第1讲 抽屉原理（一）
例1 六年级有31名学生是在9月份出生的，那么其中至少有2名学生的生日是在同一天。为什么？
例2 在长度为2米的线段上任意点11个点，至少有两个点之间的距离不大于20厘米。为什么？
例3 任意4个自然数，其中至少有2个数的差是3的倍数。这是为什么？
例4 （1）从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102；
（2）从1到100的所有奇数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于102。请说明理由。
例5 下面画出了3行9列共27个小方格，将每一个小方格涂上红色或蓝色。不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？
思考与练习
1、数学兴趣小组有38人，老师至少拿多少本书，随意分给大家，才能保证至少有1名学生能拿到2本书？
2、某小学学生的年龄最大的为13岁，最小的为6岁，至少需要从中挑选多少名同学，就一定能使挑出的同学中有两位同学岁数相同？
3、在100米的路段上植树，至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？
4、任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？
5、从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52。这是为什么？
6、从1,2,3,4, „,10这10个数中，任意取多少个数，可以保证在这些数中一定能找到两个数，使其中一个数是另一个数的倍数？
7、从1,2,3,4, „,12这12个数中，任意取出7个数，其中差等于6的数至少有多少对？
8、有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各两枝，让一位小朋友任意抓两枝，这位小朋友至少抓多少次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同（每抓一次后又放回，再抓另一次）？
9、学校买来历史、文艺、科普三种图书各若干本，每名同学从中任意借两本。那么，至少多少名同学中一定有两人所借图书的种类相同？
10、将一大筐苹果和梨子，分成若干堆。如果要确保找到这样两堆，其中梨子的总数和苹果的总数都是偶数，那么，至少要把这些苹果和梨分成多少堆？
第2讲 抽屉原理（二）
例1 今年入学的一年级新生有181人。这些新生中，至少有多少人是同一个月出生的？
例2 有红、黄、蓝三种不同的玩具各若干个，每名同学从中任意拿2个。至少多少名同学中一定有两名所拿的玩具种类相同？
例3 布袋里有4种不同颜色的小球，每种颜色的球至少2个，每次任意摸出2个，然后再放回去。要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？
例4 某旅游团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地。至少有多少人游览的地方完全相同？
例5 六（2）班的同学参加一次数学考试，全班最高分为100分，全班最低分是75分。已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。那么，六（2）班至少有多少名同学？
思考与练习
1、参加数学竞赛的210名同学中，至少有多少名同学是同一个月出生的？
2、一副扑克牌除大、小王之外，还有52张牌，共分4种花色，每种花色有13张， 从这52张中任意抽牌，至少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？
3、六年级（1）班的40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，其中必有多少名学生是同年同月出生的？
4、有红、黄、蓝、白4色小球各10个，混放在一个暗盒里。一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的？
5、数学爱好者俱乐部有37名同学，他们都订阅了《小学生数学报》、《数学奥林匹克》、《智力》中的一种或几种，那么其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同？
6、 5名同学在一起练习投篮，共投进了41个球，那么至少有一个人至少投进了多少个球？
7、李老师从图书馆借来一批图书分给三（1）班48名同学。分的结果是，他们当中总有人至少分到3本书。这批图书至少有多少本？
8、有规格、尺寸相同的6种颜色的袜子各20双，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证能凑成3双同色的袜子（袜子不分左右脚）？
9、某班同学的语文考试成绩都是整数，其中最高分为95分，最低分为82分。已知全班至少有4人的成绩相同，这个班至少有多少名学生？
10、一个盒子里有同样大小的珠子30颗，其中有10颗红色，8颗白色，7颗黄色，5颗绿色。如果不用眼睛看，那么至少要从盒中摸出多少颗珠子，才能保证一定有7颗珠子颜色相同？
第3讲 二进制计数法
例1：把十进制数53化成二进制数是多少？
例2：把二进制数1111（2）化成十进制数是多少？
例3：计算
（1）11101（2）+10011（2） （2）100110（2）-11011（2）
（3）11101（2）×11（2） （4）1001011（2）÷1111（2）
例4：6灯泡并排安装在台面上，用亮灯 和不亮灯●表示为： ●●●●●„„1 ●●●●●„„2 ●●●●„„3 ●●●●●„„4 ●●●●„„5
●●●表示哪个数？
思考与练习：
1．将下列二进制数化成十进制数。
（1）101010（2） （2）110011（2） （3）101101（2） (4)100001（2）
2．将下列十进制数化成二进制数。
(1)26 (2)31 (3)63
3．计算1001001（2）+10101（2）
4．计算1010011（2）-1110（2）
5．计算101101（2）×1111（2）
(4)45
6．计算 111011001（2）÷1011（2）
7．现有1克、2克、4克、8克、16克的法码各一个，用天平可以称出多少种不同重量的物体？
8．小王是一个粮店的老板，他想将63千克面粉分装成6袋，这样顾客只要来买面粉的重量是63以内的整千克数，小王都可以一下子提给顾客。小王应该怎样分装呢？
9．药店有10瓶药，每瓶中有1000粒药丸，其中有几瓶中的药丸每粒超重10毫克，有没有办法一次称出是哪几瓶有问题？
10． 某弹药库长官，命令士兵将一千发炮弹分成10堆，而且在一旦需要调用1000以内的任何发数的炮弹，只要装载若干堆便能凑出所需炮弹发数。请你为士兵设计一种堆放炮弹的方案。
第5讲 最大与最小（一）
例1．从1—9这9个自然数中选出8个填在下面8个“○”内，使算式的结果尽可能大，这个最大的结果是
［ ○÷○×（○+○）］- （○×○+○-○）
例2．把1.5、
、2.9、4.6分别填入下图中的5 ”内，再在每个3个“ 3个“○”中“△”中。请找出一种填法，使“△”
中的数尽可能大。“△”中的数最大是多少？
例3．从多位数[**************]„„100中划去100个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成的多位数最大。
例4．把19分成若干个自然数的和，如何才能使它们的乘积最大？乘积最大是多少？
例5．已知长方体的长、宽、高均为整厘米数，相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米，求表面积最小的长方体的体积。
思考与练习
1．把20以内的素数分别填入 中（每个素数只用一次）。
+ +
+
使A
为整数，A
最大是多少？
2．在下面的“
”中分别填入
1、
2、
3、
4、
5、6、7、8、9
中的一个数字（同
，使
（1
）
+
的值最小
（2） +
的值最大
3．若连续非0自然数1、2、3„„的乘积的最末13位都是0，其中最大的一个自然数最大是多少？
4．一个三位数除以43，商是a ，余数是b （a ，b 都是自然数），a+b的最大值是多少？
5．先把6.125、8、48、49、50分别填在下图中的5的数最小。
×
6．从多位数[**************]„„484950中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成的多位数最大。这个最大的多位数是多少？
7．长方体所有棱长之和为48厘米，当长方体的长、宽、高分别为多少时，体积最大？
8．如下图，用30米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形养鸡场，长方形的长和宽分别为多少时，长方形养鸡场面积最大？
9．分别在混循环小数3.571064和1.678189的小数点后前六位的某两位上点上循环点，使新产生的两个循环小数的差最大，那么，这两个新循环小数分别是多少？
10．一条汽车路线上共有10个站。一辆汽车从起点站驶往终点站。在始发站上来9名乘客，到第一站下去1名乘客，又上来8名乘客，以后每站下去的乘客比前一站多1名，上来的乘客比前一站少1名。要使每位乘客都有座位，这辆车至少应有多少个座位?
