。一些精确恒温的实验放到山洞里做，或者建立恒温室。形成噪声的现象除了量子力学的测不准原理限制外，还有布朗运动、约翰逊噪声、非连续物质造成的干扰。

在实验操作中如精密天平，学生通过实验用“复称法”来消除不等臂造成的系统误差，用静力称衡法测固体密度则是用天平测量体积，从而减少了测体积的误差。

另一个有趣的例子是，量热器盖内的水珠到底吸收了多少蒸发热或汽化热，又有多少分额是由于重新凝结而又释放了回去?甘油吸收了空气中多少水分而使它的粘滞系数实际上变化了多少?用棉线吊起来的物体放入水里，由于水的表面张力的影响，在露出水面部分的线上吸收了多少水分等，这些不确定的因素都是要在科研实验中尽量避免的。

这些例子表明，通过误差和不确定度的比较，不仅使概念更加清楚，还可以促使研究性的实验的开展。

然后教材应对实验数据处理有更好的规范，规范后的教学内容，应具有科学性、简洁性和通用性。 科学性是指在评定不确定度的理论和方法上，要体现最新研究成果，与UGM及JJF1059不发生矛盾。 简洁性就是用最少的文字、最浅显的论述实现预定的教学目标，以便做到用4个学时完成对基本教学内容的讲述。

通用性是指规范后的教学内容必须对后续相关课程具有适用性，也应该对学生未来的技术岗位具有适用性。

两个焦点问题是：一是B类评定方法可否在教材中删除?

二是直接测量和间接测量评定方法的联系和区别。

并非在所有情况下，测量不确定度都能通过A类评定得到。相反，很多情况下，不确定度只能用B类评定得到。第二个问题：用下式评定

u(xi)uA2uB2---------------------------(10)

式中u(xi)称为标准不确定度，是A类评定与 B类评定的合成。

[参考文献]

[1] 杨述武.普通物理实验(一)[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2] 李寿松.物理实验教程[M].北京：高等教育出版社， 1998.

[3] 中华人民共和国国家计量技术规范(JJF1059-1999)[M].

[4] 吴泳华.大学物理实验(第一册)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 朱海星.实验中错失良机的原因透析[J].物理教学， 2006(7).

[6] 朱海星.重视对实验失误教训的研究[J].物理教学， 2002(4)