http://www.paper.edu.cn
高一博，罗小兵，黄素逸，刘君
华中科技大学能源学院工程热物理实验室，武汉（430074）
E-mail: gaohustht@gmail.com
摘要：翅片散热是目前电子元器件冷却最常见的方式。本文通过计算模型优化设计水平放置的翅片散热器，以实现最大散热量和最少耗材为目标，对翅片高度、厚度和间距等进行优化分析。在计算过程中，翅片的换热系数的计算最为困难。许多情况下，由于两个相临翅片的边界层互相重合，使得求解边界层方程异常困难。因此借助实验关联式并依靠计算机进行迭代计算非等温翅片表面达到稳态，即均匀热流时的对流换热系数相对简单。利用编写的程序，以几个实例开展计算，结果表明：翅片间距与高度的比值对散热器平均对流换热系数的影响较大。通过计算，在文章最后的表格中得出了最少耗材和最小空间体积时散热器的尺寸。 关键词：散热器；自然对流；对流换热系数；最少耗材；翅片尺寸；优化 中图分类号：TK
1. 引 言
随着电子器件集成度的提高，散热量也呈几何式增长，为了保证电子设备可靠工作，热设计越来越重要。目前，仅靠封装外壳的散热无法满足散热要求，一般采用翅片散热器来增大电子器件与环境的有效接触面积来强化换热，因此翅片散热器的设计越来越得到重视。
翅片散热器是一种在电子器件中使用范围比较广的散热器，换热方式为与空气进行对流换热。按照引起流动的原因而论，可分为自然对流和强迫对流。自然对流的表面传热系数虽然比较低（
优化过程根据实验关联式通过迭代计算（牛顿迭代公式）表面传热系数，利用自己编写的程序计算翅片散热器的相关参量。程序针对的实际问题是，如何在散热量为110W 的情况下，基板尺寸分别为250×250mm，300×300mm，350×350mm 时，分别设计出相应的翅片散热器，使得耗材最少或者空间体积最小。并且在基板尺寸为300×300mm，基板下表面温度和环境温度一定的情况下，计算不同的翅片高度、厚度和间距时相应的散热器换热系数、散热量和耗材，从而对散热器的设计提出优化建议。
因为铝具有价格低、质量轻和高导热系数等特点，故翅片散热器制造材料广泛使用铝[4]。同时考虑到散热器的制造和强度因素，翅片尺寸的范围是：厚度1~3mm，间距1~15mm，高度25~50mm。假设散热器基板下表面温度恒定为65℃，环境温度为35℃。
2. 假 设
⑴ 沿翅片长度方向无温度变化，温度变化只发生在沿翅片高度方向；
⑵ 翅片端部绝热；
⑶ 翅片材料各向同性且热物理性质为常数；
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⑸ 无接触热阻和扩散热阻；
=⑹ 散热器基板下表面和未被翅片覆盖的上表面温度均匀；
⑺ 整个分析过程是在翅片达到稳态，即热平衡的情况下进行的。
3. 模 型 介 绍
电子器件在工作过程中产生的热量必须通过散热器迅速散发到环境（在此为空气）中，以免结温过高而烧毁电子器件。在此模型中，电子器件即热源产生的热量先传导至散热器基板下表面；然后热量经过基板传导至上表面和翅片；基板上表面和翅片与环境进行对流换热，最终将电子器件产生的热量散发到环境中[5]。
3.1 参数说明：
A bp 基板上表面未被覆盖部分面积m 2A fin 单个翅片表面积m 2A hs 散热器的表面积m 2
C p 空气的比热容 J/kg-K Gr Grashof 数 Gr=g βθδ3/ν2H 翅片高度 m
L 翅片长度（基板长度） m g 重力加速度 m/s2
h fin 翅片的对流换热系数W/ m2-K h bp 两翅片间基板部分对流换热系数
W/ m2-K
h fin 翅片平均对流换热系数W/ m2-K h a 散热器面积换热系数W/ m2-K h m 散热器质量换热系数W/kg-K h v 散热器体积换热系数W/m3-K k fin 散热器材料的导热系数 W/m-K k f 空气导热系数 W/m-K m 翅片参数 (hP/kA)1/2 m-1n 翅片总数量 Nu Nusselt 数 Pr Prandtl 数
P fin 单个翅片周长 m
Q T 散热器要求达到的散热量 W
基板上表面未被翅片覆盖的部分与空气的换热量W
Q fin 单个翅片散热量 W Q fins 所有翅片的散热量W Q hs 散热器的总散热量 Ra Raleigh Ra=GrPr s 翅片间距 m t 翅片厚度 m t b 基板厚度 m
T bl 基板下表面温度 ℃ T bp 基板上表面温度 ℃ T sur 环境温度 ℃
V fin 单个翅片体积m 3 V fins 翅片阵列的总体积m 3 V hs 散热器所占空间m 3V m 基板体积m 3
W 翅片阵列的宽度（基板宽度） m mass 散热器耗材 kg β 体膨胀系数 1/K θ 过余温度 K ν 空气运动黏度m 2/s ρ 翅片材料密度 kg/m3δ 特征尺寸 m
Q bp
3.2 基本公式
两翅片间基板面积 单个翅片表面积 散热器的表面积 单个翅片体积 基板体积 散热量
散热器空间体积
A bp =s·L
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
A fin =2(H·t+L·H+L·t/2) A hs =(n-1) ·A bp +n·A fin V fin =H·L ·t V m =L·W ·t b Q=h·A ·θ
V hs =L·W ·(tb +H)
散热器耗材 mass(Vm +n·V fin ) ρ 散热器面积换热系数 h a =Qhs /(Ahs ·θb ) 散热器质量换热系数 h m =Q hs /(mass·θb ) 散热器体积换热系数 h v =Qhs /(Vhs ·θb )
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(a)