第6讲 最大与最小（二）
例1．一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙和4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能把全部的钥匙和锁一一配对？
例2．一次数学考试的满分是100分，6名同学在这次考试中平均得分是91分，这6名同学的得分互不相同，其中1名同学仅得65分。那么，得分排在第三名的同学至少得多少分（假定6名同学的得分都是整数）？
例3．布袋中有同样大小的球若干个，其中红球10个，黄球20个，白球15个，黑球30个。从布袋中至少摸出多少个球，才能保证摸出的球中必有5个同色的球？从袋中至少摸出多少个球，才能保证摸出的球中一定有4种颜色？
例4．如图所示，有两条垂直相交的线段，AB 、CD ，交点为E 。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB 和CD 上取3个点画三角形。问：怎样取3个点，才能使画出的三角形的面积最大？
D
A E B
C
例5．A ，B 两镇位于河岸同侧，它们到河岸的距离分别为AC ，BD 。现要在岸边CD 上建议水塔给两镇送水，水塔建在何处，才能使水管最省？
思考与练习
1．一道带余除法算式，除数是10，余数最大是多少？
2．一把钥匙只能开一把锁。现在有8把钥匙和8把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？
3．用一个平底锅烙饼，每次只能放两张饼，烙热一张饼需要2分钟（正、反面各需1分钟）。如果烙7张饼，最少需要多少分钟？
4．5个连续非0自然数的和是300，其中最大的那个数是多少？
5．7名同学在一次数学竞赛中共得110分，各人得分互不相同，其中得分最高的是19分，那么第七名的得分至少是多少分（得分均为整数）？
6．从49名学生中选一名班长，甲、乙、丙为候选人。统计37张选票后的结果是：甲得15票，乙得10票，丙得12票。甲至少再得多少张票才能保证以票数最多当选？
7．有形状、长短都完全一样的红色、黑色、白色、黄色、紫色、蓝色筷子各25根。在黑暗中至少应摸出多少根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双（两根同色筷子为一双）？
8．在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？
9．如图所示，在半圆周上任取一点，分别与直径端点A 、B 连接成三角形。试在半圆周上找一点使这一点与A 、B 连成的三角形的面积最大。
B
10．下图所示是一个港湾，港湾内停了M 、N 两艘轮船。根据计划，M 船应先停靠OA 岸，再停靠OB 岸，最后靠到N 船装货。M 船应怎样航行，才能使所行的水路最短（画图表示）？
A
·
M N
B
O
第7讲 逻辑推理
例1、 小赵、小钱、小孙三人，一位是律师，一位是医生，一位是教师。现在只知道：
(1)小孙比教师年龄大。
(2)小赵和医生不同岁。
(3)医生比小钱年龄小。
你能确定谁是律师，谁是医生，谁是教师吗？
例2、 一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯甲、乙、丙、丁，他们的供词如下： 甲说：“不是我偷得。”
乙说：“是甲偷的。”
丙说：“不是我。”
丁说：“是乙偷的。”
他们4人中只有一人说的是真话，你知道谁是小偷吗？
例3、 江波、潘峰、刘荣3位老师共同担任六年级（1）班语文、数学、政治、体育、音乐和美术6门课的老师，每人教两门。现在知道：
（1）政治老师和数学老师是邻居。
（2）潘峰最年轻。
（3）江波喜欢和体育老师、数学老师交谈。
（4）体育老师比语文老师年龄大。
（5）潘峰、音乐老师、语文老师3人经常一起去游泳。
你能说出3人分别教哪两门课吗？
例4、 张同、李想、王冰冰三人分别是六年级（1）班、（2）班、（3）班的学生，他们中有一人喜欢围棋，有一人喜欢象棋，有一人喜欢跳棋，现已知：
（1）张同不喜欢围棋，李想不喜欢象棋；
（2）喜欢围棋的不是（2）班的学生；
（3）（1）班的学生喜欢玩象棋；
（4）李想不是（3）班的学生。
你知道张同、李想、王冰冰各自的爱好和所在的班级吗？
例5、 5个班进行4项环保知识竞赛（每班2名学生参赛），每项比赛每班出1名学生参赛。第一项参赛的是吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王。另外，刘某因故4项均为参加。问：谁和谁是同一个班的？
思考与练习
1、三个好朋友大学毕业后选择了不同的职业，其中有一个当了记者。有一次别人问起他们中谁是记者时，A 说：“我是记者。”B 说：“我不是记者。”C 说：“A 说的是假话。”他们三人中只有一人说了真话，你能猜出谁是记者吗？
2、赵、钱、孙、李四名同学中，有一名同学在体育比赛中获奖，老师问他们谁是获奖者，赵说：“我不是。”钱说：“是李。”孙说：“是钱。”李说：“不是我。”他们中只有一个没有说真话，问：到底是谁获了奖？
3、突然听到一声响，原来我房子的窗玻璃被打碎了，询问院子里的四个孩子，得到的回答是：
A 说：“是B 打破的。”
B 说：“是D 打破的。”
C 说：“不是我打破的。”
D 说：“B 在说谎。”
已知其中只有一个孩子说了真话，且肇事者也是其中的一个人。谁说了真话？谁是肇事者？
4、在一次数学竞赛中，A 、B 、C 、D 、E5名同学分别获得了前5名（无并列名次）。小明问他们各是第几名。
A 说：“第二名是D ，第三名是B 。”
B 说：“第二名是C ，第四名是E 。”
C 说：“第一名是E ，第五名是A 。”
D 说：“第三名是C ，第四名是A 。”
E 说：“第二名是B ，第五名是D 。”
这5名同学每人只说对了一半，请你帮小明猜一猜5名同学的名次。
5、甲、乙、丙3名学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服参加一次宣传活动。已知：
（1）帽子和衣服的颜色只有红、黄、蓝3种；
（2）甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；
（3）戴红帽子的学生没穿蓝衣服；
（4）戴黄帽子的学生穿红衣服；
（5）乙没穿黄衣服。
问：这3人分别戴什么帽子，穿什么衣服？
6. 一天，A 、B 、C 、D 、E5人聚会，由于下雨，每人都带了一把伞，会后各带了一把伞回家，到家后他们发现每个人拿的伞都不是自己的，现已知：
（1）A 拿的不是B 的，也不是D 的；
（2）B 拿的不是C 的，也不是D 的；
（3）C 拿的不是B 的，也不是E 的；
（4）D 拿的不是C 的，也不是E 的；
（5）E 拿的不是A 的，也不是D 的；
而且没有两人之间互相拿错的。问：他们分别拿了谁的雨伞？
7、东东、兰兰、英英读书的学校分别是一小、二小、三小，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但究竟谁爱好哪一项运动、在哪个学校读书还不清楚，只知道；
（1）东东不在一小；
（2）兰兰不在二小；
（3）爱好排球的在二小；
（4）爱好游泳的在一小；
（5）爱好游泳的不是兰兰。
请你根据上面的条件弄清楚他们各自就读的学校和爱好的运动项目。
8、4名运动员分别来自北京、上海、浙江和吉林，在游泳、田径、乒乓球和足球4项运动中，每人只参加了一项，且4人参加的运动项目各不相同，除此以外还知道：
（1）张明是球类运动员，不是南方人；
（2）赵纯是南方人，不是球类运动员；
（3）李勇和北京运动员、乒乓球运动员3人同住一个房间；
（4）郑永不是北京运动员，年龄比吉林运动员和游泳运动员两人的年龄都小；
（5）浙江运动员没有参加游泳比赛。
根据这些条件，请你分析一下，这4名运动员分别来自什么地方，各参加什么运动？
9、有2010人聚会，其中至少有一个人说假话，这2010人里任意两人中总有一人说真话。问：说真话的有多少人？说假话的有多少人？
10、甲、乙、丙、丁4人比赛乒乓球，每两人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同。问：丁胜了几场？
第8讲 综合推理
例1. 有8个球，编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻的球，用天平称了3次，结果如下：
