弹性理论的应用
1. 设某商品的需求价格函数为P =a -bQ ，式中，a ，b 均为正常数。试确定其需求价格弹性
E d 。
解：由需求价格弹性的定义可得
E d =
P dQ a -bQ a
(1) ⋅==1-
Q dP -bQ bQ
由式(1)可得
E d =-
a bQ
(2)
a 2b
由式(2) 可知，E d 是Q 的单调递减函数。当Q =0时，E d =∞；当0
E d =-a b
时，
a bQ a 2b
>-
a 2b a
⋅=1-2=1，即1
2b b a
a b
当>Q >
时，E d
上述计算结果可表示如下：
⎧
⎪=∞⎪⎪>1⎪⎪⎪E d ⎨=1⎪⎪⎪
当Q =0时当0
a 2b
a 2b
a 2b 时a b 时时
（无限弹性）（富有弹性）（单位弹性） （缺乏弹性）（完全无弹性）
当Q =
2. 设某商品的供给函数为P =c +dQ ，其中d 为正常数。试确定其供给价格弹性E s ，并讨论
c 的取值对供给弹性的影响。 解：E s =
dQ P 1c +dQ c 1
⋅=⋅=1+⋅。 dP Q d Q d Q
(1)当c =0时，供给函数为P =c +dQ ，其对应的供给曲线为一条过原点的直线，如图(a)所示。因E s =1+
0⋅1
d Q
故供给曲线上任一点的供给价格弹性为1，即供给曲线具有单位弹性。 =1，
(2) 当c
c ⋅1=1-
c d ⋅1Q
d Q
给曲线缺乏弹性。
(3) 当c >0时，供给函数为P =c +dQ ，其对应的供给曲线与纵轴正向相交的直线，如图(c)所示。因E s =1+弹性。
c ⋅1
>1，故供给曲线上任一点的供给价格弹性都大于1，即供给曲线富有
d Q
3. 需求价格弹性对企业收益的影响
现代企业不仅要关心生产，而且要关心价格变化对商品的销售数量和销售收入所产生的影响。我们称企业的销售收入为企业的收益。下面我们来分析企业的收益与需求价格弹性之间的关系。
设市场需求函数为P =f (Q ) ，假定企业销售Q 单位的商品，则企业的总收益为
TR = f(Q ) ×Q
对上式求导可得
dTR dQ
=P +
dP dQ
Q (1)
边际收益是指增加一个的单位商品的销售所引起的总收益的增加量。边际收益常用MR 表示，其计算公式为
M R =
dTR dQ
式(1)可以改写为
⎛Q dP ⎫
M R =P 1+⋅⎪
P dQ ⎭⎝
根据需求价格弹性的定义，上式可以改写为
⎛⎛1⎫1⎫
(2) M R =P 1+1-⎪⎪=P ⎪E E d ⎭d ⎭⎝⎝
由式(2)可以得出如下结论：
(1)当需求价格弹性E d =1时，即在需求曲线上具有单位弹性的点(所对应的销售量) 处，
收益达到最大化。
事实上，当E d =1时，必有M R =P 1-
⎝⎛
dTR 1⎫
=0。而=P (1-1)=0，即M R =⎪⎪E d ⎭dQ
dT R dQ
=0正是收益TR 最大化的条件。
(2)当需求价格弹性E d >1时，即在需求曲线上富有弹性的点(所对应的销售量) 处，应采取降低价格增加销售量的方式以增加收益。
事实上，当E d >1时，必有M R =P 1-
⎝⎛
dTR dT R 1⎫
，即>0。而>0表>0M R =⎪⎪E d ⎭dQ dQ
明收益TR 正处于单调递增阶段。因此增加销售量就可以增加收益。而价格是销售量的单调递减函数，增加销售量，价格就必然要下降。
(3)当需求价格弹性E d
⎛dT R dTR 1⎫
E 事实上，当d >1时，必有M R =P 1-
明收益TR 正处于单调递减阶段。因此减少销售量就可以增加收益。而价格是销售量的单调
递减函数，销售量减少，价格就必然要增加。
例：某公交公司最近将其搭乘公交车的基本票价从0.6元提高到0.75元。提价后的两个月内，公司的总收益与去年同期相比提高了18.3%。假定总收益的增加完全是由于提高票价而引起的。试确定公司在提价前的运行点处得需求价格弹性。
解：设P 为搭乘公交车的基本票价，Q 为搭乘公交车的次数，则公司的总收益为TR =PQ 。 设提价前乘车系数为Q ，提价后乘车次数的变化量为ΔQ ，则有75(Q +∆Q ) -60Q
60Q
=18.3%，即
15Q +75∆Q
60Q
=18.3%⇒
∆Q Q
=-0.0536。
由需求价格弹性的数学表达式可得
E d =
∆Q /Q ∆P /P
=
-0.053675-6060
=
-0.05360.25
=-0.2144
因E d =0.2144，故公司在提价前的运行点处缺乏弹性。根据上题结论(3)，公司应该提价以增加收益。事实上，公司提价25%后，公司的收益增加了18.3%。当然，公司还可以继续提价，直到在新的运行点处达到E d =1为止。
4. 政府税收对均衡价格和均衡交易量的影响
设