(b)
(c)
图1 翅片散热器——(a)立体示意图，(b)主视图，(c)俯视图
3.3 换热方式
电子器件产生的热量通过散热器以自然对流的方式与空气进行热交换，其中散热器与环境的换热量分为两部分（忽略辐射换热效果）： 3.3.1
基板上表面未被翅片覆盖的部分与环境的自然对流换热量Q bp
① 翅片间距与高度之比小于0.28时，作为受限空间自然对流处理。以封闭腔高度为特征
尺度的Ra, 若式(14)中方括号内的值为负，则取为0。对Ra
(12) (13) (14)
Nu bp =1+1.44·[1-1708/Rabp ]+[(Rabp /5830) 1/3-1][6]
② 翅片间距与高度之比大于0.28时，可以作为大空间自然对流处理[7]。特征尺寸为
(s+L)/2。
Gr bp =g·β·θbp ·((s+L)/2)3/νbp 2
(15) (16) (17) (18) (19) (20)
当Ra bp
当2×104
翅片群与环境的自然对流换热量Q fins
⑴ 当翅片间距与高度之比大于0.28时，可以作为大空间自然对流处理。此时特征尺寸取
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Gr fin =g·β·(Qfin /(2·H ·L)) ·H 4/( kf ·ν2) Ra fin = Grfin ·Pr fin
(21) (22) (23)
Nu fin =0.6·Ra fin 1/5 [9]
⑵ 当翅片间距与高度之比小于0.28时，作为受限空间自然对流处理。关于特征尺寸的选
取：因为翅片表面的温度不均匀，故用热流密度取代温差计算Gr ，温差应该是翅片与环境的温差，此时两翅片之间温度最低的地方恰好是正中间，即翅片间距的一半s/2。 =
① 当Ra fin
(25) (26) (27) (28)
单个翅片与环境的自然对流换热量Q fin =kfin ·A c ·θbp ·m ·tanh(m·H) 故总散热量Q hs = Qbp +n·Q fin
4. 优化思想和方法
4.1 求解翅片对流换热系数
散热器的翅片表面是非等温的，但是当散热器达到稳态工况，即翅片表面温度不随时间发生变化，此时每个翅片表面的热流为常数并相等。故可认为通过翅片的热流只是h fin 的
=
函数，通过一系列实验关联式可得， Q fin =f (hfin )
(29) (30) (31)
其反函数为, hfin =f -1(Qfin ) 构造新函数g(h)=h-hfin
其中h 为真实值，根据牛顿迭代公式，
φ(x)x- f(x)/ f’(x) (32) 并设置迭代精度[11]，迭代收敛后即得到翅片的对流换热系数h fin 。
4.2 优化思想
在其它参数已经确定的情况下，需要优化的散热器尺寸参数只有三个：翅片高度H ，翅片厚度t 和翅片间距s 。因为关于翅片对流换热系数h 的迭代函数中含有tanh (双曲正切) 而使得迭代公式成为超越方程，分别对H 、t 和s 求偏微分后，表达式更为复杂，无法用Lagrange 乘数法求条件极值。所以将H 、t 和s 的值离散成不连续的点，并设定H 的步长为1，t 和s 的步长为0.1，利用程序的循环结构建立一个矩阵来存储这些点的数据和对应的对流换热系数h 。最后根据程序计算出的值绘制各散热器性能参数关于尺寸的函数图象。根据得到的图象和数据判断满足散热器额定换热量和最小耗材时的H 、t 和s 。散热器设计优化方法如图2所示
- 4 -
图2 散热器设计优化方法
4. 3 优化过程
已经设定的各参数如下：
工作温度：环境温度为35℃，散热器基板下表面温度（结温）为65℃； 基板尺寸：基板厚度为10mm ，长宽为300×300mm；
散热器材料物性为：密度为2700 kg/m3，导热系数为200 W/m-K；
空气的热物理性质由参考文献[9]中附录5——干空气的热物理性质(p=1.01325×105Pa) 在0～100℃内线性插值求出。 环境的重力加速度为9.8m/s2。
观察翅在上述参数已确定的情况下，可认为散热器的性能参数只是翅片尺寸的函数。片高度H ，厚度t 和间距s ，其中一个量为常数，其它两个量为自由变量时对散热器的换热系数h a , hm ，hv , 散热器的换热量Q hs 和散热器耗材mass 的影响。
通过程序计算的各函数图象如图3～图8所示，
- 5 -
3.1 翅片间距10mm，翅片高度25～50mm，翅片厚度1～3
mm
图3 散热器平均换热系数随H 和t 的变化图(s=10, 25≤H≤50，1≤t≤3;)
图4 散热器换热量和耗材随H 和t 的变化图(s=10, 25≤H≤50，1≤t≤3; )
显然h a ,h m 和h v 在H=35即s/H>0.28处突然增加，说明：
⑴ 翅片与环境换热占主要部分，因此翅片的对流换热对散热器面积换热系数远h a 的影响
远超过基板对流换热的影响；
⑵ 大空间自然对流换热时的平均换热系数远远高于受限空间；
⑶ 散热器与环境的换热量在大空间自然对流换热时，受翅片高度的影响很小，并随翅片
厚度的减小而出现小波浪式增长，但在翅片厚度1~1.5mm范围内几乎没有变化，考虑到耗材随H 和t 的变化趋势，选择满足散热条件时尽可能薄和低的翅片，可节省材料。
- 6 -
.2 翅片厚度1mm，翅片高度25～50mm，翅片间距1～15
mm
图5 散热器平均换热系数随H 和s 的变化图(t=1, 25≤H≤50，1≤s≤15;)
图6 散热器换热量和耗材随H 和s 的变化图(t=1, 25≤H≤50，1≤s≤15;)
⑴ 与4.3.1中分析结果相似，ha ,h m 和h v 在s/H>0.28处突然增加，再次证明了大空间自然
对流的平均对流换热系数较高；