第一次：①+②比③+④重；
第二次：⑤+⑥比⑦+⑧重；
第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。
那么，是哪两个球轻呢？
例2. 某楼住着4个女孩和2个男孩。他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也大4岁。最大的男孩几岁？
例3. 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙3个队，每名选手都与其余9名选手各赛1局，每局棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分。结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分。那么，甲、乙、丙3队参加比赛的选手人数各是多少？
1例4. 有一位逝世多年的学者，逝世时的年龄是他出生年份数的，这位学者在30
1960年主持学术会议时是多少岁？
例5. 甲、乙、丙3名运动员进行A 、B 、C 、D 、E 5项比赛，获得第一名、第二名、第三名，各项比赛无并列名次。已知甲得22分，乙得9分，丙得9分，又已知乙得了一个第一名。试说出每个人的名次情况。
思考与练习
1、某年的8月份有4个星期四，5个星期三。这年8月8日是星期几？
2、甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲有糖的粒数是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲有糖的粒数是乙的3倍。甲、乙两个小朋友共有多少粒糖？
3、 如图所示，每个正方形的6个面上分别写着数字1-6，并且任意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于7。把这样的5个正方形一个挨着一个连接起来后，紧挨着的两个面上数字之和都等于8。图中打“？”的这个面上所写的数字是多少？
4、 小黄的手机号码最后五位数是由五个不同的数字组成的。甲猜：“35761”。乙猜：“74058”。丙猜：“49780”。小黄说：“你们都猜对了位置不相邻的两个数字。”这个手机号码的最后五位数是多少呢？
5、 将1-8这8个自然数分成A 、B 两组，每组4个数，并使两组数之和相等。从A 组拿一个数到B 组后，B 组的数之和将是A 组剩下3个数之和的2倍；从
5B 组拿一个数到A 组后，B 组剩下3个数的和是A 组5个数之和的。这8个7
数应怎样分组？
6、 共有4个人进行跳远、100米跑、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分。已知每一单项比赛中4人得分互不相同；部分第一名的人共获17分，他的跳高得分低于其他项得分；总分第三名的人共获11分，他的跳高得分低于其他项得分。获总分第二名的铅球得多少分？
7、 张教授连续做了若干个小时的实验。开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针和分针重合。已知这个挂钟只在整点报时，几点就报几个，整个实验过程中挂钟共敲了39下。问：
（1）、张教授的实验共做了几小时？
（2）、做完实验时，挂钟敲了几下？
8、 六年级3个班参加运动会。运动会上举行跳高、跳远和百米赛跑3项比赛，各取前3名，第一名得5分，第二名得3分，第三名得1分。已知（1）班进入前3名的人数最少，（2）班进入前3名的人数是（1）班的2倍，而且这两个班所得总分相等，并列年级组的第一名。（3）班得了多少分？
9、某班44人，从A 、B 、C 、D 、E 5位候选人中选举班长，A 得23票，B 的票数占第二位，C 、D 得票相同，E 选票最少，得4票，那么B 得选票几张？
10、 在一次射击练习中，小张、小王、小李各打了4发子弹，全部中靶。命中情况如下：
（1） 每人4发子弹所命中的环数各不相同；
（2） 每人4发子弹所命中的总环数均为17环；
（3） 小王有两发命中的环数分别与小张命中的两发一样，小王另两发命中
的环数与小李命中的两发一样；
（4） 小张和小李只有一发命中的环数相同；
（5） 每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
问：小张和小李命中的相同环数是几环？
第23讲 统筹与优化（一）
例1 一只平底锅上只能同时煎两只饼。用它煎1只饼需要2分钟（正、反面各1分钟）。问：煎3只饼需几分钟？怎样煎？
例2 6个人各拿一只水桶到水龙头接水。水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问：怎样安排这6个人的接水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？
例3 小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭。她准备做米饭和炒鸡蛋。小红家有两个炉灶。她估计了一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。你认为经过合理的安排后，只要多少分钟就能做好饭菜？
例4 如下图，在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。1号仓库存有10吨货物，2号仓库存有20吨货物，5号仓库存有40吨货物，其中两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1千米要0.5元运输费，那么最少要花费多少元运费才行？
10吨 20吨 40吨
例5 工地上有手推车20辆，其中10辆从A 1运垃圾到B 1，要60次运完，另外10辆从A 2运砖头到B 2，要40车次运完。工地上的可行道路及路程如图（单位：米）有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。那么，怎样安排才算合理呢？
A 2360
240 2
B 1300 1
思考与练习
1. 有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯，不许倒掉水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？
2. 公司经理通知甲、乙、丙三人同时去办公室谈话，甲谈完要10分钟，乙谈完要12分钟，丙谈完要5分钟。怎样安排这三人的谈话顺序，才能使三人一共花的时间最少？最少要花多少时间？
3. 理发室有甲、乙两位理发师，同时来了5位顾客，根据顾客所要理的发型，分别需要10分钟、12分钟、15分钟，20分钟和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这5个人的理发及等候所用时间的和最少？最少要花多少时间？
4. 甲、乙两村相距10千米，要在两村之间建一所联合小学。甲村有60人上学，乙村有40人上学。那么学校应该建在什么地方，才能使这100名学生每天上学的总行程最短？
5. 妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要1分钟，烧开水要15分钟，洗茶壶要1分钟，拿茶叶要2分钟。为了使客人能早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
6. 在一条公路上有四家工厂，相邻的每两家工厂距离相等（如图所示）。现在要在这条公路上设一车站，使得这四家工厂的所有工人步行到车站的总路程最少，这个车站应设在几号工厂门口？
100人 120人 80人 215人
7. 小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需2分钟，丙牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？
8. 甲、乙两个仓库各有100吨化肥。春耕生产时，北乡要60吨化肥，南乡要80吨化肥。两个仓库到两乡的路程如右图所示（单位：千米）。如果每吨化肥每运1千米要1元的运费。问：
（1）要使运费最省，必须从甲库运多少吨？
（2）最省的总运费是多少？
甲库 北乡 乙库