弹性理论的应用
1. 设某商品的需求价格函数为P =a -bQ ，式中，a ，b 均为正常数。试确定其需求价格弹性
E d 。
解：由需求价格弹性的定义可得
E d =
P dQ a -bQ a
(1) ⋅==1-
Q dP -bQ bQ
由式(1)可得
E d =-
a bQ
(2)
a 2b
由式(2) 可知，E d 是Q 的单调递减函数。当Q =0时，E d =∞；当0
E d =-a b
时，
a bQ a 2b
>-
a 2b a
⋅=1-2=1，即1
2b b a
a b
当>Q >
时，E d
上述计算结果可表示如下：
⎧
⎪=∞⎪⎪>1⎪⎪⎪E d ⎨=1⎪⎪⎪
当Q =0时当0
a 2b
a 2b
a 2b 时a b 时时
（无限弹性）（富有弹性）（单位弹性） （缺乏弹性）（完全无弹性）
当Q =
2. 设某商品的供给函数为P =c +dQ ，其中d 为正常数。试确定其供给价格弹性E s ，并讨论
c 的取值对供给弹性的影响。 解：E s =
dQ P 1c +dQ c 1
⋅=⋅=1+⋅。 dP Q d Q d Q
(1)当c =0时，供给函数为P =c +dQ ，其对应的供给曲线为一条过原点的直线，如图(a)所示。因E s =1+
0⋅1
d Q
故供给曲线上任一点的供给价格弹性为1，即供给曲线具有单位弹性。 =1，
(2) 当c
c ⋅1=1-
c d ⋅1Q
d Q
给曲线缺乏弹性。
(3) 当c >0时，供给函数为P =c +dQ ，其对应的供给曲线与纵轴正向相交的直线，如图(c)所示。因E s =1+弹性。
c ⋅1
>1，故供给曲线上任一点的供给价格弹性都大于1，即供给曲线富有
d Q
3. 需求价格弹性对企业收益的影响
现代企业不仅要关心生产，而且要关心价格变化对商品的销售数量和销售收入所产生的影响。我们称企业的销售收入为企业的收益。下面我们来分析企业的收益与需求价格弹性之间的关系。
设市场需求函数为P =f (Q ) ，假定企业销售Q 单位的商品，则企业的总收益为
TR = f(Q ) ×Q
对上式求导可得
dTR dQ
=P +
dP dQ
Q (1)
边际收益是指增加一个的单位商品的销售所引起的总收益的增加量。边际收益常用MR 表示，其计算公式为
M R =
dTR dQ
式(1)可以改写为
⎛Q dP ⎫
M R =P 1+⋅⎪
P dQ ⎭⎝
根据需求价格弹性的定义，上式可以改写为
⎛⎛1⎫1⎫
(2) M R =P 1+1-⎪⎪=P ⎪E E d ⎭d ⎭⎝⎝
由式(2)可以得出如下结论：
(1)当需求价格弹性E d =1时，即在需求曲线上具有单位弹性的点(所对应的销售量) 处，
收益达到最大化。
事实上，当E d =1时，必有M R =P 1-
⎝⎛
dTR 1⎫
=0。而=P (1-1)=0，即M R =⎪⎪E d ⎭dQ
dT R dQ
=0正是收益TR 最大化的条件。
(2)当需求价格弹性E d >1时，即在需求曲线上富有弹性的点(所对应的销售量) 处，应采取降低价格增加销售量的方式以增加收益。
事实上，当E d >1时，必有M R =P 1-
⎝⎛
dTR dT R 1⎫
，即>0。而>0表>0M R =⎪⎪E d ⎭dQ dQ
明收益TR 正处于单调递增阶段。因此增加销售量就可以增加收益。而价格是销售量的单调递减函数，增加销售量，价格就必然要下降。
(3)当需求价格弹性E d
⎛dT R dTR 1⎫
E 事实上，当d >1时，必有M R =P 1-
明收益TR 正处于单调递减阶段。因此减少销售量就可以增加收益。而价格是销售量的单调
递减函数，销售量减少，价格就必然要增加。
例：某公交公司最近将其搭乘公交车的基本票价从0.6元提高到0.75元。提价后的两个月内，公司的总收益与去年同期相比提高了18.3%。假定总收益的增加完全是由于提高票价而引起的。试确定公司在提价前的运行点处得需求价格弹性。
解：设P 为搭乘公交车的基本票价，Q 为搭乘公交车的次数，则公司的总收益为TR =PQ 。 设提价前乘车系数为Q ，提价后乘车次数的变化量为ΔQ ，则有75(Q +∆Q ) -60Q
60Q
=18.3%，即
15Q +75∆Q
60Q
=18.3%⇒
∆Q Q
=-0.0536。
由需求价格弹性的数学表达式可得
E d =
∆Q /Q ∆P /P
=
-0.053675-6060
=
-0.05360.25
=-0.2144
因E d =0.2144，故公司在提价前的运行点处缺乏弹性。根据上题结论(3)，公司应该提价以增加收益。事实上，公司提价25%后，公司的收益增加了18.3%。当然，公司还可以继续提价，直到在新的运行点处达到E d =1为止。
4. 政府税收对均衡价格和均衡交易量的影响
设