⑵ 与4.3.1中不同的是，在s很小的时候，即s=1~3mm之间时，质量换热系数hm 和体积换热系
数hv 较大，甚至超过了大空间自然对流时的情况。出现这一现象的原因是，翅片密集导致Ra
- 7 -
从mass=f(H, s)图中可以看出，较小的s 对应
翅片高度时，s=1对应的翅片耗材是s=15时的3倍左右。所以从降低散热器制造成本的角度考虑，为了满足散热条件，尽可能采用大空间自然对流，即相对较大的翅片间距比较合适。 .3
翅片高度
图7 散热器平均换热系数随t 和s 的变化图(H=35, 1≤t≤3，1≤s≤15;)
图8 散热器换热量和耗材随t 和s 的变化图(H=35, 1≤t≤3，1≤s≤15;)
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⑵ 图中h a ,h v 和Q hs 的图象在s/H>0.28以后近似“平面”，这是因为大空间自然对流换
的Gr 数不受t 和s 的影响，而与特征尺寸H 有关。
优化结果
用程序计算散
最少材料，最小空间体积时对应的翅片尺寸。如下表所示，
表1 最少材料时的最优设计尺寸(散热量110W，计算误
ρ=2700 kg/m θ=30℃ W/m-K g=9.8m /s2k fin =200 满足散热条件时最少材料对应的翅片尺寸 散热器平均换热系数
散热器各部分散热量及占总散热量的比例 散热器质量
t (mm) s (mm) H (mm)
基板尺寸
9.413h a (W/m-K ) 2.387.247.15h m (W/kg- K) v () Q bp (W) 3.69 10.67%15.10%fins mass (kg)
表2 最小空间体积时的最优设计尺寸(散热量110W ，计算误差1W)
3.6936
2.92572
3.716685
散热器空间体积 V hs (×10 m)
ρ=2700 kg/m θ=30℃ W/m-K g=9.8m /s2k fin =200 满足散热条件时最小空间体积对应的翅片尺寸 散热器平均换热系数
散热器各部分散热量及占总 散热量的比例 散热器质量 t (mm) s (mm) H (mm)
基板尺寸
9.413h a (W/m-K ) 3.437.247.15m () 1197. 897.18 h v (W/m-K ) Q bp (W) 2.28 10.67%15.10%Q fins (W) mass (kg)
97.92%4.374
2.92572
3.716685
散热器空间体积 V hs (×10 m)
5. 分析结果
⑴ 根据程序计算不同基板尺寸时的散热器性能参数，如表1和表2 所示，在较小的基板尺
寸时，完全依靠自然对流很难散走电子器件的热量。此时翅片间距很小，而较小的温差（热驱动力）难以促进空气的流动，导致翅片的Gr 数很小，翅片与环境的换热几乎是纯导热。从强化换热的角度而言，应尽量避免这种情况。尽管如此，在实际工程应用中，散热器的封装体积都有一定的限制，所以在不能兼顾耗材和空间体积的情况下，以增加
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⑵
端流出，通过流动带走散热器的热量，换热效果
得以改善。表1可看出，基板尺寸300×300mm 与250×250mm 达到相同散热效果时，大尺寸的散热器质量反而更小，主要是因为大空间自然对流的Nu 数相比受限空间的Nu 数较大，散热器的平均面积换热系数的提高使单位面积散热量增加，平均质量换热系数的增加使散热器的耗材减小。
各散热器性能参数在较小的翅片厚度时均有提高，但翅片⑶ 从4.3中图3～图8可以看出，
厚度小于1mm 不仅制造有困难而且强度也难以保证；满足s/H>0.28时，肋片高度的增加可以改善散热器换热性能，但t 和s 不变时H 的增加也导致了散热器耗材和空间体积的增加，所以H 并非越大越好，满足散热量即可；在三个翅片参数中，对散热器性能影响最大的是s ，在各图中都可以看出，s 的改变往往引起其它散热器性能参数的较大变化甚至突变，而满足散热条件下且最少耗材时计算s 的值正是本文的重点。
6. 结论
通过迭代法计算非等温翅片表面的平均对流换热系数，从而求出散热器与环境的换热量；分别以散热器的有效换热表面积、质量和空间体积计算对流换热系数进行比较；以最少耗材作为散热器满足换热量时的性能参数，翅片高度、厚度和间距作为自由变量，通过编写的程序计算和分析依靠自然对流换热的散热器达到稳态时的最优翅片尺寸，对水平放置的等截面直肋散热器的设计提供了优化建议。
参考文献
[1] Avram Bar-Cohen, Vol. 125, June 2003, "Design of Optimum Plate-Fin Natural Convective Heat Sinks", Transaction of the ASME, pp. 208-216.
[2] J. Richard Culham and Yuri S.Muzychka, "Optimization of Plate Fin Heat Sinks Using Entropy Generation Minimization", 7th Intersociety Conference on Thermal, Mechanical, and Thermomechanical Phenomena in Electronic Systems (ITHERM 2000), Las Vegas, NV, May 23–26, 2000.
[3] W. A. Khan, J. R. Culham, and M. M. Yovanovich, "Optimization of Pin-Fin Heat Sinks Using Entropy Generation Minimization", 2004 Intersociety Conference on Thermal Phenomena.