9．A 、B 两家钢铁公司分别存有钢材1100吨和2000吨。现要用火车从这两家公司把这批钢材分别运送到甲、乙、丙、丁四个城市，支援那里的重点工程建设，这四个城市所需钢材数量依次是100吨、1500吨、400吨和1100吨。A 、B 两家公司与四个城市之间的铁路长（单位：千米）如下表：
10. 沿铁路有5家工厂A ，B ，C ，D ，E （如图），各厂每天都有10吨货物要外运。现在想建一座车站，统一运送货物，要使这5家工厂的货物运到车站的行程总和最小，车站应建在何处？
A B C D E
第24讲 统筹与优化（二）
例1 刘叔叔在星期一、三、五乘公共汽车上下班，星期二、四乘公共汽车上班，
搭朋友的小轿车下班回家。如果刘叔叔乘公共汽车，单程票价是1元，周票是9元，你认为刘叔叔买周票合算还是不买周票合算？为什么？
例2 某车队的大卡车载重量8吨，耗油量是15升；小卡车的载重量是2吨，耗
油量是4升。现要装运100吨的货物，用几辆大卡车和几辆小卡车运输耗油量最少？
例3 甲、乙两厂生产某一规格的上衣和长裤，甲厂每月用16天生产上衣，14
天生产长裤，正好配成448套；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产长裤，正好配成720套。现在两厂合并，每月最多可生产多少套？
例4 甲、乙两位探索者要到沙漠深处探险，他们每天可走30千米，已知每人最
多可带一个人24天的食物和水，如果允许将部分食物存放在途中，那么其中一个人最多可深入沙漠多少千米？
例5 仓库内有一批14米长的钢材，把它们割成3米长和5米长的各50根。如
果不计损耗，最少要从仓库内取出多少钢材？
思考与练习
1、烧一道菜要七道工序，每道工序所需要的时间是：敲蛋1分钟，洗葱切葱2分钟，打蛋3分钟，洗锅2分钟，烧热锅2分钟，烧热油4分钟，炒蛋4分钟。你认为做好这道菜最短的时间是多少？
2、有157吨货物要运到A 地，大卡车每次载重5吨，耗油10升；小卡车每次载重2吨，耗油5升。用大、小卡车各多少辆运输耗油量最少？
3、双休日48名学生去公园划船，每只小船坐3人，租金20元；每只大船坐5人，租金30元。最少要付租金多少元？
4、时新服装厂的工人每人每天可生产8件上衣或14条裤子，一件上衣和一条裤子为一套。现在有154名工人参加生产，每天最多能生产多少套服装？
5、李厂长要把一个紧急通知传达给全厂的975名员工，如果用电话联系，每通知1人需1分钟，而见面一次可通知60人，但需要7分钟。李厂长要在最短的时间里通知完，最少需要多少分钟？
6、一个棱长为3厘米的正方体，一只小虫从一个顶点出发沿棱爬行，如果要求不走重复路线，小虫回到起点的最长路线是多少？
7、把一块面积为108平方厘米的正方形铁皮做成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的五个面的面积和是多少？
8、甲、乙、丙三位探险者要到沙漠深处探险，他们每天可走30千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如果允许将部分食物存放在途中，那么其中一个人最多可深入沙漠多少千米？
9、一只猴子每天吃桃子，如果每天吃的桃子数量互不相同，那么100个桃子最多够这只猴子吃多少天？
10. 某种机床，重庆需要8台，武汉需要6台，正好北京有10台，上海有4台，每台机床的运费如下表：
第28讲 对策问题
例1
有一筐苹果共53个，甲、乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果。规定
谁拿走最后一个苹果，谁获胜。如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略？ 例2
有一个3X3的棋盘以及9张卡片，卡片上分别写有1,3,4,5,6,7,8,9,10
这9个数。甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放到9格中的一格，由甲方计算上、下两行6个数的和；乙方计算左、右两列6个数的和，和数大的一方为胜。试问：甲方如先取一定能胜吗？ 例3
有9张卡片，上面分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9。甲、乙两人轮流取1
张，谁手上的3张卡片数字加起来等于15，谁就取胜。问：保证不败的对策是什么？ 例4
黑板上写有1993个数：2,3,4，„1994。甲、乙两人轮流擦去黑板上的
一个数（甲先擦，乙后擦）。如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必获胜？必胜的对策是什么？
例5 甲、乙两人进行游戏比赛，轮流在黑板上写上不超过10 的非0自然数，
并且规定：不允许写黑板上已写过的数的因数，轮到游戏人无法再写数时，就是输者。现甲先写，乙后写，问：谁必获胜？必胜的对策是什么？
思考与练习
1. 两人轮流报数，规定每次报数都是不超过8的非0自然数，把两人报的数累加起来，谁先得到88，谁就获胜。问：先报数者有无必胜的策略？
2. 两人轮流数数，每人每次可以数1个、2个或3个，但是不能不数，例如，第一个人数1、2，第二个人接着往下数，他可以数3，也可以数3、4，也可以数3、4、5，如此继续。谁数到100，谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？
3. 小红、小民两人进行如下的游戏：取一块大的巧克力，上面有5条横线，9条竖线，这些线将巧克力分成60个小格。小红先沿着一条线将巧克力掰成两块（两块不一定相等），吃掉其中一块，小民再沿着另一条线将剩下的巧克力掰成两块，吃掉其中一块„„这样继续下去，两人轮流掰吃这块巧克力，谁吃到最后一块算输掉。问：小红、小民谁有必胜的策略？
4. 甲、乙两人在长方形桌上放一些大小相同的圆形硬币（不能重叠），甲先放，乙后放。如果一方没有位置可放，另一方就获胜。问：谁能胜，需什么对策？
5. 有两堆棋子，一堆1949枚，一堆2011枚。甲、乙两人轮流从中拿走1枚或几枚甚至一堆全都拿走，但每次只能在某一堆中拿，谁拿走最后一枚算谁胜，甲先拿如何才能取胜？
6. 甲乙两人轮流从1993颗棋子中取走1颗、2颗或3颗，甲先取，乙后取，谁取到最后一颗棋子就是胜利者。问：甲乙两人谁必胜？为了取胜，应采取怎样的策略？
7. 在黑板上写有2n + 1个数：2，3，4，„2n + 1, 2n + 2,甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必胜？必胜的对策是什么？
8. 甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的非0自然数，书写规则是：不允许写黑板上已写过的数的因数，轮到书写人无法再写时就是输者。现甲先写，乙后写，问：谁能获胜？应采取什么对策？
9. 甲、乙两人轮流在1994颗棋子中取走1颗或奇数颗，甲先取，乙后取，取到最后一颗棋子者为胜者。问：甲、乙两人谁能获胜？要获胜的话，应采取什么对策？
10. 甲、乙两人轮流在如右图所示的空格内画符号， 甲画“√”，乙画“×”，规定每人至少画1格，至多画3格；空格画满后计数，哪一方的总数为偶数，哪一方就获胜。如何确保获胜？
第1讲 抽屉原理（一）
例1 六年级有31名学生是在9月份出生的，那么其中至少有2名学生的生日是在同一天。为什么？
例2 在长度为2米的线段上任意点11个点，至少有两个点之间的距离不大于20厘米。为什么？
例3 任意4个自然数，其中至少有2个数的差是3的倍数。这是为什么？
例4 （1）从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102；
（2）从1到100的所有奇数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于102。请说明理由。
例5 下面画出了3行9列共27个小方格，将每一个小方格涂上红色或蓝色。不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？
思考与练习
1、数学兴趣小组有38人，老师至少拿多少本书，随意分给大家，才能保证至少有1名学生能拿到2本书？
2、某小学学生的年龄最大的为13岁，最小的为6岁，至少需要从中挑选多少名同学，就一定能使挑出的同学中有两位同学岁数相同？
