参数方程的应用
在数学解题方法中，参数法是给人印象最深的一种，对参数方程中参数的几何意义和物理意义的了我解，是正确选取参数的前提，正确的选取参数，往往能使得一些看似复杂的问题，变得简单。
一、利用参数方程求点的坐标
例1、已知直线1经过点P （1，2），且倾斜角为 ，求直线1上到点P 的距离为 的点的坐标。
分析：写出1的参数方程之后，要求点的坐标，关键在于对参数t 的几何意义的了解。
解：直线1的参数方程为
x=1+tCos x=1+ t （t 为参数） y=2+tStn 即 y=2+ t
在直线1上到点P 的距离为 的点所对应的参数t 满足|t|= 即t=± ，代入1的参数方程，得 或 。 所以，所求点的坐标为（3，4）和（-1，0）
例2、已知P 为圆x +y-6x-8y+21=0上一点，且A （-1，0），B （1，0），求使|AP|+|BP|为最小值的点P 的坐标（x,y ）。 分析：将圆配方，(x-3)+(y-4)=4,圆上动点P 用参数形式给出，可使问题简化。
222222
解：配方，得（x-3）+(y-4)=4
圆的参数方程为
设P(3+2cosθ，4+2sinθ) 为圆上任意一点，
则|AP|+|BP|=(3+2cosθ+1)+(4+2sinθ) +
(3+2cosθ-1)2+(4+2sinθ)2=60+8(3cosθ+4sinθ)
=60+40sin((θ+φ)(其中：φ=arctan )
当sin(θ+φ)=-1时，|AP|+|BP|=取得最小值20。
此时，θ+φ= , θ= -φ
∴cos θ=-sinφ=- ,sinθ=-cosθ=-
∴所求点P 坐标为（ ， ）
一、利用参数方程求长度
例3、已知椭圆 + =1，和点P （2，1），过P 作椭圆的弦，使P 是弦的中点，求弦长。
x=2+tcosθ 解：设弦所在的直线方程为：
（t y=1+tsinθ
22222222为参数）
代入椭圆方程，得(2+tcosθ) +4(1+tsinθ) =16
化简：得(cosθ+4sinθ) +4(cosθ+2sinθ)-8=0
P 为中点，
弦长= 22222
=
例4、已知两圆x +y=9和（x-3）+y=27,求大圆被小圆截得劣弧的长度。
分析：两圆交于A 、B 两点，大圆圆心（3，0），要求出大圆被小圆截得劣弧的长，就要设法找出的大小，又由两圆对称性可知，只要找出A C与x 轴正向夹我有即可。
解：设A 点的坐标为
根据两圆的对称性可设（3+3 cosa，3 sina）。
根据两圆的对称性可设≤a ≤π，A 也在小圆在，则有（3+3 cosa ）+(3 sina)=9
即18 cosa=-27,cosa=-
于是，a= ，∠ACB=
大圆被小圆截得劣弧长为 × = π
二、利用参数方程求最值
例5、已知椭圆方程为 ，求它的内接矩形的面积的最大值，
x=acosθ
y=btsinθ θ解：椭圆参数方程为
222222为参数)
设椭圆内接矩形的一个顶点为(acosθ,bsin θ) (θ为锐角) 则矩形面积S=4acosθ·bsin θ=2absin2θ≤2ab
∴S max =2ab
例6、如图，已知点P 在圆上x +(y-2)= 上移动，点Q 在椭圆x +4y=4上移动，求|pQ|的最大值。
解：|pQ|≤|PO′|+|O′Q|= +|O′Q|
设Q(2cosa,sina)，而O ′（0,2）
则|O′Q|=4cosa+（sina-2）
=-3（sina+ ）+
∴|O′Q|≤ ∴|pQ|≤
∴|pQ|≤的最大值是
四、利用参数方程求轨迹
例7，已知抛物线y =x+1，定点A(3，1) ，B 为抛物线上任意一点，点p 在线段AB 上，且有BP ：PA=1：2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程。
分析：设点p 的坐标为(x，y) ，点B 的坐标为（x 0+y0），由于AP ：BP=2：1，得x= ，y=
即x 0= ，y 0=
由于B(x0，y 0) 的抛物线y =x+1上，或y 0= x0+1
将②代入③，得( )= +1
化简得3 y-2x-2y+1=0
即x= y-y+
即x= y2 2222222222 2222，此轨迹为抛物线。
例8，∠MON=60°，边长为a 的正三角形APB 在∠MON
内滑动，
使得A 始终在OM 上，且O 、P 两点在AB 两侧，求P 点的轨迹方程。
分析建立坐标系后，根据已知条件可知P 的位置由∠PBN 的变化决定，设∠PBN=θ，θ为参数，只需批出P 的坐标（x ，y ）与θ的关系式，可以得出P 点的轨迹的参数方程，参数可分为普遍方程。
解：如图建立起直角坐标系，设P （x ，y ），/PBN=θ，θ为参数，且0≤θ≤
∵∠AOB=∠AVP= ∴∠OAB=∠PBN=0
在△OB 中，∵ ，∴OB=
x=OB+acosθ= asin θ+acosθ
y=asinθ
222 消去θ得（x- y）+ y=a
即3x -4 xy+7y-3a =0 222
而x= asin(θ+actan )(其中0≤θ≤ ) 则
arctan ≤θ+arctan ≤
+arctan
∴ ≤sin(θ+arctan )≤1
∴ ≤x ≤ a
所求轨迹方程为3x-4 xy+7y-3a =0，其中x ∈[ , a] 以上几例说明，利用参数方程求解，只要参数选取恰当，就能起到事半功成之效，因此，应重视参数方程的应用。 22