[4] J. Richard Culham, Waqar A. Khan and M. Michael Yovanovich, "THE INFLUENCE OF MATERIAL PROPERTIES AND SPREADING RESISTANCE IN THE THERMAL DESIGN OF PLATE FIN HEAT SINKS", Proceedings of ASME NHTC'0135th National Heat Transfer Conference Anaheim, California, June 10-12, 2001.
[5] J.P. Holman, Heat Transfer, 8th edition, 1997, pp.44~47.
[6] Hollands, K.G.T.; Uuny, S.E.;Raithby, G.D. and Konicek,L., Free Convective Heat Transfer across Inlined Air Layers, J, Hear Transfer, Vol.98, 1976, P.189.
[7] Seigel R, Norris R H. Tests of free convection in a partially enclosed space between two heated vertical plates. Trans ASME, 1957,79:663~674.
[8] Fujii, T., and H. Imura: Natural Convective Heat Transfer from a Plate with Arbitrary Inclination, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 15, p.755, 1972.
[9] 许国良，邬田华，王晓墨，陈维汉。《工程传热学》，北京，中国电力出版社，2005年10月，115页。 [10] MacGregor, R. K., and A. P. Emery: Free Convective through Vertical Plane Layers: Moderate and High Prandtl Number Fluids, J. Heat Transfer, vol. 91, p.391, 1969.
[11] 张诚坚，高健，何南忠。《计算方法》，高等教育出版社，1999年9月，25~26页。
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http://www.paper.edu.cn
Gao Yi-bo, Luo Xiao-bing, Huang Su-yi, Liu Jun
(Engineering Thermo-Physics Laboratory of Energy Faculty, Huzhong University of Science &
Technology, Wuhan, 430074, China)
A bstract: The using of fin structures in heat transfer is popular among electronic equipment air-cooled technique. Through calculation model to optimize fin height, fin thickness and fin spacing of horizontal plate fin heat sinks, attaining to max heat dissipation and least material. It is rather difficult to determine the fin heat transfer coefficient during calculation. Due to overlapping of boundary layers between adjacent fins, it is hard to solve boundary layer equations. Consequently, while the fin surface temperature distribution stays in stead-state, obtaining average heat transfer coefficient under constant heat-flux through program iteration by reasonable empirical relations is comparatively easy. Calculating several practical projects by own compiling program, demonstrating that the ratio of fin spacing to fin height strongly influences average heat transfer coefficient and the mass of heat sinks. At the end of text, ultimate results in the table reveal dimensions of heat sinks correspondence to least material or least space claim.