3、在100米的路段上植树，至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？
4、任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？
5、从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52。这是为什么？
6、从1,2,3,4, „,10这10个数中，任意取多少个数，可以保证在这些数中一定能找到两个数，使其中一个数是另一个数的倍数？
7、从1,2,3,4, „,12这12个数中，任意取出7个数，其中差等于6的数至少有多少对？
8、有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各两枝，让一位小朋友任意抓两枝，这位小朋友至少抓多少次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同（每抓一次后又放回，再抓另一次）？
9、学校买来历史、文艺、科普三种图书各若干本，每名同学从中任意借两本。那么，至少多少名同学中一定有两人所借图书的种类相同？
10、将一大筐苹果和梨子，分成若干堆。如果要确保找到这样两堆，其中梨子的总数和苹果的总数都是偶数，那么，至少要把这些苹果和梨分成多少堆？
第2讲 抽屉原理（二）
例1 今年入学的一年级新生有181人。这些新生中，至少有多少人是同一个月出生的？
例2 有红、黄、蓝三种不同的玩具各若干个，每名同学从中任意拿2个。至少多少名同学中一定有两名所拿的玩具种类相同？
例3 布袋里有4种不同颜色的小球，每种颜色的球至少2个，每次任意摸出2个，然后再放回去。要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？
例4 某旅游团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地。至少有多少人游览的地方完全相同？
例5 六（2）班的同学参加一次数学考试，全班最高分为100分，全班最低分是75分。已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。那么，六（2）班至少有多少名同学？
思考与练习
1、参加数学竞赛的210名同学中，至少有多少名同学是同一个月出生的？
2、一副扑克牌除大、小王之外，还有52张牌，共分4种花色，每种花色有13张， 从这52张中任意抽牌，至少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？
3、六年级（1）班的40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，其中必有多少名学生是同年同月出生的？
4、有红、黄、蓝、白4色小球各10个，混放在一个暗盒里。一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的？
5、数学爱好者俱乐部有37名同学，他们都订阅了《小学生数学报》、《数学奥林匹克》、《智力》中的一种或几种，那么其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同？
6、 5名同学在一起练习投篮，共投进了41个球，那么至少有一个人至少投进了多少个球？
7、李老师从图书馆借来一批图书分给三（1）班48名同学。分的结果是，他们当中总有人至少分到3本书。这批图书至少有多少本？
8、有规格、尺寸相同的6种颜色的袜子各20双，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证能凑成3双同色的袜子（袜子不分左右脚）？
9、某班同学的语文考试成绩都是整数，其中最高分为95分，最低分为82分。已知全班至少有4人的成绩相同，这个班至少有多少名学生？
10、一个盒子里有同样大小的珠子30颗，其中有10颗红色，8颗白色，7颗黄色，5颗绿色。如果不用眼睛看，那么至少要从盒中摸出多少颗珠子，才能保证一定有7颗珠子颜色相同？
第3讲 二进制计数法
例1：把十进制数53化成二进制数是多少？
例2：把二进制数1111（2）化成十进制数是多少？
例3：计算
（1）11101（2）+10011（2） （2）100110（2）-11011（2）
（3）11101（2）×11（2） （4）1001011（2）÷1111（2）
例4：6灯泡并排安装在台面上，用亮灯 和不亮灯●表示为： ●●●●●„„1 ●●●●●„„2 ●●●●„„3 ●●●●●„„4 ●●●●„„5
●●●表示哪个数？
思考与练习：
1．将下列二进制数化成十进制数。
（1）101010（2） （2）110011（2） （3）101101（2） (4)100001（2）
2．将下列十进制数化成二进制数。
(1)26 (2)31 (3)63
3．计算1001001（2）+10101（2）
4．计算1010011（2）-1110（2）
5．计算101101（2）×1111（2）
(4)45
6．计算 111011001（2）÷1011（2）
7．现有1克、2克、4克、8克、16克的法码各一个，用天平可以称出多少种不同重量的物体？
8．小王是一个粮店的老板，他想将63千克面粉分装成6袋，这样顾客只要来买面粉的重量是63以内的整千克数，小王都可以一下子提给顾客。小王应该怎样分装呢？
9．药店有10瓶药，每瓶中有1000粒药丸，其中有几瓶中的药丸每粒超重10毫克，有没有办法一次称出是哪几瓶有问题？
10． 某弹药库长官，命令士兵将一千发炮弹分成10堆，而且在一旦需要调用1000以内的任何发数的炮弹，只要装载若干堆便能凑出所需炮弹发数。请你为士兵设计一种堆放炮弹的方案。
第5讲 最大与最小（一）
例1．从1—9这9个自然数中选出8个填在下面8个“○”内，使算式的结果尽可能大，这个最大的结果是
［ ○÷○×（○+○）］- （○×○+○-○）
例2．把1.5、
、2.9、4.6分别填入下图中的5 ”内，再在每个3个“ 3个“○”中“△”中。请找出一种填法，使“△”
中的数尽可能大。“△”中的数最大是多少？
例3．从多位数[**************]„„100中划去100个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成的多位数最大。
例4．把19分成若干个自然数的和，如何才能使它们的乘积最大？乘积最大是多少？
例5．已知长方体的长、宽、高均为整厘米数，相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米，求表面积最小的长方体的体积。
思考与练习
1．把20以内的素数分别填入 中（每个素数只用一次）。
+ +
+
使A
为整数，A
最大是多少？
2．在下面的“
”中分别填入
1、
2、
3、
4、
5、6、7、8、9
中的一个数字（同
，使
（1
）
+
的值最小
（2） +
的值最大
3．若连续非0自然数1、2、3„„的乘积的最末13位都是0，其中最大的一个自然数最大是多少？
4．一个三位数除以43，商是a ，余数是b （a ，b 都是自然数），a+b的最大值是多少？
5．先把6.125、8、48、49、50分别填在下图中的5的数最小。
×
6．从多位数[**************]„„484950中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成的多位数最大。这个最大的多位数是多少？
7．长方体所有棱长之和为48厘米，当长方体的长、宽、高分别为多少时，体积最大？
8．如下图，用30米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形养鸡场，长方形的长和宽分别为多少时，长方形养鸡场面积最大？
9．分别在混循环小数3.571064和1.678189的小数点后前六位的某两位上点上循环点，使新产生的两个循环小数的差最大，那么，这两个新循环小数分别是多少？
10．一条汽车路线上共有10个站。一辆汽车从起点站驶往终点站。在始发站上来9名乘客，到第一站下去1名乘客，又上来8名乘客，以后每站下去的乘客比前一站多1名，上来的乘客比前一站少1名。要使每位乘客都有座位，这辆车至少应有多少个座位?