参数方程的应用
在数学解题方法中，参数法是给人印象最深的一种，对参数方程中参数的几何意义和物理意义的了我解，是正确选取参数的前提，正确的选取参数，往往能使得一些看似复杂的问题，变得简单。
一、利用参数方程求点的坐标
例1、已知直线1经过点P （1，2），且倾斜角为 ，求直线1上到点P 的距离为 的点的坐标。
分析：写出1的参数方程之后，要求点的坐标，关键在于对参数t 的几何意义的了解。
解：直线1的参数方程为
x=1+tCos x=1+ t （t 为参数） y=2+tStn 即 y=2+ t
在直线1上到点P 的距离为 的点所对应的参数t 满足|t|= 即t=± ，代入1的参数方程，得 或 。 所以，所求点的坐标为（3，4）和（-1，0）
例2、已知P 为圆x +y-6x-8y+21=0上一点，且A （-1，0），B （1，0），求使|AP|+|BP|为最小值的点P 的坐标（x,y ）。 分析：将圆配方，(x-3)+(y-4)=4,圆上动点P 用参数形式给出，可使问题简化。
222222
解：配方，得（x-3）+(y-4)=4
圆的参数方程为
设P(3+2cosθ，4+2sinθ) 为圆上任意一点，
则|AP|+|BP|=(3+2cosθ+1)+(4+2sinθ) +
(3+2cosθ-1)2+(4+2sinθ)2=60+8(3cosθ+4sinθ)
=60+40sin((θ+φ)(其中：φ=arctan )
当sin(θ+φ)=-1时，|AP|+|BP|=取得最小值20。
此时，θ+φ= , θ= -φ
∴cos θ=-sinφ=- ,sinθ=-cosθ=-
∴所求点P 坐标为（ ， ）
一、利用参数方程求长度
例3、已知椭圆 + =1，和点P （2，1），过P 作椭圆的弦，使P 是弦的中点，求弦长。
x=2+tcosθ 解：设弦所在的直线方程为：
（t y=1+tsinθ
22222222为参数）
代入椭圆方程，得(2+tcosθ) +4(1+tsinθ) =16
化简：得(cosθ+4sinθ) +4(cosθ+2sinθ)-8=0
P 为中点，
弦长= 22222
=
例4、已知两圆x +y=9和（x-3）+y=27,求大圆被小圆截得劣弧的长度。
分析：两圆交于A 、B 两点，大圆圆心（3，0），要求出大圆被小圆截得劣弧的长，就要设法找出的大小，又由两圆对称性可知，只要找出A C与x 轴正向夹我有即可。
解：设A 点的坐标为
根据两圆的对称性可设（3+3 cosa，3 sina）。
根据两圆的对称性可设≤a ≤π，A 也在小圆在，则有（3+3 cosa ）+(3 sina)=9
即18 cosa=-27,cosa=-
于是，a= ，∠ACB=
大圆被小圆截得劣弧长为 × = π
二、利用参数方程求最值
例5、已知椭圆方程为 ，求它的内接矩形的面积的最大值，
x=acosθ
y=btsinθ θ解：椭圆参数方程为
222222为参数)
设椭圆内接矩形的一个顶点为(acosθ,bsin θ) (θ为锐角) 则矩形面积S=4acosθ·bsin θ=2absin2θ≤2ab
∴S max =2ab
例6、如图，已知点P 在圆上x +(y-2)= 上移动，点Q 在椭圆x +4y=4上移动，求|pQ|的最大值。
解：|pQ|≤|PO′|+|O′Q|= +|O′Q|
设Q(2cosa,sina)，而O ′（0,2）
则|O′Q|=4cosa+（sina-2）
=-3（sina+ ）+
∴|O′Q|≤ ∴|pQ|≤
∴|pQ|≤的最大值是
四、利用参数方程求轨迹
例7，已知抛物线y =x+1，定点A(3，1) ，B 为抛物线上任意一点，点p 在线段AB 上，且有BP ：PA=1：2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程。
分析：设点p 的坐标为(x，y) ，点B 的坐标为（x 0+y0），由于AP ：BP=2：1，得x= ，y=
即x 0= ，y 0=
由于B(x0，y 0) 的抛物线y =x+1上，或y 0= x0+1
将②代入③，得( )= +1
化简得3 y-2x-2y+1=0
即x= y-y+
即x= y2 2222222222 2222，此轨迹为抛物线。
例8，∠MON=60°，边长为a 的正三角形APB 在∠MON
内滑动，
使得A 始终在OM 上，且O 、P 两点在AB 两侧，求P 点的轨迹方程。
分析建立坐标系后，根据已知条件可知P 的位置由∠PBN 的变化决定，设∠PBN=θ，θ为参数，只需批出P 的坐标（x ，y ）与θ的关系式，可以得出P 点的轨迹的参数方程，参数可分为普遍方程。
解：如图建立起直角坐标系，设P （x ，y ），/PBN=θ，θ为参数，且0≤θ≤
∵∠AOB=∠AVP= ∴∠OAB=∠PBN=0
在△OB 中，∵ ，∴OB=
x=OB+acosθ= asin θ+acosθ
y=asinθ
222 消去θ得（x- y）+ y=a
即3x -4 xy+7y-3a =0 222
而x= asin(θ+actan )(其中0≤θ≤ ) 则
arctan ≤θ+arctan ≤
+arctan
∴ ≤sin(θ+arctan )≤1
∴ ≤x ≤ a
所求轨迹方程为3x-4 xy+7y-3a =0，其中x ∈[ , a] 以上几例说明，利用参数方程求解，只要参数选取恰当，就能起到事半功成之效，因此，应重视参数方程的应用。 22