Key Word: heat sinks; natural convective; heat transfer coefficient; least material; dimensions of fin; optimization
作者简介：高一博（1985—），男，湖北黄冈人，硕士在读，研究方向为电子器件强化换热。Tel: (027)87542618; Email: gaohustht@gmail.com；
罗小兵（1974—），男，湖北武汉人，教授，IEEE Member，研究方向为微电子器件散热、微电子机械系统（MEMS）、微尺度流动和传热；
黄素逸（1940—），男，湖南湘潭人，教授，博导，研究方向为强化传热技术、物理测试技术、多相流动、能源工程等；
刘君（1986—），男，湖北孝感人，本科在读，研究方向为有限元法前处理网格划分、带宽优化算法、电子器件的散热和优化。
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高一博，罗小兵，黄素逸，刘君
华中科技大学能源学院工程热物理实验室，武汉（430074）
E-mail: gaohustht@gmail.com
摘要：翅片散热是目前电子元器件冷却最常见的方式。本文通过计算模型优化设计水平放置的翅片散热器，以实现最大散热量和最少耗材为目标，对翅片高度、厚度和间距等进行优化分析。在计算过程中，翅片的换热系数的计算最为困难。许多情况下，由于两个相临翅片的边界层互相重合，使得求解边界层方程异常困难。因此借助实验关联式并依靠计算机进行迭代计算非等温翅片表面达到稳态，即均匀热流时的对流换热系数相对简单。利用编写的程序，以几个实例开展计算，结果表明：翅片间距与高度的比值对散热器平均对流换热系数的影响较大。通过计算，在文章最后的表格中得出了最少耗材和最小空间体积时散热器的尺寸。 关键词：散热器；自然对流；对流换热系数；最少耗材；翅片尺寸；优化 中图分类号：TK
1. 引 言
随着电子器件集成度的提高，散热量也呈几何式增长，为了保证电子设备可靠工作，热设计越来越重要。目前，仅靠封装外壳的散热无法满足散热要求，一般采用翅片散热器来增大电子器件与环境的有效接触面积来强化换热，因此翅片散热器的设计越来越得到重视。
翅片散热器是一种在电子器件中使用范围比较广的散热器，换热方式为与空气进行对流换热。按照引起流动的原因而论，可分为自然对流和强迫对流。自然对流的表面传热系数虽然比较低（
优化过程根据实验关联式通过迭代计算（牛顿迭代公式）表面传热系数，利用自己编写的程序计算翅片散热器的相关参量。程序针对的实际问题是，如何在散热量为110W 的情况下，基板尺寸分别为250×250mm，300×300mm，350×350mm 时，分别设计出相应的翅片散热器，使得耗材最少或者空间体积最小。并且在基板尺寸为300×300mm，基板下表面温度和环境温度一定的情况下，计算不同的翅片高度、厚度和间距时相应的散热器换热系数、散热量和耗材，从而对散热器的设计提出优化建议。
因为铝具有价格低、质量轻和高导热系数等特点，故翅片散热器制造材料广泛使用铝[4]。同时考虑到散热器的制造和强度因素，翅片尺寸的范围是：厚度1~3mm，间距1~15mm，高度25~50mm。假设散热器基板下表面温度恒定为65℃，环境温度为35℃。
2. 假 设
⑴ 沿翅片长度方向无温度变化，温度变化只发生在沿翅片高度方向；
⑵ 翅片端部绝热；
⑶ 翅片材料各向同性且热物理性质为常数；
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⑸ 无接触热阻和扩散热阻；
=⑹ 散热器基板下表面和未被翅片覆盖的上表面温度均匀；
⑺ 整个分析过程是在翅片达到稳态，即热平衡的情况下进行的。
3. 模 型 介 绍
电子器件在工作过程中产生的热量必须通过散热器迅速散发到环境（在此为空气）中，以免结温过高而烧毁电子器件。在此模型中，电子器件即热源产生的热量先传导至散热器基板下表面；然后热量经过基板传导至上表面和翅片；基板上表面和翅片与环境进行对流换热，最终将电子器件产生的热量散发到环境中[5]。
3.1 参数说明：
A bp 基板上表面未被覆盖部分面积m 2A fin 单个翅片表面积m 2A hs 散热器的表面积m 2
C p 空气的比热容 J/kg-K Gr Grashof 数 Gr=g βθδ3/ν2H 翅片高度 m
L 翅片长度（基板长度） m g 重力加速度 m/s2
h fin 翅片的对流换热系数W/ m2-K h bp 两翅片间基板部分对流换热系数
W/ m2-K
h fin 翅片平均对流换热系数W/ m2-K h a 散热器面积换热系数W/ m2-K h m 散热器质量换热系数W/kg-K h v 散热器体积换热系数W/m3-K k fin 散热器材料的导热系数 W/m-K k f 空气导热系数 W/m-K m 翅片参数 (hP/kA)1/2 m-1n 翅片总数量 Nu Nusselt 数 Pr Prandtl 数
P fin 单个翅片周长 m
Q T 散热器要求达到的散热量 W
基板上表面未被翅片覆盖的部分与空气的换热量W
Q fin 单个翅片散热量 W Q fins 所有翅片的散热量W Q hs 散热器的总散热量 Ra Raleigh Ra=GrPr s 翅片间距 m t 翅片厚度 m t b 基板厚度 m