第6讲 最大与最小（二）
例1．一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙和4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能把全部的钥匙和锁一一配对？
例2．一次数学考试的满分是100分，6名同学在这次考试中平均得分是91分，这6名同学的得分互不相同，其中1名同学仅得65分。那么，得分排在第三名的同学至少得多少分（假定6名同学的得分都是整数）？
例3．布袋中有同样大小的球若干个，其中红球10个，黄球20个，白球15个，黑球30个。从布袋中至少摸出多少个球，才能保证摸出的球中必有5个同色的球？从袋中至少摸出多少个球，才能保证摸出的球中一定有4种颜色？
例4．如图所示，有两条垂直相交的线段，AB 、CD ，交点为E 。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB 和CD 上取3个点画三角形。问：怎样取3个点，才能使画出的三角形的面积最大？
D
A E B
C
例5．A ，B 两镇位于河岸同侧，它们到河岸的距离分别为AC ，BD 。现要在岸边CD 上建议水塔给两镇送水，水塔建在何处，才能使水管最省？
思考与练习
1．一道带余除法算式，除数是10，余数最大是多少？
2．一把钥匙只能开一把锁。现在有8把钥匙和8把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？
3．用一个平底锅烙饼，每次只能放两张饼，烙热一张饼需要2分钟（正、反面各需1分钟）。如果烙7张饼，最少需要多少分钟？
4．5个连续非0自然数的和是300，其中最大的那个数是多少？
5．7名同学在一次数学竞赛中共得110分，各人得分互不相同，其中得分最高的是19分，那么第七名的得分至少是多少分（得分均为整数）？
6．从49名学生中选一名班长，甲、乙、丙为候选人。统计37张选票后的结果是：甲得15票，乙得10票，丙得12票。甲至少再得多少张票才能保证以票数最多当选？
7．有形状、长短都完全一样的红色、黑色、白色、黄色、紫色、蓝色筷子各25根。在黑暗中至少应摸出多少根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双（两根同色筷子为一双）？
8．在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？
9．如图所示，在半圆周上任取一点，分别与直径端点A 、B 连接成三角形。试在半圆周上找一点使这一点与A 、B 连成的三角形的面积最大。
B
10．下图所示是一个港湾，港湾内停了M 、N 两艘轮船。根据计划，M 船应先停靠OA 岸，再停靠OB 岸，最后靠到N 船装货。M 船应怎样航行，才能使所行的水路最短（画图表示）？
A
·
M N
B
O
第7讲 逻辑推理
例1、 小赵、小钱、小孙三人，一位是律师，一位是医生，一位是教师。现在只知道：
(1)小孙比教师年龄大。
(2)小赵和医生不同岁。
(3)医生比小钱年龄小。
你能确定谁是律师，谁是医生，谁是教师吗？
例2、 一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯甲、乙、丙、丁，他们的供词如下： 甲说：“不是我偷得。”
乙说：“是甲偷的。”
丙说：“不是我。”
丁说：“是乙偷的。”
他们4人中只有一人说的是真话，你知道谁是小偷吗？
例3、 江波、潘峰、刘荣3位老师共同担任六年级（1）班语文、数学、政治、体育、音乐和美术6门课的老师，每人教两门。现在知道：
（1）政治老师和数学老师是邻居。
（2）潘峰最年轻。
（3）江波喜欢和体育老师、数学老师交谈。
（4）体育老师比语文老师年龄大。
（5）潘峰、音乐老师、语文老师3人经常一起去游泳。
你能说出3人分别教哪两门课吗？
例4、 张同、李想、王冰冰三人分别是六年级（1）班、（2）班、（3）班的学生，他们中有一人喜欢围棋，有一人喜欢象棋，有一人喜欢跳棋，现已知：
（1）张同不喜欢围棋，李想不喜欢象棋；
（2）喜欢围棋的不是（2）班的学生；
（3）（1）班的学生喜欢玩象棋；
（4）李想不是（3）班的学生。
你知道张同、李想、王冰冰各自的爱好和所在的班级吗？
例5、 5个班进行4项环保知识竞赛（每班2名学生参赛），每项比赛每班出1名学生参赛。第一项参赛的是吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王。另外，刘某因故4项均为参加。问：谁和谁是同一个班的？
思考与练习
1、三个好朋友大学毕业后选择了不同的职业，其中有一个当了记者。有一次别人问起他们中谁是记者时，A 说：“我是记者。”B 说：“我不是记者。”C 说：“A 说的是假话。”他们三人中只有一人说了真话，你能猜出谁是记者吗？
2、赵、钱、孙、李四名同学中，有一名同学在体育比赛中获奖，老师问他们谁是获奖者，赵说：“我不是。”钱说：“是李。”孙说：“是钱。”李说：“不是我。”他们中只有一个没有说真话，问：到底是谁获了奖？
3、突然听到一声响，原来我房子的窗玻璃被打碎了，询问院子里的四个孩子，得到的回答是：
A 说：“是B 打破的。”
B 说：“是D 打破的。”
C 说：“不是我打破的。”
D 说：“B 在说谎。”
已知其中只有一个孩子说了真话，且肇事者也是其中的一个人。谁说了真话？谁是肇事者？
4、在一次数学竞赛中，A 、B 、C 、D 、E5名同学分别获得了前5名（无并列名次）。小明问他们各是第几名。
A 说：“第二名是D ，第三名是B 。”
B 说：“第二名是C ，第四名是E 。”
C 说：“第一名是E ，第五名是A 。”
D 说：“第三名是C ，第四名是A 。”
E 说：“第二名是B ，第五名是D 。”
这5名同学每人只说对了一半，请你帮小明猜一猜5名同学的名次。
5、甲、乙、丙3名学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服参加一次宣传活动。已知：
（1）帽子和衣服的颜色只有红、黄、蓝3种；
（2）甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；
（3）戴红帽子的学生没穿蓝衣服；
（4）戴黄帽子的学生穿红衣服；
（5）乙没穿黄衣服。
问：这3人分别戴什么帽子，穿什么衣服？
6. 一天，A 、B 、C 、D 、E5人聚会，由于下雨，每人都带了一把伞，会后各带了一把伞回家，到家后他们发现每个人拿的伞都不是自己的，现已知：
（1）A 拿的不是B 的，也不是D 的；
（2）B 拿的不是C 的，也不是D 的；
（3）C 拿的不是B 的，也不是E 的；
（4）D 拿的不是C 的，也不是E 的；
（5）E 拿的不是A 的，也不是D 的；
而且没有两人之间互相拿错的。问：他们分别拿了谁的雨伞？
7、东东、兰兰、英英读书的学校分别是一小、二小、三小，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但究竟谁爱好哪一项运动、在哪个学校读书还不清楚，只知道；
（1）东东不在一小；
（2）兰兰不在二小；
（3）爱好排球的在二小；
（4）爱好游泳的在一小；
（5）爱好游泳的不是兰兰。
请你根据上面的条件弄清楚他们各自就读的学校和爱好的运动项目。
8、4名运动员分别来自北京、上海、浙江和吉林，在游泳、田径、乒乓球和足球4项运动中，每人只参加了一项，且4人参加的运动项目各不相同，除此以外还知道：
（1）张明是球类运动员，不是南方人；
（2）赵纯是南方人，不是球类运动员；
（3）李勇和北京运动员、乒乓球运动员3人同住一个房间；
（4）郑永不是北京运动员，年龄比吉林运动员和游泳运动员两人的年龄都小；
（5）浙江运动员没有参加游泳比赛。
根据这些条件，请你分析一下，这4名运动员分别来自什么地方，各参加什么运动？
9、有2010人聚会，其中至少有一个人说假话，这2010人里任意两人中总有一人说真话。问：说真话的有多少人？说假话的有多少人？
