矩形的性质与判定

矩形的性质与判定3

复习巩固：1. 已知，如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，OA=2，OB=1.

求证：ABCD是菱形.

2. 如图，在□ABCD中，对角线BD的垂直平分线交BC，AD，BD于点E，F，O.求证：四边形BEDF是菱形.

3. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E，F分别是AB，AD上的动点，且满足BE=AF，连接EF，EC，CF. 求证：△EFC是等边三角形.

一、知识点：

1. 边：对边平行且相等； 2. 角：四个角都是直角；

3. 对角线：对角线相等且互相平分.

1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）

2. 对角线相等的平行四边形是矩形（定理）

3. 三个角是直角的四边形是矩形（定理）

矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有2条对称轴.

（一）填空题：

1. 已知矩形两条对角线的夹角为60°，较短边的长为4cm，则矩形的对角线的长为_____________. 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，将矩形ABCD沿AF折叠，点D落在BC上的E点处，则线段CF的长为____________________.

4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为点

E. 已知∠EAD=3∠BAE，则∠EAO的度数为_____________________.

5. 如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD = 8，AB = 4，则DE的长为

6. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=

cm，则AD的长为______________________. 4

7. 如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和8. 如图，把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，

则∠DEF的度数是_______________．

（二）解答题:

9. 已知：如图，在□ABCD中，点E，F在BC边上，且BE=CF，AF=DE. 求证：四边形ABCD是矩形.

10. 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形.

11. 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

(1)求证：OC＝； (2)当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？并给出证明．

12. 如图，已知矩形ABCD中，AC，BD交于点O，AE∥BD，DE∥AC. 求证：OE⊥AD.

13. 如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，∠AFC=2∠D，连接AC，BE. 求证：四边形ABEC是矩形.

14. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，与CE的延长线相交于点F，且AF=BD，连接BF.

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD

15. 将如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE.

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长.

16. 把一张矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E，F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG.

（1）求证：△BHE≌△DGF；

（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长.

17. 在四边形ABCD中，已知AB=CD，BC=DA，对角线AC，BD交于点O，M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD. 四边形ABCD

18. 把一张矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，使点A与点M重合，点C与点N重合（M，N两点均在BD上），折痕分别为BE，DF. （1）求证：四边形BFDE

（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，

求菱形BFDE的面积.