T bl 基板下表面温度 ℃ T bp 基板上表面温度 ℃ T sur 环境温度 ℃
V fin 单个翅片体积m 3 V fins 翅片阵列的总体积m 3 V hs 散热器所占空间m 3V m 基板体积m 3
W 翅片阵列的宽度（基板宽度） m mass 散热器耗材 kg β 体膨胀系数 1/K θ 过余温度 K ν 空气运动黏度m 2/s ρ 翅片材料密度 kg/m3δ 特征尺寸 m
Q bp
3.2 基本公式
两翅片间基板面积 单个翅片表面积 散热器的表面积 单个翅片体积 基板体积 散热量
散热器空间体积
A bp =s·L
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
A fin =2(H·t+L·H+L·t/2) A hs =(n-1) ·A bp +n·A fin V fin =H·L ·t V m =L·W ·t b Q=h·A ·θ
V hs =L·W ·(tb +H)
散热器耗材 mass(Vm +n·V fin ) ρ 散热器面积换热系数 h a =Qhs /(Ahs ·θb ) 散热器质量换热系数 h m =Q hs /(mass·θb ) 散热器体积换热系数 h v =Qhs /(Vhs ·θb )
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(a)
(b)
(c)
图1 翅片散热器——(a)立体示意图，(b)主视图，(c)俯视图
3.3 换热方式
电子器件产生的热量通过散热器以自然对流的方式与空气进行热交换，其中散热器与环境的换热量分为两部分（忽略辐射换热效果）： 3.3.1
基板上表面未被翅片覆盖的部分与环境的自然对流换热量Q bp
① 翅片间距与高度之比小于0.28时，作为受限空间自然对流处理。以封闭腔高度为特征
尺度的Ra, 若式(14)中方括号内的值为负，则取为0。对Ra
(12) (13) (14)
Nu bp =1+1.44·[1-1708/Rabp ]+[(Rabp /5830) 1/3-1][6]
② 翅片间距与高度之比大于0.28时，可以作为大空间自然对流处理[7]。特征尺寸为
(s+L)/2。
Gr bp =g·β·θbp ·((s+L)/2)3/νbp 2
(15) (16) (17) (18) (19) (20)
当Ra bp
当2×104
翅片群与环境的自然对流换热量Q fins
⑴ 当翅片间距与高度之比大于0.28时，可以作为大空间自然对流处理。此时特征尺寸取
- 3 -
Gr fin =g·β·(Qfin /(2·H ·L)) ·H 4/( kf ·ν2) Ra fin = Grfin ·Pr fin
(21) (22) (23)
Nu fin =0.6·Ra fin 1/5 [9]
⑵ 当翅片间距与高度之比小于0.28时，作为受限空间自然对流处理。关于特征尺寸的选
取：因为翅片表面的温度不均匀，故用热流密度取代温差计算Gr ，温差应该是翅片与环境的温差，此时两翅片之间温度最低的地方恰好是正中间，即翅片间距的一半s/2。 =
① 当Ra fin
(25) (26) (27) (28)
单个翅片与环境的自然对流换热量Q fin =kfin ·A c ·θbp ·m ·tanh(m·H) 故总散热量Q hs = Qbp +n·Q fin
4. 优化思想和方法
4.1 求解翅片对流换热系数
散热器的翅片表面是非等温的，但是当散热器达到稳态工况，即翅片表面温度不随时间发生变化，此时每个翅片表面的热流为常数并相等。故可认为通过翅片的热流只是h fin 的
=
函数，通过一系列实验关联式可得， Q fin =f (hfin )
(29) (30) (31)
其反函数为, hfin =f -1(Qfin ) 构造新函数g(h)=h-hfin
其中h 为真实值，根据牛顿迭代公式，
φ(x)x- f(x)/ f’(x) (32) 并设置迭代精度[11]，迭代收敛后即得到翅片的对流换热系数h fin 。
4.2 优化思想
在其它参数已经确定的情况下，需要优化的散热器尺寸参数只有三个：翅片高度H ，翅片厚度t 和翅片间距s 。因为关于翅片对流换热系数h 的迭代函数中含有tanh (双曲正切) 而使得迭代公式成为超越方程，分别对H 、t 和s 求偏微分后，表达式更为复杂，无法用Lagrange 乘数法求条件极值。所以将H 、t 和s 的值离散成不连续的点，并设定H 的步长为1，t 和s 的步长为0.1，利用程序的循环结构建立一个矩阵来存储这些点的数据和对应的对流换热系数h 。最后根据程序计算出的值绘制各散热器性能参数关于尺寸的函数图象。根据得到的图象和数据判断满足散热器额定换热量和最小耗材时的H 、t 和s 。散热器设计优化方法如图2所示
- 4 -
图2 散热器设计优化方法
4. 3 优化过程
已经设定的各参数如下：
工作温度：环境温度为35℃，散热器基板下表面温度（结温）为65℃； 基板尺寸：基板厚度为10mm ，长宽为300×300mm；
散热器材料物性为：密度为2700 kg/m3，导热系数为200 W/m-K；
空气的热物理性质由参考文献[9]中附录5——干空气的热物理性质(p=1.01325×105Pa) 在0～100℃内线性插值求出。 环境的重力加速度为9.8m/s2。