10、甲、乙、丙、丁4人比赛乒乓球，每两人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同。问：丁胜了几场？
第8讲 综合推理
例1. 有8个球，编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻的球，用天平称了3次，结果如下：
第一次：①+②比③+④重；
第二次：⑤+⑥比⑦+⑧重；
第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。
那么，是哪两个球轻呢？
例2. 某楼住着4个女孩和2个男孩。他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也大4岁。最大的男孩几岁？
例3. 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙3个队，每名选手都与其余9名选手各赛1局，每局棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分。结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分。那么，甲、乙、丙3队参加比赛的选手人数各是多少？
1例4. 有一位逝世多年的学者，逝世时的年龄是他出生年份数的，这位学者在30
1960年主持学术会议时是多少岁？
例5. 甲、乙、丙3名运动员进行A 、B 、C 、D 、E 5项比赛，获得第一名、第二名、第三名，各项比赛无并列名次。已知甲得22分，乙得9分，丙得9分，又已知乙得了一个第一名。试说出每个人的名次情况。
思考与练习
1、某年的8月份有4个星期四，5个星期三。这年8月8日是星期几？
2、甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲有糖的粒数是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲有糖的粒数是乙的3倍。甲、乙两个小朋友共有多少粒糖？
3、 如图所示，每个正方形的6个面上分别写着数字1-6，并且任意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于7。把这样的5个正方形一个挨着一个连接起来后，紧挨着的两个面上数字之和都等于8。图中打“？”的这个面上所写的数字是多少？
4、 小黄的手机号码最后五位数是由五个不同的数字组成的。甲猜：“35761”。乙猜：“74058”。丙猜：“49780”。小黄说：“你们都猜对了位置不相邻的两个数字。”这个手机号码的最后五位数是多少呢？
5、 将1-8这8个自然数分成A 、B 两组，每组4个数，并使两组数之和相等。从A 组拿一个数到B 组后，B 组的数之和将是A 组剩下3个数之和的2倍；从
5B 组拿一个数到A 组后，B 组剩下3个数的和是A 组5个数之和的。这8个7
数应怎样分组？
6、 共有4个人进行跳远、100米跑、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分。已知每一单项比赛中4人得分互不相同；部分第一名的人共获17分，他的跳高得分低于其他项得分；总分第三名的人共获11分，他的跳高得分低于其他项得分。获总分第二名的铅球得多少分？
7、 张教授连续做了若干个小时的实验。开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针和分针重合。已知这个挂钟只在整点报时，几点就报几个，整个实验过程中挂钟共敲了39下。问：
（1）、张教授的实验共做了几小时？
（2）、做完实验时，挂钟敲了几下？
8、 六年级3个班参加运动会。运动会上举行跳高、跳远和百米赛跑3项比赛，各取前3名，第一名得5分，第二名得3分，第三名得1分。已知（1）班进入前3名的人数最少，（2）班进入前3名的人数是（1）班的2倍，而且这两个班所得总分相等，并列年级组的第一名。（3）班得了多少分？
9、某班44人，从A 、B 、C 、D 、E 5位候选人中选举班长，A 得23票，B 的票数占第二位，C 、D 得票相同，E 选票最少，得4票，那么B 得选票几张？
10、 在一次射击练习中，小张、小王、小李各打了4发子弹，全部中靶。命中情况如下：
（1） 每人4发子弹所命中的环数各不相同；
（2） 每人4发子弹所命中的总环数均为17环；
（3） 小王有两发命中的环数分别与小张命中的两发一样，小王另两发命中
的环数与小李命中的两发一样；
（4） 小张和小李只有一发命中的环数相同；
（5） 每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
问：小张和小李命中的相同环数是几环？
第23讲 统筹与优化（一）
例1 一只平底锅上只能同时煎两只饼。用它煎1只饼需要2分钟（正、反面各1分钟）。问：煎3只饼需几分钟？怎样煎？
例2 6个人各拿一只水桶到水龙头接水。水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问：怎样安排这6个人的接水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？
例3 小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭。她准备做米饭和炒鸡蛋。小红家有两个炉灶。她估计了一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。你认为经过合理的安排后，只要多少分钟就能做好饭菜？
例4 如下图，在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。1号仓库存有10吨货物，2号仓库存有20吨货物，5号仓库存有40吨货物，其中两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1千米要0.5元运输费，那么最少要花费多少元运费才行？
10吨 20吨 40吨
例5 工地上有手推车20辆，其中10辆从A 1运垃圾到B 1，要60次运完，另外10辆从A 2运砖头到B 2，要40车次运完。工地上的可行道路及路程如图（单位：米）有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。那么，怎样安排才算合理呢？
A 2360
240 2
B 1300 1
思考与练习
1. 有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯，不许倒掉水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？
2. 公司经理通知甲、乙、丙三人同时去办公室谈话，甲谈完要10分钟，乙谈完要12分钟，丙谈完要5分钟。怎样安排这三人的谈话顺序，才能使三人一共花的时间最少？最少要花多少时间？
3. 理发室有甲、乙两位理发师，同时来了5位顾客，根据顾客所要理的发型，分别需要10分钟、12分钟、15分钟，20分钟和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这5个人的理发及等候所用时间的和最少？最少要花多少时间？
4. 甲、乙两村相距10千米，要在两村之间建一所联合小学。甲村有60人上学，乙村有40人上学。那么学校应该建在什么地方，才能使这100名学生每天上学的总行程最短？
5. 妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要1分钟，烧开水要15分钟，洗茶壶要1分钟，拿茶叶要2分钟。为了使客人能早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
6. 在一条公路上有四家工厂，相邻的每两家工厂距离相等（如图所示）。现在要在这条公路上设一车站，使得这四家工厂的所有工人步行到车站的总路程最少，这个车站应设在几号工厂门口？