观察翅在上述参数已确定的情况下，可认为散热器的性能参数只是翅片尺寸的函数。片高度H ，厚度t 和间距s ，其中一个量为常数，其它两个量为自由变量时对散热器的换热系数h a , hm ，hv , 散热器的换热量Q hs 和散热器耗材mass 的影响。
通过程序计算的各函数图象如图3～图8所示，
- 5 -
3.1 翅片间距10mm，翅片高度25～50mm，翅片厚度1～3
mm
图3 散热器平均换热系数随H 和t 的变化图(s=10, 25≤H≤50，1≤t≤3;)
图4 散热器换热量和耗材随H 和t 的变化图(s=10, 25≤H≤50，1≤t≤3; )
显然h a ,h m 和h v 在H=35即s/H>0.28处突然增加，说明：
⑴ 翅片与环境换热占主要部分，因此翅片的对流换热对散热器面积换热系数远h a 的影响
远超过基板对流换热的影响；
⑵ 大空间自然对流换热时的平均换热系数远远高于受限空间；
⑶ 散热器与环境的换热量在大空间自然对流换热时，受翅片高度的影响很小，并随翅片
厚度的减小而出现小波浪式增长，但在翅片厚度1~1.5mm范围内几乎没有变化，考虑到耗材随H 和t 的变化趋势，选择满足散热条件时尽可能薄和低的翅片，可节省材料。
- 6 -
.2 翅片厚度1mm，翅片高度25～50mm，翅片间距1～15
mm
图5 散热器平均换热系数随H 和s 的变化图(t=1, 25≤H≤50，1≤s≤15;)
图6 散热器换热量和耗材随H 和s 的变化图(t=1, 25≤H≤50，1≤s≤15;)
⑴ 与4.3.1中分析结果相似，ha ,h m 和h v 在s/H>0.28处突然增加，再次证明了大空间自然
对流的平均对流换热系数较高；
⑵ 与4.3.1中不同的是，在s很小的时候，即s=1~3mm之间时，质量换热系数hm 和体积换热系
数hv 较大，甚至超过了大空间自然对流时的情况。出现这一现象的原因是，翅片密集导致Ra
- 7 -
从mass=f(H, s)图中可以看出，较小的s 对应
翅片高度时，s=1对应的翅片耗材是s=15时的3倍左右。所以从降低散热器制造成本的角度考虑，为了满足散热条件，尽可能采用大空间自然对流，即相对较大的翅片间距比较合适。 .3
翅片高度
图7 散热器平均换热系数随t 和s 的变化图(H=35, 1≤t≤3，1≤s≤15;)
图8 散热器换热量和耗材随t 和s 的变化图(H=35, 1≤t≤3，1≤s≤15;)
- 8 -
⑵ 图中h a ,h v 和Q hs 的图象在s/H>0.28以后近似“平面”，这是因为大空间自然对流换
的Gr 数不受t 和s 的影响，而与特征尺寸H 有关。
优化结果
用程序计算散
最少材料，最小空间体积时对应的翅片尺寸。如下表所示，
表1 最少材料时的最优设计尺寸(散热量110W，计算误
ρ=2700 kg/m θ=30℃ W/m-K g=9.8m /s2k fin =200 满足散热条件时最少材料对应的翅片尺寸 散热器平均换热系数
散热器各部分散热量及占总散热量的比例 散热器质量
t (mm) s (mm) H (mm)
基板尺寸
9.413h a (W/m-K ) 2.387.247.15h m (W/kg- K) v () Q bp (W) 3.69 10.67%15.10%fins mass (kg)
表2 最小空间体积时的最优设计尺寸(散热量110W ，计算误差1W)
3.6936
2.92572
3.716685
散热器空间体积 V hs (×10 m)
ρ=2700 kg/m θ=30℃ W/m-K g=9.8m /s2k fin =200 满足散热条件时最小空间体积对应的翅片尺寸 散热器平均换热系数
散热器各部分散热量及占总 散热量的比例 散热器质量 t (mm) s (mm) H (mm)
基板尺寸
9.413h a (W/m-K ) 3.437.247.15m () 1197. 897.18 h v (W/m-K ) Q bp (W) 2.28 10.67%15.10%Q fins (W) mass (kg)
97.92%4.374
2.92572
3.716685
散热器空间体积 V hs (×10 m)
5. 分析结果
⑴ 根据程序计算不同基板尺寸时的散热器性能参数，如表1和表2 所示，在较小的基板尺
寸时，完全依靠自然对流很难散走电子器件的热量。此时翅片间距很小，而较小的温差（热驱动力）难以促进空气的流动，导致翅片的Gr 数很小，翅片与环境的换热几乎是纯导热。从强化换热的角度而言，应尽量避免这种情况。尽管如此，在实际工程应用中，散热器的封装体积都有一定的限制，所以在不能兼顾耗材和空间体积的情况下，以增加
- 9 -
⑵
端流出，通过流动带走散热器的热量，换热效果
得以改善。表1可看出，基板尺寸300×300mm 与250×250mm 达到相同散热效果时，大尺寸的散热器质量反而更小，主要是因为大空间自然对流的Nu 数相比受限空间的Nu 数较大，散热器的平均面积换热系数的提高使单位面积散热量增加，平均质量换热系数的增加使散热器的耗材减小。
各散热器性能参数在较小的翅片厚度时均有提高，但翅片⑶ 从4.3中图3～图8可以看出，
厚度小于1mm 不仅制造有困难而且强度也难以保证；满足s/H>0.28时，肋片高度的增加可以改善散热器换热性能，但t 和s 不变时H 的增加也导致了散热器耗材和空间体积的增加，所以H 并非越大越好，满足散热量即可；在三个翅片参数中，对散热器性能影响最大的是s ，在各图中都可以看出，s 的改变往往引起其它散热器性能参数的较大变化甚至突变，而满足散热条件下且最少耗材时计算s 的值正是本文的重点。
6. 结论
通过迭代法计算非等温翅片表面的平均对流换热系数，从而求出散热器与环境的换热量；分别以散热器的有效换热表面积、质量和空间体积计算对流换热系数进行比较；以最少耗材作为散热器满足换热量时的性能参数，翅片高度、厚度和间距作为自由变量，通过编写的程序计算和分析依靠自然对流换热的散热器达到稳态时的最优翅片尺寸，对水平放置的等截面直肋散热器的设计提供了优化建议。
参考文献
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[3] W. A. Khan, J. R. Culham, and M. M. Yovanovich, "Optimization of Pin-Fin Heat Sinks Using Entropy Generation Minimization", 2004 Intersociety Conference on Thermal Phenomena.
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http://www.paper.edu.cn
Gao Yi-bo, Luo Xiao-bing, Huang Su-yi, Liu Jun
(Engineering Thermo-Physics Laboratory of Energy Faculty, Huzhong University of Science &
Technology, Wuhan, 430074, China)
A bstract: The using of fin structures in heat transfer is popular among electronic equipment air-cooled technique. Through calculation model to optimize fin height, fin thickness and fin spacing of horizontal plate fin heat sinks, attaining to max heat dissipation and least material. It is rather difficult to determine the fin heat transfer coefficient during calculation. Due to overlapping of boundary layers between adjacent fins, it is hard to solve boundary layer equations. Consequently, while the fin surface temperature distribution stays in stead-state, obtaining average heat transfer coefficient under constant heat-flux through program iteration by reasonable empirical relations is comparatively easy. Calculating several practical projects by own compiling program, demonstrating that the ratio of fin spacing to fin height strongly influences average heat transfer coefficient and the mass of heat sinks. At the end of text, ultimate results in the table reveal dimensions of heat sinks correspondence to least material or least space claim.
Key Word: heat sinks; natural convective; heat transfer coefficient; least material; dimensions of fin; optimization
作者简介：高一博（1985—），男，湖北黄冈人，硕士在读，研究方向为电子器件强化换热。Tel: (027)87542618; Email: gaohustht@gmail.com；
罗小兵（1974—），男，湖北武汉人，教授，IEEE Member，研究方向为微电子器件散热、微电子机械系统（MEMS）、微尺度流动和传热；
黄素逸（1940—），男，湖南湘潭人，教授，博导，研究方向为强化传热技术、物理测试技术、多相流动、能源工程等；
刘君（1986—），男，湖北孝感人，本科在读，研究方向为有限元法前处理网格划分、带宽优化算法、电子器件的散热和优化。
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