100人 120人 80人 215人
7. 小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需2分钟，丙牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？
8. 甲、乙两个仓库各有100吨化肥。春耕生产时，北乡要60吨化肥，南乡要80吨化肥。两个仓库到两乡的路程如右图所示（单位：千米）。如果每吨化肥每运1千米要1元的运费。问：
（1）要使运费最省，必须从甲库运多少吨？
（2）最省的总运费是多少？
甲库 北乡 乙库
9．A 、B 两家钢铁公司分别存有钢材1100吨和2000吨。现要用火车从这两家公司把这批钢材分别运送到甲、乙、丙、丁四个城市，支援那里的重点工程建设，这四个城市所需钢材数量依次是100吨、1500吨、400吨和1100吨。A 、B 两家公司与四个城市之间的铁路长（单位：千米）如下表：
10. 沿铁路有5家工厂A ，B ，C ，D ，E （如图），各厂每天都有10吨货物要外运。现在想建一座车站，统一运送货物，要使这5家工厂的货物运到车站的行程总和最小，车站应建在何处？
A B C D E
第24讲 统筹与优化（二）
例1 刘叔叔在星期一、三、五乘公共汽车上下班，星期二、四乘公共汽车上班，
搭朋友的小轿车下班回家。如果刘叔叔乘公共汽车，单程票价是1元，周票是9元，你认为刘叔叔买周票合算还是不买周票合算？为什么？
例2 某车队的大卡车载重量8吨，耗油量是15升；小卡车的载重量是2吨，耗
油量是4升。现要装运100吨的货物，用几辆大卡车和几辆小卡车运输耗油量最少？
例3 甲、乙两厂生产某一规格的上衣和长裤，甲厂每月用16天生产上衣，14
天生产长裤，正好配成448套；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产长裤，正好配成720套。现在两厂合并，每月最多可生产多少套？
例4 甲、乙两位探索者要到沙漠深处探险，他们每天可走30千米，已知每人最
多可带一个人24天的食物和水，如果允许将部分食物存放在途中，那么其中一个人最多可深入沙漠多少千米？
例5 仓库内有一批14米长的钢材，把它们割成3米长和5米长的各50根。如
果不计损耗，最少要从仓库内取出多少钢材？
思考与练习
1、烧一道菜要七道工序，每道工序所需要的时间是：敲蛋1分钟，洗葱切葱2分钟，打蛋3分钟，洗锅2分钟，烧热锅2分钟，烧热油4分钟，炒蛋4分钟。你认为做好这道菜最短的时间是多少？
2、有157吨货物要运到A 地，大卡车每次载重5吨，耗油10升；小卡车每次载重2吨，耗油5升。用大、小卡车各多少辆运输耗油量最少？
3、双休日48名学生去公园划船，每只小船坐3人，租金20元；每只大船坐5人，租金30元。最少要付租金多少元？
4、时新服装厂的工人每人每天可生产8件上衣或14条裤子，一件上衣和一条裤子为一套。现在有154名工人参加生产，每天最多能生产多少套服装？
5、李厂长要把一个紧急通知传达给全厂的975名员工，如果用电话联系，每通知1人需1分钟，而见面一次可通知60人，但需要7分钟。李厂长要在最短的时间里通知完，最少需要多少分钟？
6、一个棱长为3厘米的正方体，一只小虫从一个顶点出发沿棱爬行，如果要求不走重复路线，小虫回到起点的最长路线是多少？
7、把一块面积为108平方厘米的正方形铁皮做成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的五个面的面积和是多少？
8、甲、乙、丙三位探险者要到沙漠深处探险，他们每天可走30千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如果允许将部分食物存放在途中，那么其中一个人最多可深入沙漠多少千米？
9、一只猴子每天吃桃子，如果每天吃的桃子数量互不相同，那么100个桃子最多够这只猴子吃多少天？
10. 某种机床，重庆需要8台，武汉需要6台，正好北京有10台，上海有4台，每台机床的运费如下表：
第28讲 对策问题
例1
有一筐苹果共53个，甲、乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果。规定
谁拿走最后一个苹果，谁获胜。如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略？ 例2
有一个3X3的棋盘以及9张卡片，卡片上分别写有1,3,4,5,6,7,8,9,10
这9个数。甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放到9格中的一格，由甲方计算上、下两行6个数的和；乙方计算左、右两列6个数的和，和数大的一方为胜。试问：甲方如先取一定能胜吗？ 例3
有9张卡片，上面分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9。甲、乙两人轮流取1
张，谁手上的3张卡片数字加起来等于15，谁就取胜。问：保证不败的对策是什么？ 例4
黑板上写有1993个数：2,3,4，„1994。甲、乙两人轮流擦去黑板上的
一个数（甲先擦，乙后擦）。如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必获胜？必胜的对策是什么？
例5 甲、乙两人进行游戏比赛，轮流在黑板上写上不超过10 的非0自然数，
并且规定：不允许写黑板上已写过的数的因数，轮到游戏人无法再写数时，就是输者。现甲先写，乙后写，问：谁必获胜？必胜的对策是什么？
思考与练习
1. 两人轮流报数，规定每次报数都是不超过8的非0自然数，把两人报的数累加起来，谁先得到88，谁就获胜。问：先报数者有无必胜的策略？
2. 两人轮流数数，每人每次可以数1个、2个或3个，但是不能不数，例如，第一个人数1、2，第二个人接着往下数，他可以数3，也可以数3、4，也可以数3、4、5，如此继续。谁数到100，谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？
3. 小红、小民两人进行如下的游戏：取一块大的巧克力，上面有5条横线，9条竖线，这些线将巧克力分成60个小格。小红先沿着一条线将巧克力掰成两块（两块不一定相等），吃掉其中一块，小民再沿着另一条线将剩下的巧克力掰成两块，吃掉其中一块„„这样继续下去，两人轮流掰吃这块巧克力，谁吃到最后一块算输掉。问：小红、小民谁有必胜的策略？
4. 甲、乙两人在长方形桌上放一些大小相同的圆形硬币（不能重叠），甲先放，乙后放。如果一方没有位置可放，另一方就获胜。问：谁能胜，需什么对策？
5. 有两堆棋子，一堆1949枚，一堆2011枚。甲、乙两人轮流从中拿走1枚或几枚甚至一堆全都拿走，但每次只能在某一堆中拿，谁拿走最后一枚算谁胜，甲先拿如何才能取胜？
6. 甲乙两人轮流从1993颗棋子中取走1颗、2颗或3颗，甲先取，乙后取，谁取到最后一颗棋子就是胜利者。问：甲乙两人谁必胜？为了取胜，应采取怎样的策略？
7. 在黑板上写有2n + 1个数：2，3，4，„2n + 1, 2n + 2,甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必胜？必胜的对策是什么？
8. 甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的非0自然数，书写规则是：不允许写黑板上已写过的数的因数，轮到书写人无法再写时就是输者。现甲先写，乙后写，问：谁能获胜？应采取什么对策？
9. 甲、乙两人轮流在1994颗棋子中取走1颗或奇数颗，甲先取，乙后取，取到最后一颗棋子者为胜者。问：甲、乙两人谁能获胜？要获胜的话，应采取什么对策？
10. 甲、乙两人轮流在如右图所示的空格内画符号， 甲画“√”，乙画“×”，规定每人至少画1格，至多画3格；空格画满后计数，哪一方的总数为偶数，哪一方就获胜。如何确保获胜？